江苏省大学生力学竞赛教练员培训研讨会

1、江苏省大学生力学竞赛教练员培训研讨会江苏省大学生力学竞赛教练员培训研讨会动载荷动载荷2022年年2月月20日日材料力学南京航空航天大学 邓宗白2一、动静法一、动静法动载荷动载荷三、强迫振动的应力计算三、强迫振动的应力计算二、杆件受冲击时的应力和变形二、杆件受冲击时的应力和变形3一、动静法一、动静法将遍布于构件整个体积内的惯性力附加在构件上，构件在作用力与惯性力的共同作用下保持动力平衡状态，把动载荷问题作为静载荷来处理，这就是动静法动静法，或称为达朗贝尔原理达朗贝尔原理。1 1、匀加速直线运动、匀加速直线运动动荷系数：动应力：)1 (gaKdstddK注：若不考虑重力的影响daKg动静法4有一钢

2、杆长为 ， 端固定一重量为 的物体， 端刚性固联在小车上，如图所示。杆自身重度为 ，当小车沿斜面方向以等加速度 前进时，试求杆 端截面处的最大拉应力及最大压应力。QLCBaB例1动静法5解： 杆自重 为轴向均布载荷BC1q1qA重物 的惯性力 是与 反向的集中载荷QPaQPag 杆的惯性力 是与 反向的均布载荷BC2qa2Aqag 杆受横力如图（c）所示。BCcoscosxQPPag2coscosxAqqag22211coscos22BxQAMP Lq LaLaLgg(2)cos2aLQALg动静法6 杆受轴力如图（d）所示。BCsin(1sin)yaFQPQPQg12sin(1sin)Aaq

3、qqAaAgg(1sin)(1sin)BaaNFqLQALgg()(1sin)aQALgmaxBBNMAW,maxBBtNMAW2()(1sin)()cos2QaQLALaLAgWWg 2,max()(1sin)()cos2cQaQLALaLAgWWg 动静法72 2、匀速转动、匀速转动22dvrKrgg动荷系数：（1）平面运动（2）空间运动物体在一个平面内作匀速转动，其向心加速度一般为一个常量。物体在空间内作匀速转动，其向心加速度通常是一个变量。动静法8图示开口圆环， 端与刚性杆 连接， 杆绕通过 点的铅垂轴以等角速度 作水平转动。已知：材料的密度为 ，弹性模量为 ，圆环平均半径为 ，环杆横

4、截面直径为 ，试求 点的径向位移和该截面的转角（只考虑弯曲效应）BABABAERdC例2动静法9解：单位弧长上的惯性力:段弧长上的惯性力:ds2AqRgdqqRd任意圆心角 对应横截面上的弯矩为2200( )sin()sin()(1 cos )MdqRqRdqR用单位力法求解在 点加一径向单位力C点径向位移为C0( )sinMR022200( )( )1(1 cos ) sinrMMRdqRRRdEIEI2401 coscos2 04qREI动静法10在 截面加一单位力偶，如图（d）所示C0( )1M截面的转角为C022200( )( )1(1 cos ) 1cMMRdqRRdEIEI 223

5、324423242264dRRqRRgdEIgEdE动静法11图示重为 、长为 的杆件 ，可在铅垂平面内绕 点自由转动，当此杆以等角速度 绕铅垂轴 旋转时，试求：（1） 角的大小；（2）杆上的最大弯矩。WLABAy例3动静法12解：（1）杆 重力AB( )Wq xL惯性力2( )( sin)Wt xxLg匀速运动时，应满足平衡方程 ，即0AM00( )sin( )cos0LLq x dxxt x dxx200sinsincos0LLWWxdxxdxLLg222sinsincos023WLWLLLgsin0（舍去）23cos2gL23arccos2gL动静法13（2）在垂直杆轴向的分量重力的分量

6、惯性力的分量在垂直杆轴向的支反力 为( )sinsinWq xL22( )cossincossin22WWxt xxLgLgR1( )sin( )cos2Rq xLLt L21sinsin222WWLLLLLg2sinsin24WLWg杆内弯矩：2211( )sinsin2223WWxxM xRxxxLLg3222sinsinsinsin24212WLWxWWxxxgLLg动静法14又23cos2gL223sin1 ()2gL故22223( )()1 ()44WxgM xLxLL由( )0M xx22340XLxL将 代入，得最大弯矩为有极小值，为 0；,( )xL M x有极大值，,( )3

7、LxM x3Lx 222max22233()1 ()1 ()4332272WLLgWLgMLLLL动静法15二、杆件受冲击时的应力和变形二、杆件受冲击时的应力和变形1 1、冲击物垂直下落冲击、冲击物垂直下落冲击、冲击物水平以速度冲击、冲击物水平以速度冲击211dstHK 211dstvKg v2dstvKg杆件受冲击时的应力和变形22/11dstHvgK dTVU11dstTKU 16题型分类：（）静不定结构和组合变形的冲击；（）非线性结构的冲击；（）突然刹车引起的冲击；（）考虑被冲击杆件质量的冲击；（）其他。注：冲击问题的求解关键是能量守恒原理。注：冲击问题的求解关键是能量守恒原理。杆件受冲

8、击时的应力和变形17图（a）所示重为 的重物自高位 处自由下落冲击于薄壁圆环顶点 ，已知 为常数，求 点的最大动位移的计算式。PhEIAA一、静不定结构和组合变形的冲击杆件受冲击时的应力和变形例418解：当环顶端A处作用静力P时，求 。取1/4圆环AD段，如图（b）所示。1DMX( )1M( )(1 cos )2PMr /2210(1 cos )Pr2(1)22FPrrdEIEI /21102l lrdrEIEI由正则方程（D截面处的转角为0）11110FX解得：111Pr()2X杆件受冲击时的应力和变形19由莫尔定理，顶端A的垂直位移：22/2330cos1Pr ()2 PrPr24()0.

9、1494ArdEIEIEI 顶端A点的最大动位移：33213.42Pr(11)(11) 0.149PrdAsthEIhEI 杆件受冲击时的应力和变形20图示折杆 在 段的自由端截面 处有一重物 自高度 处下落。已知 ， ， ， ， ， ，试按第三强度理论计算结构受冲击时 段的最大动应力。ABCDCDDHQ100QN30dmm210EGPa0.4GE1200Lmm250HmmAB例5杆件受冲击时的应力和变形21解： 段弯曲变形引起 点的位移为：段扭转变形引起 点的唯一为 ，先求ABD331( )2324LQQLEIEIABD2杆 的 截面受扭矩：ABC12CTQL两端支反力偶：1124TATBC

10、MMTQL32124222216TAACpppLLMQLLLLQLGIGIGI杆件受冲击时的应力和变形22段弯曲变形引起 点的位移为 ，先求ABD32ABQRRABMM如图（c）所示，当 时， ，挠曲线一般方程式为：0 x 0,0yy3231()22662AQxQLEIyM xx当 时， ，得xL0y 3321022668AQLQLM L 18AMQL 1228CAQLMMQL杆件受冲击时的应力和变形23将 ， 的值代入，得2Lx AM2311( )( )2 8223 2cQL LQLEIy 3192cQLyEI 33192QLEI 点静位移D3331232416196stpQLQLQLEIG

11、IEI3111()2412.8192QLEI334100 120064111()210 10302412.81922.587()mm杆件受冲击时的应力和变形2422 250111214.942.587dstHK 杆的弯曲和扭转作和变形， 截面为危险截面。ABCmax18MQLmax14TMQL22223313211()()84rTMMQLQLWd332 100 12001112.65()3044MPa maxmax314.94 12.65189()ddstdrKKMPa杆件受冲击时的应力和变形25有一悬臂梁 ，长度为 ，抗弯刚度为 ，梁本身自重可忽略不计。在自由端 下方有一弹簧，与之相距一铅垂

12、的间隙 ，当在梁自由端作用一静载 时，梁正好与弹簧接触，若将 突然放在自由度上，则梁接触弹簧后使弹簧压缩 。求弹簧刚度值 。ABLEIBQQ/2K例6杆件受冲击时的应力和变形二、非线性结构的冲击26解： 加载后重物 势能减少：Q32VQ梁的变形能：221111139()2228dstQQUQ弹簧变形能：222221112224ddddUQQQ杆件受冲击时的应力和变形27能量守恒原理：12TUU2391284dQQQ232dQQ弹簧刚度：2232312ddQQQK又33QLEI故39EIKL杆件受冲击时的应力和变形28图示两相同梁AB、CD，自由端间距 ，当重为Q的物体突然加于AB梁的B点时，求

13、CD梁C点的挠度 。f3/(3)QlEI例7 （第三届全国周培源大学生力学竞赛试题）杆件受冲击时的应力和变形29解： 重物降下的位能为 变成两杆的应变能。()VQ f杆1 211 ()2fWc杆22212fWc33lcEI即221()()2Q fffc由题 ，代入后得即Qc222 ()22fff2222ff杆件受冲击时的应力和变形30图示两根完全相同的悬臂梁，抗弯刚度为 ，在自由端两者有一间隙 ，今有一重物P从高度 落下，试求重物对梁的最大冲击力？假设：两梁变形均在弹性范围内，冲击物为刚体，被冲击梁质量不计，在冲击过程中，两梁共同运动。EIh例8杆件受冲击时的应力和变形31解：当梁受到最大冲击

14、力作用时，上梁的最大挠度为 ， 下梁的最大挠度为 ，根据能量守恒原理，有dd 22d11()()22ddkkP h 即：22()()02ddkkkPPh 所以：22d1()()2(2)2PPPhkR 设两梁中间的相互作用力为F，则：ddFFk ()dFk 消去F得最大冲击力：d33(2)(2)ddEIFkl 杆件受冲击时的应力和变形32在悬臂钢梁的端部装一吊车，将重物以匀速 下放（如图）。今吊车突然制动，求钢绳中的动应力。设梁长为，抗弯刚度为，绳长为，绳的横截面积为，钢的弹性模量为，重物的重量为，梁与车的质量不计。vlEIaAEQ例9杆件受冲击时的应力和变形三、突然刹车引起的冲击33解：将梁与

15、绳看成一弹性系统，该系统的柔度系数（载荷与 柔度系数相乘即给出载荷作用点的变形）为：设制动前系统的变形量为 ，制动后系统的变形量为 （图（b）。根据能量守恒原理，制动前、后能量相等，于是：式中 为制动后绳中的动拉力。由胡克定律知：33laCEIEAcCQddCQ2111()222dccddQvQQQgcddQ（a）（b）杆件受冲击时的应力和变形34将（b）式代入（a）式，得：222111()222ddQvQ CQCQCQCQg即：2222()0ddv QQQQQCg22(1)(1)dcvvQQQCQgg故绳中的动应力为：231()3dvKQlQagEIEA 式中 是绳中的静应力，。/cQ Ad

16、dcK动荷系数：杆件受冲击时的应力和变形35图（a）所示均质悬臂梁重为 ，在自由端受到重物 自高度为 的自由落体的冲击。如果考虑杆件的质量，试求动荷系数的表达式。11Pm gPmgh例10杆件受冲击时的应力和变形四、考虑被冲击杆件质量的冲击36解：悬臂梁自由端受P作用时的挠曲线方程为：33232333333()()32222BPlxxxxwwEIllll （1）求相当质量1m2221110111 33()()()222140lBBdwmdwdwmdxmdtldtdt所以：1133144mm（2）求冲击物与相当质量的共同速度1v记02vgh杆件受冲击时的应力和变形37由动量守恒011()mvmm

17、 v10133144mvvmm（3）求动荷系数dK21111()2211111111(1/)22dstststmm vThKm mGmg 式中：33stmglEI2211101111()221/mGhTmm vmvmmmm杆件受冲击时的应力和变形38求：1、梁内最大冲击正应力 ；,maxd将梁设计成两段等长的阶梯梁（两段各长），梁高保持不变，各段梁宽度可按要求设计。在梁内最大冲击正应力不变的条件下，按最省材料原则，阶梯梁在靠自由端一段宽，靠固定端一段宽，则/2lh1b2b3、阶梯梁比等截面梁节省材料（分数或百分数表示）2、比值；12/bb矩形等截面悬臂梁高 ，宽 ，长 。重Q的重物从高 处落到

18、自由端并附着它。梁的重量不计，E为材料的弹性模量， 为截面轴惯性矩。hblI360/(3)HQlEIHQhb/2l/2lAhb2hb1HB例11（第四届全国周培源大学生力学竞赛试题）杆件受冲击时的应力和变形五、其他类型的冲击39解：）33stQlEI22 601111201/3dstHK maxmax2212020/6ddstQlQlKbhbh）max22/6AddQlKb hmax21/2/6BddQlKbhmaxmaxAdAd2221662ddQlQlKKb hbh12/1/2bb 故得：杆件受冲击时的应力和变形HQhb/2l/2lAhb2hHBb140）Vbhl等1223224llVbh

19、b hb hl阶梯maxmaxdAd2266ddQlQlKKbhb h2ddKbbK31112bhI 32212b hI HQhb/2l/2lAhb1hb2HB212II杆件受冲击时的应力和变形41/2121122120/2llstlQxQxx dxx dxEIEI阶梯3331( /2)( ) )332Q lQllEIEI331272424QlQlEIEI3217()1224QlEI3238QlEI322232 6081111 32011 3203dQlEIIbKEI QlIb QhbQL1I2I1x2x杆件受冲击时的应力和变形422211 32020bbbb2221 320(201)bbbb

20、22221 320400()401bbbbbb2360940010bb22233313441440bhlb hlbbbVVVbhlbhlbb 2ddKbbK由有则杆件受冲击时的应力和变形43如图所示，由相同材料和相同截面尺寸的等直杆组成的桁架当重物从H的高度下落到D点时，动力放大系数（最大冲击载荷与对应静载荷之比）为10。若将桁架各杆的截面面积提高50%，而保持结构其余几何参数，重物下落的高度和位置不变，则：1、动力放大系数为多少？ 2、在安全因数相同的条件下，重物的许用重量提高多少？（用百分数表示）（忽略桁架质量及冲击过程的能量损失，并设结构为线弹性）例12 （江苏省第三届大学生力学竞赛试题

21、）杆件受冲击时的应力和变形44解: 1、设动力放大系数为K，则：211stHK 其中 为D点静位移。将K=10代入上式得：st280stH因桁架为线弹性结构，静位移与杆横截面面积A成反比。stPBA其中B、P与截面面积无关，杆件受冲击时的应力和变形45设横截面面积增加后的桁架D点的静位移为 ，动力放大系数为 ，许用载荷为 ，则*st*K*P*2/()1.53ststBPBPAA故*223:2ststststHH*2120stH*11 12012K *1.5stPBA 杆件受冲击时的应力和变形462、桁架最大动应力与动载荷 成正比，与杆横截面面积成反比dP,maxddPKPCCAA其中：C与 和

22、A无关。dP当新旧桁架许用最大动应力相等时安全因数相同* 1.5KPK PCCAA*5 4PP* 25% PPP*,max1.51.5dddPK PCCAA杆件受冲击时的应力和变形47钢杆以速度 水平撞击刚性壁，若杆的弹性模量 密度 。假设冲击时，杆的轴向应力线形分布，A端为零，B端最大，试求杆的最大轴向冲击力。v=3m/s210EGPa37800/kg m例13杆件受冲击时的应力和变形48解：由能量守恒2222max001( )( )222llxxmvAdxAdxEEl其中，设A端为坐标起点，杆长为 ，横截面面积为A。l用密度表示质量解出最大轴向应力mAl2max3210.3E vMPa杆件

23、受冲击时的应力和变形49三、强迫振动的应力计算三、强迫振动的应力计算振动物体的运动方程为：其中， 为重力， 为弹簧系数， 为干扰力， 为阻尼力。系统的固有频率阻尼系数2222sind xdxgHnxptdtdtQQCsinHptdxRrdtstgCgQ2grnQ强迫振动的应力计算50设把干扰力 按静载荷的方式作用于弹性系统上的静位移为放大系数：振幅：振动的动荷系数：2 22211 () 4() ()pnpH2HHgHQCHB11HdstHKQ maxddstK强迫振动的应力计算51图示矩形截面（ ）梁，在跨中 有 的重物作强迫振动，已知 ， ， ， ，不计梁的质量，求该梁振动时允许的最大振幅

24、。50 60C0.1PkN1Lm124900 10Im70EGPa 120MPaB例14强迫振动的应力计算52解：取相当系统如图示，则：11110pX其中：113LEI2116pPLEI 1316XPL222331 3(2)16343 32323 32stcLPLPLPLfPLEI 370.0145768PLmEI强迫振动的应力计算533max1233 100 1 3 10()62.51616 900 10AstPLMPaW maxmaxmax()(1)()(1)62.5 1200.0145AAdststBBMPamaxmax ()12062.50.01450.0133()62.5AststAstBm 强迫振动的应力计算54等截面钢架简支如图（a）所示，集中质量为 的重物置于竖杆离梁为 处，在图示平面内的上下振动频率与左右摇摆的振动频率在什么条件下是一样的？（已知 、 ，并忽略钢架自重，求 之值）rmmEI: l r例15强迫振动的应力计算55解： 由 ，上下振动时tg3148stmglEI左右摆动时，利用叠加法求得：322()312strr lmgEIEI