一元二次方程能力拔高题

1、一元二次方程培优专题复习考点一、概念（1）定义：|只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2,这样的整式方程 就是一元(2)般表达式:ax2+ bx + c = 0(a式0)难点：如何理解“未知数的最高次数是 2”：该项系数不为“ 0”；未知数指数为“ 2”；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论典型例题：例 1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（,2J11A、3x12x1B、2卜-2=0 x x变式：当 k_时，关于 x 的方程kx2+2x = x2+3是一元二次方程。例 2、方程m 2 3mx 1=0是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为针对练习

2、:2 1、方程8x -7的一次项系数是 _ ，常数项是 _。 2、若方程m - 2丿川=0是关于 x 的一元一次方程，求 m 的值： _ ;写出关于 x 的一元一次方程： _。 3、若方程m -1 x2m=1是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范围是 4、若方程nxm+xn-2x2=0 是一元二次方程，则下列不可能的是（）A.m=n=2B.m=2, n=1C. n=2,m=1D.m=n=1考点二、方程的解概念：|使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用：|利用根的概念求代数式的值；典型例题：例 1、已知2y2 y - 3的值为 2，则4y2 2y 1的值为_。例2、关于x的一元二次

3、方程a - 2x? x，a2-4=0的一个根为0,则a的值为_次方程。)2C、ax bx c = 0例 3、已知关于 x 的一元二次方程ax2 bx c = 0 a = 0的系数满足a c =b，则此方程 必有一根为_。2 2例 4、已知a,b是方程x 4xm=0的两个根，b,c是方程y -8y，5m=0的两个根， 贝U m的值为_ 。针对练习： 1、已知方程x2 kx -10 =0的一根是 2，贝 U k 为_ ，另一根是 _。2X +1 2、已知关于 x 的方程x kx - 2 = 0的一个解与方程3的解相同。求 k 的值;x -1方程的另一个解。2 2 3、已知 m 是方程x -x-1=

4、0的一个根，则代数式m -m二 _ 。2 2 4、已知a是x -3x *1=0的根，贝U 2a 6a =_。 5、方程ab x2 bc x ca =0的一个根为（）A-1B 1Cb-cD- a 6、若2x 5y -3 =0,贝94x32y=_。考点三、解法方法：直接开方法；因式分解法；配方法；公式法关键点：|降次类型一、直接开方法：x2= m（m M 0 x= 扁对于（x + af = m,（ax + mf =（bx十nf等形式均适用直接开方法典型例题：例 1、解方程：12X2-8 = 0;2 25 -16X2=0；3 1 - x2- 9 = 0;例 2、解关于 x 的方程：ax2- b =0

5、例 3、若9 x -12=16x22，则 x 的值为_ 。针对练习：|下列方程无解的是（）2A.x 3 =2x -1B.x-2i；=0C.2x 3=1 - xD.x 9=0类型二、因式分解法：（x-为lxx2）=0二= x1,或x = x2方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为2 2 2=bx n,x ax b = x ax c ,x2ax a = 0例 1、2xx-3 = 5 x - 3的根为（）Bx=3Cx1,X2=323 4x y -4=0,则 4x+y 的值为变式 1 :a2b2【-a2b2- 6 =0,则a2b2-变式 2 :若x y 2-x-y *3 = 0，则 x+y

6、的值为_。2 2变式 3 :若x xy y =14，y xy 28，则 x+y 的值为_例 3、方程x2x - 6 =0的解为（）D.=2，x2_ _2例 4、解方程：x2+2(J3+1 x+23 + 4 = 0得=_,x2=_22x + y例 5、已知2x2-3xy-2y2=0,则的值为_。x y22X + V变式：已知2x -3xy-2y =0,且x 0, y 0,则的值为_x_ y针对练习: 1、下列说法中：方程x2px q = 0的二根为为，x2，则x2px q = （x - xj（x - x2）-x26x - 8 = (x-2)(x -4).a2-5ab 6b2二(a-2)(a-3)

7、x2-y2=(x y)C. xy)C、x：-；y) 方程(3x 1)2-7 =0可 变形 为(3x V 7)(3x 1- . 7) =0正确的有( )A.1 个B.2 个 C.3 个例 2、若4x yA.X1 =_3，x 2 2B.x1= 3,x2- -2C.x1= 3,x2- -3mD.4 个 2、以17与1 - 7为根的一元二次方程是()2 2 2A.x -2x-6=0B.x -2x 6 =0C.y 2y-6=0D.y22y 6= 03、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数： _写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数： _ 4、若实数 x、y 满

8、足x 3 x y 2 = 0，则 x+y 的值为（）A、-1 或-2B、-1 或 2C、1 或-2D、1 或 2215、方程：x 2-2的解是_ 。x6、已知J6x2xy - J6y2= 0，且x0,y=0，求2丁6的值。J3x-y2 “ 丄CF亠 c k f b 彳 b2_ 4acax + bx + c = 0（a 式 0 Z x + i =- -i 2a 丿4a2在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值 之类的问题。典型例题：例、已知 x、y 为实数，求代数式x2y2 2x -4y 7的最小值。针对练习：21111、 已知x2-x4=0，则xxxx2、若t =2 -

9、/-3x2 12x -9，则 t 的最大值为 _，最小值为_b 二 b2-4ac2aa = 0,且 b2- 4ac _ 0a = 0,且 b2-4ac _ 0典型例题：例、选择适当方法解下列方程：31 x2=6.x 3 x 6 - -8.2x4x1=02类型五、“降次思想”的应用典型例题：例 1、若关于x的方程x22, kx0有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是例 2、关于 x 的方程m -1 x2 2mx m二0有实数根，则 m 的取值范围是（）D.m 1例 3、已知关于 x 的方程x2- k 2 x 2k = 0（1）求证：无论 k 取何值时，方程总有实数根；（2）若等腰 ABC 的

10、一边长为 1，另两边长恰 好是方程的两个根，求 ABC 的周长。2例 4、已知二次三项式9x -（m 6）x m2是一个完全平方式，试求m的值.有两个不同的实数解？有两个相同的实数解?针对练习:时，关于 x 的二次三项式x2kx 9是完全平方式。2、当k取何值时，多项式3x2-4x 2k是一个完全平方式？这个完全平方式是什么?23x -4x -1 = 03 x -1 3x 1i=：ix-1 2x 5求代数式的值;解二元二次方程组。- 2（X-13_X2+1典型例题：例 1、已知X23x+2 = 0,求代数式-X1的值。例 2、如果x2x -0，那么代数式x32x2-7的值。2a3_2a2_5a

11、+1例 3、已知a是一元二次方程x -3x T = 0的一根，求a21的值。考点四、根的判别式b24ac根的判别式的作用:定根的个数；求待定系数的值；应用于其它 。例 5、m为何值时，方程组“l 22X2+2y2=6,、mx + y = 3.1、当 k23、已知方程mx -mx 2 = 0有两个不相等的实数根，则 m 的值是y = kx +2,2（ 1 ）有两组相等的实数解，并求此解； （2）、目4x2y + 1 = 0.4、k为何值时，方程组有两组不相等的实数解；（3）没有实数解5、当k取何值时，方程x?-4mx 4x - 3m2-2m 4k = 0的根与m均为有理数？2（20122012

12、山东德州中考，15,4,15,4,）若关于 x 的方程ax - 2（a 2）x0有实数解，那么实数 a 的取值范围是_ .（2012 湖北襄阳，12, 3 分）如果关于 x 的一元二次方程 kx2 . 2k 1 x+ 1 = 0 有两个不相 等的实数根，那么 k 的取值范围是11 1111A kv丄 B kv丄且 kz0 C ._wkv D 0时，才能用韦X1 X =,X1X =常用变形：aa22211x1x222为x2(X1x2)2X2，(捲冷)(x1x2)4x2，X1x2X-!x2| Xi-X2|h：；(X1X2)2-4X2，X1X22X；X2=X1X2(X1X2)，2 2 2X2X1X1

13、X2(X1X2) -4X1X2坐等X-1X2x X2X-1x2应用：I整体代入求值。典型例题：例 1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x2-8x 7=0的两根，则这个直角三例 3、已知关于 x 的方程k2x2亠2k -1 x 1 = 0有两个不相等的实数根x1,x2, （1 ）求 k的取值范围；（2）是否存在实数 k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k 的值;若不存在，请说明理由。例 4、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1 ）时，小明因看错常数项，而得到解为 8 和 2，小红因看错了一次项系数，而得到解为 -9 和-1。你知道原来 的方程是什么吗？其正确

14、解应该是多少？2 2例 5、已知a _ b,a 2a 1= 0,b 2b 1 = 0,求a b -_达疋理。主要内容:角形的斜边是（)A. .3B.3C.6D. . 6例 2、解方程组:(1)丿x + y = 10,沁=24;X2y2y =2.=10,22a b变式：若a -2a -1=0,b -2b -1=0，贝 U的值为_。b a例 6、已知:-/是方程X? 一x= 0的两个根，那么:43二针对练习 1 .已知a?7a = 4,b?7b = -4 （a式b）,求+.1的值。2、已知Xi,x2 a Vb?32是方程x?-x-9=0的两实数根，求x17x?3x?-66的值。3.（湖 北中 考题

15、）设a? 2a-1 =0,b4-2b?-仁0，且1-ab2=0，则ab?+b?-3a +1 = 。Ia丿4. （四川中考题）如果方程 x?+ px+ q= 0 的两个根是 X1,x?,那么 X1+ x?=- p,X1x?= q 请 根据以上结论，解决下列问题：（1 ）已知关于 X 的方程 X?+ mx + n = 0 （n丰0）,求出一个一元二次方程，使它的两根别是已知方程两根的倒数；（2）已知 a、b 满足 a?- 15a-5 = 0, b?- 15b- 5 = 0,求a+ -的b a值；（3）已知 a、b、c 均为实数，且 a+ b+ c = 0, abc= 16,求正数 c 的最小值.1

16、当 k 为何值时，关于 x 的方程k?-1 X? k 1 x -？= 0有实数根2.已知方程2xa b-xa_bab =0是关于 x 的一兀二次方程，求 a, b 的值3 设x33x -1 0和x3b，bx 0都是关于 X 的一元二次方程, 求：*b?01?ab?013的值。4 解下列方程:实根。2 2 2恰有一个公共实数根，求一的值。be ae ab(1)2x2- 2x-50(3)3x x 5 =5x 5(4)x2- x -2 = 05 已知方程2x2-14m-1 x =m22m求证：不论 m 为何值，次方程均有两个不相等的6 已知三个关于 x 的一元二次方程ax2bx 02bx exa =

17、 02ex ax b = 08 关于 x 的方程x2-(k 1)x - 2 =0和方程x2-2x -k(k 1)-0只有一个相同的实根,求 k 的值及公共根。9 已知 a.b.c 分别是三角形ABC 的三边长。当m0 时，关于 x 的一元二次方程c x2 m Lb x2- m?-2t max =0有两个不相等的实根，试判断三角形ABC 的形状。2 2 210 已知方程x 5x 0与方程2x 2x0的公共根和方程3x x - 24 = 0与、121方程x - x n = 0的公共根相同，求m,n的值。2 211 m, n 是方程x2- 2x -1 =0的两个根，且7m2-14m a 3n2- 6

18、n - 7i=12求 a 的值。12 甲，乙两同学分别同时解同一个一元二次方程，甲把以此项系数看错了解的两根为-3 和5。乙把常数项看错了得两根为2 6和2 - 6，求原一元二次方程。7 已知a22a -1 =0 b4-2b2-1=0试求ab2b21I a2012的值。13 已知关于 x 的方程x2- 2(m - 2) x - 3m2-1 = 0(1 )求证无论 m 为何值，方程总有两个不相等的实根(2)设方程的两根为xux2，xx2=2 3求 m 的值。2 214 要使关于 x 的一元二次方程x - 2(m - 2)x - 3m - 1 = 0的两根的平方和最小, 求 m 的值。215 已知

19、函数 y= 和 y=kx+1 (XM0)x(1) 若这两个函数都经过(1, a)求 a 和 k 的值(2) 当 k 取何值时，这两个函数图像总有公共点16 某商店销售一批名牌衬衫，平均每天可以销售20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，调查发现如果每件降价1 元则每天可以多销售 2 件，若商场平均每天盈利1200 元，则每件应该降价多少元？17 为实现国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”市政府加快了廉租房的建设力度。从2010 年起，市政府开始投资，以后逐年增长，2011 年投资了 3 亿元人民币。预计 2012年底三年累计共投资9.5 亿元

20、人民币建设廉租房，若在这两年内投资的增长率相同，求市政府投资的年增长率?18 某商家从厂家以每件21 元价格购进一批商品，该商家可自行定价。若每件商品售价a元，则可卖出（350-10a）件，但物价部门限定每件商品加价不得超过定价的20%。商店计划要赚 400 元，需要卖出多少件商品？每件商品售价多少？元二次方程培优训练1.已知方程 3ax2-bx-仁 0 和 ax2+2bx-5=0,有共同的根-1,贝 U a=_ = .2关于x的方程（m- .3）xm-x=0是一元二次方程，则m= _;2 2 2 23设a, b是一个直角三角形两条直角边的长，且（a b ）（a b 1） = 12，则这个直角

21、三角形的斜边长为_；2114. 当 X =_时，代数式X-一X-一的值为 0225.已知：m -1 = 2,则关于x的二次方程（m +1）x2（m +5）x + 4 = 0的解是_;6.方程（2 .3）x2二x的解是_ ;7. 若一元二次方程 ax2+bx+c=0（a丰0）有一个根为 1,则 a+b+c= ;若有一个根为-1,则 b 与 a、c 之间的关系为;若有一个根为零，则 c= .8. 3x 4 y一6y 9=0则 xy=_9、写出以 4, -5 为根且二次项的系数为1 的一元二次方程是 _10、 如果x2-2 m 1 x 4是一个完全平方公式，则 m =_。11、 已知两个数的差等于

22、4，积等于 45,则这两个数为 _和_。2 212、 当 m=_时，关于x的方程(m 1X十(m1只一 2 =0为一元二次方程。13写出一个一元二次方程，使它的一个根为2_.14当 x=_ 时，代数式x2+4x 的值与代数式 2x+3 的值相等15、 方程2x2 3x =0的根是_。2 216、用配方法解方程x-4x-6=0,贝U x - 4x _ = 6 -_,所以x1 =_。_2 217、 要使关于 x 的一元二次方程x - 2(m - 2)x - 3m -1 = 0的两根的平方和最小， 求 m 的值。7、下列方程是一元二次方程的是(A、x 2y =1B 、2x x -1 =2x23C8、

23、关于x的一元二次方程x2k = 0有实数根，则(A、k v010、方程x(x 1)(x -2) =0的解是11、_ 当 y=时，y2-2y 的值为 3；212、 已知方程 x +kx+3=0 的一个根是-1 ，贝 U k=_ , 另一根为_ ;13、 写出以 4， 5 为根且二次项系数为 1 的一元二次方程是 _;14、 某校去年投资 2 万元购买实验器材，预期今明两年的投资总额为 8 万元，若该校这两年购买实验器材的投资的年平均增长率为 x,则可列方程_；D49、将方程x22x3=0 化为(xmf=n的形式，指出m, n分别是(B、-1 和 3C、1 和 4D、 一1 和 415、设a,b是

24、一个直角三角形两条直角边的长，且(a2b2)(a2b21)=12，则这个直角三角形的斜边长为_ ；三部分1.方程不一定是一元二次方程的是2A.(a-3)x=8 (a 工 0)5.关于x的方程(a2- a - 2) x2 ax b = 0是一元二次方程的条件是-()A a=：-1 B a = 2 C a=：-1且a = 2Da=，-1或a = 226 等腰三角形的两边的长是方程x-20 x 91 =0的两个根，则此三角形周长为A.27B. 33C. 27 和 33 D. 以上都不对7.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035 张照片,如果全班有 x 名同学，根

25、据题意，列岀方程为()A. x(x+1)=1035 B.x(x1)=1035X2C. x(x1)=1035 D.2x(x+1)=10358.一元二次方程 2x(x 3) = 5(x 3)的根为()555A. x = B . x = 3 C . X1= 3, X2= D . x =-2222 29. 已知x -5xy 6y = 0,则y : x等于()111A.-或 1B.6 或 1C.-或D.2 或 36329.使分式x_5x_6的值等于零的 x 是 ()x +1A.6B.-1或 6C.-1D.-610 方程 x2-4 | x | +3=0 的解是()()2+bx+c=0B.axC.(x+3)

26、(x-2)=x+5D.2、若关于x 的一元二次方程、3x23x 一 2 = 057丄2x a1 x2- 1二0的一个根是 0,贝 y a 的值是3、把方程4, 13B、-1或-12 -x -8x，3=0化成x -n的形式，则B、-4, 19 C、-4, 134, 19m、n 的值是(4、已知直角三角形的两条边长分别是方程2X2-14X 48 =0的两个根，则此三角形的第三边是()10或2J7 C、10或8 D、27A.x= 1 或 x= 3 B.x=1 和 x=3 C.x=-1 或 x=-3 D.无实数根11.关于 x 的方程 x2-k2-16=0 和 x2-3k+12=0 有相同的实数根，k 的值是()(11) (y + 2f=(3y-12(12)-x24x-2 =012、 请判别下列哪个方程是一元二次方程（）23A、x 2y =1B、x 5=0C、2x 8D、3x 8 = 6x 2x13、 请检验下列各数哪个为方程x2-6x8 =0的解（）A、5B、2C、-8D、-214、 下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题，其中答对的是（）A、若x2=4,则 x = 2；B、若 3x2=6x，则 x = 2；C、x2x-k=o 的一个根是 1，则 k=2；D、若分式- 的值为零，贝U x=2。x2-3x +215、如果 x2+bx + 16 = （x 4