数理统计充分统计量

1、充分统计量教程一、补充讲解条件分布例题1:随机变量X和Y相互独立，X Poisson 1 , Y Poisson 2，若已知X Y n发生，求此时X的条件分布（比如，害虫产卵问题）例题2：射击选手每次射击同样目标，每次击中的次数X是总体，服从0-1分布,例题2:随机变量X和Y联合概率密度P x,y，证明，丫 y发生前提下，X Y y1 P X 0P X 1p，现在进行测试（n次），结果为X1 , X nx1 , xn，已知总共击中次数 xn t 次，求P X1, Xnx1 , XnX1 X n t 。的条件概率密度为fXY y XP x, yPy y证明：先求条件概率分布函数Fxiy y x

2、P X x|Y ylim P X x| y Y y hX pp叫Hh叫HhP (X,Y)(s,t):sh yILyh y s y s s p因此fxYs,t dsdts dsX 一moHhy hp s,t dt dsyy hpY s dsy1h1hs,t dt dsp s, y dspY s dsPy yP x, yPy y例题：已知包装机械包装白糖的各种可能重量a,0.12（斤），包装n袋白糖的总重量t已知前提下，求X1 Xn t的具体情形X1对应的条件概率密度p(x1 ,.,Xn 1,Xn)|T tX1，.，xn 1，t(X1，., xn 1)P(X1 ,.,Xn1,Xn)X1，.,Xn1

3、，t(X1.XnJPl(t)P(X1，.,Xn 1，Xn)|T tX1，.，Xn 1, XnP(X1,.,Xn 1 ,Xn)X1,，xn 1, xnPT(t)i 1(X a)22 0.12na 22 0.01n12 0.1n.2. 2 t / n 为i 12 0.01<2 0.11 n二、充分统计量定义背景问题一一统计数据收集效率：假如已经确定总体的分布 是正态分布，所不知道的，是总体的期望和方差而已，那么，在做统计数据收集的 时候，是否有必要把样本观察值的每个数据都详细记录下来？另一方面，我们在使用统计量进行统计推断的时候，所用到的统计量是否把样本中感兴趣的问题的信息全部包含进来？比如

4、，射击选手每次射击同样目标，每次击中的次数X是总体，服从01分布，1 P X 0 P X 1 p，我们感兴趣 的是估计P的值，假定现在进行测试（10次），结果为X1,.,X101,1,1,0,1,1,1,1,0,1，我们只记录总共击中次数 T X1 . X10 8 次可以吗？总共击中8次是否已经包含p的所有信息？换句话说，是否在已知击中 8次T 8前提下再去追究具体情况X1,.,X101,1,1,0,1,1,1,1,0,1发生的概率已经式？定义1：对于离散总体 X F X,，（在这里可以是未知的参数向量，比如 （仆2）， 样本X1,.,Xn观察值为（X1,.,Xn），统计量T X1,.,Tn此

5、时对应取值T t，若P Xi,，XnXi,，Xn T t与 无关,则称T Xi,.,Tn为 的充分统计量。(T t包含了的所有信息)定义2：对于连续总体 X f X,(在这里可以是未知的参数向量，比如 (仆2),样本Xi,.,Xn观察值为(Xi,.,Xn)，统计量TXi,.,Tn此时对应取值T t,若T x1,.,xnt时f j.人九“与 无关，则称t X1,.,Tn为 的充分统计量。fT t(T t包含了的所有信息)三、因子分解定理：总体概率函数f(X,)，样本(Xi,.,Xn),统计量T(Xi,.,Xn)为 未知参数 的充分统计量的充要条件是样本在已发生情形 (Xi,.,Xn) (Xi,.

6、,Xn)处的联合概率函数可以分解为 丁(为,.,禺)t和 的函数 g(t,)与样本观察值的函数h(Xi,.,Xn)的乘积。应用例题定理证明：只就离散情况证明，必要性Xi . Xn tP(Xi Xi,., Xn n|T t)h(Xi,.,Xn)与 无关因此 P(X1 X1,.,Xn Xn) P(X1 X1,.,Xn xJT t)P(T t)h(Xi,.,Xn)P(Tt) g(t, )h(Xi,.,Xn)充分性Xi . Xn t现在已知 P(XiXi,.,XnXn)g(t, )h(Xi,.,Xn)P(T t)P(XiXi,.,Xn Xn)T为，,xn tg(t, )h(Xi,.,Xn) g(t, )h(Xi,.,Xn)T Xi ,.,Xn tT Xi,.,Xn t因此 P(XiXi,.,XnXn|T內.人tt)P(XiXi,.,XnXn,Tt)P(T t)P(XiX,.,Xn Xn,T t)P(XiXi,.,XnXn)g(t, )h(Xi,.,Xn)T 冯，.,片 tg(t, )h(,.,Xn)T X,.,xn tP(XiX,.,Xn Xn,T t)P(XiXi,.,XnXn)g(t, )h(Xi,.,Xn)g(t, )h(,.,Xn)g(t, )h(xi,xj g(t, )h(為