圆知识点总结及典型例题.docx圆知识点总结及典型例题

1、圆章节知识点复习、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念:1、圆：至U定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂 线）；3 、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4 、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的 两条直线；5 、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条

2、直线距离都相 等的一条直线。、点与圆的位置关系1、点在圆内 =d : r = 点C在圆内;2、点在圆上=d = r = 点B在圆上;3、点在圆外 =dr= 点A在圆外;三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 =d r = 无交点；2、直线与圆相切 =d = r = 有一个交点;3、直线与圆相交 =d : r =有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1 ）=无交点 =d R r ；外切（图2 ）= 有一个交点 =d = R r ；相交（图3）= 有两个交点 =R - r ： d ： R r ；内切（图4） 有一个交点 =d = R - r ；内含（图5） = 无交点 = d : R - r ；

3、五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：（ 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共 5个结论中，只要知道其中 2个即可推出其它3个结论，即：AB是直径 AB _ CD CE = DE 弧BC =弧BD 弧AC二弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在O O 中， AB / CD弧 AC =弧 BDDA六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相

4、等的圆心角所对的弦相等,定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的 3个结论，即：AOB = . DOE : AB = DE ；OC =OF :弧BA二弧BD七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即： AOB和.ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 AOB =2 ACB2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中即：在O O中， C、. D都是所对的圆周角 / C ZD所对的弧相等，弦心距相等。此推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在O O中， AB

5、是直径或 C =90 C =90 AB是直径推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在 ABC 中， OC =0A =OB ABC是直角三角形或.C=90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.八、圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即:在O O中，四边形ABCD是内接四边形 . C BAD =180 . B . D =180 DAE 二 C九、切线的性质与判定定理(1) 切线的判定定理：过半径外端且垂直于半

6、径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即： MN _OA且MN过半径OA外端 MN是O O的切线(2) 性质定理：切线垂直于过切点的半径(如上图)推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理:即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。D即： PA、PB是的两条切线 PA =PBPO平分 BPADA十一、圆幕定理(1) 相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积

7、相等。即：在O O中，T弦AB、CD相交于点P , PA PB =PC PD(2) 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。EB即：在O O 中，直径 AB _ CD , CE2 二 AE BE(3) 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在O O中， PA是切线，PB是割线PA2 二 PC PB(4) 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积 相等(如上图)。即：在O O中， PB、PE是割线 PC PB =PD PE十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连

8、线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：0Q2垂直平分AB 。即：TO Oi、O O2相交于A、B两点二02垂直平分AB十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：(1) 公切线长： Rt O1O2C 中，AB2 二 CO；二 OQ22 _CO22 ;(2) 外公切线长：CO2是半径之差；内公切线长：CO2是半径之和十四、圆内正多边形的计算CO1O2(1)正三角形在O O中 ABC是正三角形，有关计算在Rt BOD 中进行OD:BD:OB =1: ,3:2 ；(2) 正四边形同理，四边形的有关计算在 Rt OAE中进行，OE: AE:OA=1:1:-三:(3) 正六边形同理，六边形的有关计算在 R

9、LQAB中进行，AB:OB:OA=1:、.3:2 .十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式n兀RCODOB1、扇形：(1)弧长公式：|（2）扇形面积公式:2小 nn RS 二360Trn :圆心角R :扇形多对应的圆的半径2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图2S表 二 S侧 2S底=2二 rh 2二 rl :扇形弧长S :扇形面积（2）圆柱的体积：v =：r2h（2）圆锥侧面展开图（1） S表=S侧-S底= -：Rr 二 r21 2（2）圆锥的体积：V r2h3典型例题例1两个同样大小的肥皂 泡黏在一起，其剖面如图 1所示（点O, 0是圆心），分隔两个 肥皂泡的肥皂膜 PQ成一条直线，TP、NP分别为

10、两圆的切线，求/ TPN的大小.例2.如图，AB为O O直径，E是BC中点，OE交BC于点D, BD=3 , AB=10 ,则AC=例3.如图，O O的直径为10,圆心O到弦AB的距离OM的长为3,则弦AB的长是()例4.如图，在O O中，AB、CD是两条弦，OE丄AB , OF丄CD，垂足分别为 EF.(1) 如果/ AOB= / COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？(2) 如果OE=OF，那么AB与CD的大小有什么关系？ AB与CD的大小有什么关系？ ？为 什么？/ AOB与/ COD呢？例5.如图3和图4, MN是O O的直径，弦AB、CD?相交于 MN?上的一点 P,?/A

11、PM= / CPM .(1) 由以上条件，你认为 AB和CD大小关系是什么，请说明理由.(2) 若交点P在O O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明 理由.A例6如图，点 0是厶ABC的内切圆的圆心，若/ BAC=80，则/ BOC=()A. 130 B. 100 C. 50 D. 65例7.如图，AB为O O的直径，C是O O上一点，D在AB的延长线上，且/ DCB= / A .(1) CD与O 0相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由.D(2) 若CD与O 0相切，且/ D=3C , BD=10，求O 0的半径.例8.如图所示，点 A坐标为(0, 3

12、) , 0A半径为1,点B在x轴上.(1) 若点B坐标为(4, 0), O B半径为3，试判断O A与O B位置关系;(2) 若O B过M (-2, 0)且与O A相切，求B点坐标.例9.如图，已知正六边形ABCDEF，其外接圆的半径是 a, ?求正六边形的周长和面积E例10.在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8,现要建造一个内接于 ABC?的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如图24 - 94的设计方案是使 AC=8 , BC=6 .(1)求厶ABC的边AB上的高h. (2)设DN=x ,且h 一 DN = ，

13、当x取何值时，水池DEFN h AB的面积最大？ ( 3)实际施工时，发现在 AB上距B点1 . 85的M处有一棵大树，问：这棵大树 是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条 件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树.例11.操作与证明：如图所示， 0是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆 心角为直角的扇形纸板的圆心放在0处，并将纸板绕 0点旋转，求证：正方形 ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值 a.例12.已知扇形的圆心角为 120 ,面积为300兀cm2.(1)求扇形的弧长；(2)若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面

14、积为多少?c例13、如图，AB是O O的直径，BC是弦，OD丄BC于E,交BC于D.(1)请写出五个不同类型的正确结论；(2)若BC=8, ED = 2，求O O的半径.例14.已知：如图等边 ABC内接于O O,点P是劣弧PC上的一点(端点除外)，延长BP至D，使BD =AP，连结CD .(1 )若AP过圆心O,如图，请你判断 PDC是什么三角形？并说明理由.15.如DEOAPC -E是O O的切线边形OABCBPBD是O O的直径,AE _ CD，垂足为E , DA平分图D .图(2)若.DBC =30 , DE =1cm，求 BD 的长.(2)若AP不过圆心O，如图， PDC又是什么三角

15、形？为什么?解题思路：(1) PDC为等边三角形.O例16、如图，已知在O O中，AB= 4 3 , AC是O O的直径，AC丄BD于F,/ A=30 .(1) 求图中阴影部分的面积；(2) 若用阴影扇形 OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径例17.如图，从一个直径是 2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90的扇形.(1)求这个扇形的面积(结果保留 二).(2)在剩下的三块余料中，能否从第块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由.(3) 当O O的半径R(R . 0)为任意值时，(2)中的结论是否仍然成立？请说明理由.例18.(1)如图OA、OB是O O的两条半径，

16、且 OA丄OB，点C是0B延长线上任意一点:过点C作CD切O 0于点D，连结AD交DC于点E.求证：CD=CE(2)若将图中的半径 0B所在直线向上平行移动交0A于F，交O 0于B其他条件不变，那么上述结论 CD=CE还成立吗？为什么？(3) 若将图中的半径 0B所在直线向上平行移动到O 0外的CF,点E是DA的延长线与 CF的交点，其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗？为什么例19、(2010山东德州)如图，在 ABC中，AB=AC , D是BC中点，AE平分/ BAD交BC于点E,点0是AB上一点，O 0过A、E两点，交AD于点G,交AB于点F.(1)求证：BC与O 0相切;(2)

17、当/ BAC=120时，求/ EFG的度数.例20、(2010广东广州)如图，O 0的半径为1，点P是O 0上一点，弦 AB垂直平分线段 0P, 点D是APB上任一点(与端点 A、B不重合)，DE丄AB于点E,以点D为圆心、DE长为 半径作O D，分别过点A、B作O D的切线，两条切线相交于点C.(1) 求弦AB的长；(2) 判断/ ACB是否为定值，若是，求出/ ACB的大小；否则，请说明理由;(3) 记厶ABC的面积为S,若一与 =4 3，求 ABC的周长.DE例21. (2010江西)“6”形图中，FM是大圆的直径，BC与大圆相切于 B, 0B 与小圆相交于 A, BC II AD, CD / B H/ FM, BC / DG ,DH/ EH于 H，设 FOB 二：,0B =4,BC =6 ,(1)求证：AD是小圆的切线;(2)在图中找出一个可用 :-表示的角，并说明你这样表示的理由;(3)当 =30，求DH的长例22. (2010江苏泰州，28, 12分)在平面直角坐标系中，直线y = kx b ( k为常数且0)分别交x轴、y轴于点A、B,O O半径为,5