提公因式法分解因式典型例题

1、因式分解（1）一知识点讲解知识点一：因式分解概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。1因式分解特征：因式分解的结果是几个整式的乘积。多项式（和）因式什解整式乘法整式的积2因式分解与整式乘法关系：因式分解与整式的乘法是相反方向的变形整(ab)22 2a 2ab b因2 a2abb2(ab)2(ab)2a2 2abb22 a2abb2(ab)2式2式n(ab)(ab) ab2Z ab2(ab)(ab)乘分法(x3y)(x3y) x229y解2 x9y2(x3y)(x 3y)知识点二：寻找公因式1、小学阶段我们学过求一组数字的最大公因（约）数方法：（短除法

2、）例如：求20,36,80的最大公（约）数？最大公倍数？22036SD2 L0 18402036so1013405g201g4222、寻找公因式的方法:3a2y 3ay 6y ,a(x y)3 b(x y)2 (x y)3,4 39Xy83227Xy2 3322-27a b 36a b 9a b1确定公因式的系数当多项式中各项系数是整数时，公因式的系数是多项式中各项 系数的最大公因数；当多项式中各项系数是分数时，则公因式的系数为分数，而且 分母取各项系数中分母的最小公倍数，分子取各项系数中分子的最 大公因数。2.确定相同字母公因式的字母是各项都含有的字母3看次数相同字母的指数取最低次数4看整体

3、如果多项式中含有相冋的多项式，应将其看成整体不要拆开。5.看符号若多项式的首项是,则公因式的符号一般为负。知识点三：因式分解的方法（重点）（一）因式分解的第一种方法（提公因式法）（重点）：1. 提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面, 把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。2. 符号语言： ma mb me m（a b c）3. 提公因式的步骤：（1）确定公因式文案大全（2 ）提出公因式并确定另一个因式（依据多项式除以单项式）另一个因式原多项式4.注意事项：因式分解一定要彻底、例题讲解模块1 ：考察因式分解的概念1.

4、（ 2017春峄城区期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（2.2x 9 6x (x 3)( x 3) 6xx2 8x 16 (x 4)22B、(x 5)(x 2) xD、6ab 2a 3b（2017秋抚宁县期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（3.( 2017A、2a22C、 9x3x1022x 3 (x 1)22 2 xy y (x y)B、(x y)(xD、2x 2y秋姑苏区期末）下列从左到右的运算是因式分解的是2a 1 2a(a 1) 1B、(x y)(xy)2(xy)y)26x 1(3x 1)2 2, 、2D、x y (x y)2xy4.（ 2017秋华德县校级期末）下

5、列各式从左到右的变形，是因式分解的是A、3x2y 1 5x 1B、(3a 2b)(3a 2b)9a24b2C、x2x x2(1 丄)x2 2D、2x 8y 2(x2y)(x2y)5.( 2017春新城区校级期中）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（6.a(ab) a2 abx x(x 1)（2016秋濮阳期末）下列式子中,2(x 1)(x 2) x 3x 22x 4x 4 x(x 4) 4B、a2 2a 1 a(a 2) 12 2 2D、xy x y x( y xy)从左到右的变形是因式分解的是（D、x23x 2 (x 1)(x 2)y2 (x y)(x y)模块2 :考察公因式1.（201

6、7春抚宁县期末）多项式 15m3n25m2n 20m2 n3的公因式是（A、5mnB、5m2n22C、5m nD、 5mn2.（2017春东平县期中）把多项式8a2b3c式是（A、8a2bcB、2a2b2c33. （2017秋凉州区末）多项式a29与a24.（2017春邵阳县期中）多项式 8x16a2b2c224a 3bc3分解因式，应提的公因C、4abcD、24a3b3c33a的公因式是（B、5.（ 2016春深圳校级期中）多项式5mx33m n12x y的公因式是（m n4x ym n 1D、4x y25mx210mx各项的公因式是（2A、5mx3B、 5mxmxD、 5mx6.下列各组代

7、数式中没有公因式的是（A、5m(a b)与 b a(a2b)与 a bC、 mxa2 ab 与 a2bab27.观察下列各组式子： 2a b和ax2 y2禾廿x2b : 5m（a b）和 ay2。其中有公因式的是（）3( ab)和 aA、B、C、模块3 :利用提公因式法分解因式因式分解的第一种类型：直接提取公因式1、分解因式:2(1) x 3x2 2 2(2) 2x218x2y 4xy2(3)6a(ab)4b (ab)abc】ab2a2bc(5)S2b 5a46n n 1 n 2(6) x x x因式分解的第二种类型：变形后提取公因式2. 分解因式：(1)3a(x y) 6b(y x)(2)

8、a(x y) b(y x) c(x y)因式分解的第三种类型：分组后提取公因式3. 分解因式：(1) mx my nx ny( 2) 2a 4b 3ma 6mb模块4 :提公因式法的综合应用类型1 :利用提公因式法进行简便计算“ c 1313 “ cc 13(2)36.8 -20.22 -5555551.利用简便方法计算：(1)3.2 200.9 4.7 200.9 200.9 2.1类型2 :利用提公因式法进行化简求值2.先分解因式，在计算求值：2 2(2x 1) (3x 2)(2x 1)(3x2)x(1 2x)(3x2) 其中 x=1.53. （2016秋唐河县期末）已知：a b 2015

9、，ab誥，求a2b ab2的值4.已知a b4， ab 2，求多项式 4a2b 4ab24a 4b的值。25.若 ab 10,用因式分解法求2 53ab(a b abb）的值.6.若 a2a 1201620150，则 aa2014a = o7.不解方程组2x y 6，求 7y(xx 3y 13y)2 2(3y x)3的值。类型 3 ：拔高培优题型8. (2015 杭州模拟 )已知 (19x 31)(13x 17) (17 13x)(11x 23) 可因式分解成 (ax b)(30x c)，其中a、b、c均为整数，求a b c的值。4 2 2ax 1，另一个因式为9.已知多项式 x42012x2

10、2011x2012 有一个因式为 x22x2 bx 2012 ，求 a b 的值。10.求证： 320164 32015 10 32014能被7整除。3，求 (a 1)(b 1)(c 1)的值。11.已知 a, b,c满足 ab a b bc b c ca c a(a, b,c都是正整数)12.(学霸题中题)若X2B、 1C、 0D、213. (2017合肥月考*)要使多项式 X2则不大于 100 的自然数 n 的个数为(2X n 能分解为两个整系数一次多项式之积，)A、8B、9C、10D、11x 1是 ax3 bx2 1的一个因式，则 b 的值为(14. (2016 秋靖远县期末)阅读下列因

11、式分解的过程，再回答所提出的问题：2231 X X(X 1) X(X 1)2(1 X)1 X X(X 1) (1 X)2(1 X) (1 X)3( 1 )上述分解因式的方法是，共应用了次。(2) 若分解 1 X X(X 1) X(X 1)2 . X(X 1)2004 ，则需应用上述方法次，结果是。(3) 分解因式：1 x x(x 1) x(x 1)2 . x(x 1)n (n 为正整数)。一、选择题1. (2017 开县一模 )当 a,b 互为相反数时，代数式 a2 ab 4 的值为()A、 4B、 0C、 3D、 42. (2016秋乳山期末)边长为a,b的长方形周长为12，面积为10，则a

12、2b ab2的值为()A、120B、 60C、80D、 403. (2017春蚌埠期末)计算：(2 )2016 ( 2 ) 2017所得的结果是()A、 2B、 2C、22016D、20164. (2017 春乐亭县期末)2014 2013( 8)2014 ( 8)2013 能被下列数整除的是(A、3B、 5C、725.(2017 春源城区校级月考)把多项式p2 (a 1) p(1 a) 分解因式的结果是( )22A、(a 1)(p2 p) B、(a 1)(p2 p) C、 p(a 1)(p 1) D、 p(a 1)(p 1)6.(2017 春阳谷县期末)把 xn 3 x n 1分解因式得(

13、)n 1 2 n 3 n 2 n n 1 2A 、 x (x 1)B、 x ( x x)C、 x(xx ) D、 x (x x)7.(2017 春北湖区校级期中)整式a 2(a2 1) a 2 1的值()A、不是负数B、恒为正数C、恒为负数D、结果的符号不确定8.(2016 赵县模拟)若 ab3， a 2b 5，则 a2b 2ab2 的值是()A 、 15B、 15C、 2D、89.(2016 春高 密市期末)将 3x (a b)A 、 3x 9 yB、 3x 9 y10. (2016 春临清市期末)计算 ( 3)mA 、 3m 1B、 ( 3) m 111. (2016 春深圳期末)若 a

14、b 3，A、 1B、1C、abD、3(a b)2(3)m1，得()C、(3)m 1D、( 3)mab2，则代数式a2bab2 的值为()C、6D、69y(b a) 因式分解，应提的公因式是()12. (2016 秋美兰区校级期中)若 a b5， c 2，则 ac bc 等于(13.(2016 秋简阳市期中)如果多项式mxA可分解为m(x y)，则A为()A、mB 、 myC、yD、my14.(2016春深圳期中)若 a b2，ab3，则 ab 22a 2b 的值为()A、6B、 5C、26D、52P与Q的关15.(玄曰. 系是2016(春港南区期中)设 P)a2(abc) ， Qa( a ab

15、 ac ) ，则A、 10B、10C、 3D、32 2014( 2) 2015 的结果是(D、互为相反数1.(2016潍坊模拟）分解因式:a4b6a3b 9a2b =。2.(20172潍坊）因式分解：x2x(x 2)=。3.(2017崇安区一模）分解因式(x2y） 3（x y）的结果是。4.(2016秋内江期末）因式分解:2(x y) 2y(xy)=。5.(2016滨海县二模）分解因式:m(x y) n(yx)=。6.(2017春醴陵市期末）因式分解:6(x 3)x(3x)=。7.(2017春碑林区校级期中）分解因式 2m（mn)228m2 (nm)=。8.(2016陕西校级三模）分解因式：（

16、3a b）（a2b) ab b =。9.(2017沂源县一模）因式分解 （ab)(a1） a b 1的结果为。10.（ 2016春寿光市期末）计算:56520.13 4652 0.13=。11.（ 2015秋孟津县期末）简便计算:1210.13 12.1 0.9 1.21 12=。A、22015B、22014C、22014D、3 2201417. ( 2016春宿州校级月考）下列运算中，因式分解正确的是（）A、 m2mn mm(mn 1)B、9abc6a2b23bc(32ab)2C、3a x 6bx 3x3x( a22b)D、1 .2 ab1 2 a1bab(ab)22218. ( 2015春

17、杭州期末）多项式(x 2)(2x1)（x 2）可以因式分解成(x m)(2x n)，则m n的值是（）A、2B、2C、4D、419.( 2015春莲湖区校级月考）把多项式3m(xy) 2( yx)2分解因式的结果是（）A、(xy)(3m 2x2y)B、(xy)(3m2x2y)C、(xy)(3m 2x2y)D、(yx)(3m2x2y)16. （2016春锡山区校级月考）计算:)二、填空题12. （2017春宜兴市期中）把多项式16x3 40x2y提出一个公因式8x2后，另一个因式是。13. （ 2016安徽模拟）已知长和宽分别为a,b的长方形，其面积等于 15,周长等于16，则2 22a b 2ab =。14. （2016北京）如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式。a16.（2015秋黄山期末）若a 2，a 2bc 3，则2a2 4a