环的定义与性质

1、定义定义 8.1.1 设设(R, , )是是一个代数结构，若一个代数结构，若（1）(R, )为交换群；为交换群；（2）(R, )为半群；为半群；（3）运算）运算 对对 满足分配律，满足分配律，则称则称(R, , )为为一个环。一个环。例例 8.1.1 全体整数关于数的加法和乘法运算构成全体整数关于数的加法和乘法运算构成一个环一个环(Z,+,x x)，通常称为，通常称为整数环整数环；全体偶数关于；全体偶数关于数的加法和乘法也构成一个环数的加法和乘法也构成一个环(E,+,x x)。 将交换群将交换群(R, )的二元运算的二元运算 叫做加法，记为叫做加法，记为+，并称交换群为一个并称交换群为一个加法

2、群加法群，记为，记为(R, +)， (R, +)的的单位元称为环的零元，记为单位元称为环的零元，记为0，而而(R, +)中元素中元素 a的逆元称为的逆元称为a的负元，记为的负元，记为-a 。 将半群将半群(R, )的二元运算叫做乘法，记为的二元运算叫做乘法，记为x x，半群，半群记为记为(R, x x)。 今后将环记为今后将环记为(R, +, x x)。环环(R, +, x x)有下面的基本公式：有下面的基本公式：（1）0 + a=a + 0=a （2）-(-a)=a（3）a+b=c a=c-b（4）-(a+b)=-a-b（5）-na =-(na)=n(-a)（6）ma+na=(m+n)a;

3、m(a+b)=ma+mb（7）-ab=(-a)b=a(-b)（8 8）0a=a0=0（9 9）(a-b)c=ac-bc; a(b-c)=ab-ac（1010）aman=am+n; (am)n=amn定义定义 8.1.2 环环(R, +, x x)称为交换环，如果乘法称为交换环，如果乘法 x x 适适合交换律；合交换律； 环环(R, +, x x)称为含幺环，如果半群称为含幺环，如果半群(R, x x)有单位元。有单位元。通常将半群的单位元记为通常将半群的单位元记为1，叫做含幺环的幺元，叫做含幺环的幺元或单位元。或单位元。例例 整数环整数环(Z,+,x x)既是既是交换环，也是含幺环；偶数构交换

4、环，也是含幺环；偶数构成的环成的环(E,+,x x)是是交换环，但不是含幺环。交换环，但不是含幺环。例例 8.1.3 所有所有n阶实方阵阶实方阵Mnxn(R)关于矩阵的加法关于矩阵的加法+和乘法和乘法x构成一个环构成一个环(Mnxn(R),+,x)，单位矩阵是该，单位矩阵是该环的单位元，但它不是交换环。环的单位元，但它不是交换环。 全体实系数多项式全体实系数多项式Px关于数的加法和乘法运算关于数的加法和乘法运算构成一个环构成一个环(Px,+,x x), 既是既是交换环，也是含幺环交换环，也是含幺环 (Zn,+n,x xn)构成一个环，称为构成一个环，称为模模 n的剩余类的剩余类环。环。既既是是

5、交换环，也是含幺环。交换环，也是含幺环。定义定义 8.1.3 设设a, b为环为环(R, +, x x)的非零元，若的非零元，若ab=0,则称则称a为为b的一个左零因子，而的一个左零因子，而b为为a的一个右零因的一个右零因子。一个没有（左、右）零因子的环，称为无零子。一个没有（左、右）零因子的环，称为无零因子环。因子环。例例. 在环在环(M2x2(R),+,x)中，中，OABBA 0000111111111111,1111则则设设定理定理 8.1.1 环环(R, +, x x)没有零因子的充要条件是没有零因子的充要条件是 (R, +, x x)满足消去律。满足消去律。证证. 充分性充分性 环环

6、(R, +, x x)满足消去律，假如环有零因子。满足消去律，假如环有零因子。 不妨设不妨设a, b为环的非零元，且为环的非零元，且ab=0，则，则ab=0b=0，由消去由消去律得律得a=0，与，与a为环的非零元矛盾，于是环没有左零因子。为环的非零元矛盾，于是环没有左零因子。类似地可以证明环也没有右零因子。类似地可以证明环也没有右零因子。 必要性必要性 环没有零因子，环没有零因子， 若若ax=ay，a为环的非零元，则为环的非零元，则a(x-y)=0，必有，必有x-y=0，即，即x=y，所以环满足左消去律。类似地可以证明环也满足右，所以环满足左消去律。类似地可以证明环也满足右消去律。消去律。推论

7、推论 8.1.1 在一个环在一个环(R, +, x x)中，若左（右）消去中，若左（右）消去律成立，则左（右）消去律也成立。律成立，则左（右）消去律也成立。定义定义 8.1.4 称一个称一个无无零因子的、含幺的、交换环零因子的、含幺的、交换环(R, +, x x)为为整环。整环。例例 整数环整数环(Z,+,x x)是是整环，多项式环整环，多项式环(Px,+,x x)是是整环整环 定理定理 8.1.2 整环整环(R, +, x x)中每一个非零元素对于加中每一个非零元素对于加法的阶都是相同的。法的阶都是相同的。证证. 如果整环如果整环(R, +, x x)中每一非零元素对于加法的阶都是无中每一非

8、零元素对于加法的阶都是无穷的，则定理显然是对的。穷的，则定理显然是对的。 如果存在一个非零元素如果存在一个非零元素 a的阶是的阶是 n，那么，那么 b R，b0，我们来证明我们来证明 b的阶也是的阶也是 n。由于。由于a(nb)=n(ab)=(na)b=0，因，因此此a(nb)=0。又因整环无零因子，及。又因整环无零因子，及a0 ，故，故nb=0，从而从而b的阶不超过的阶不超过 n。不妨设不妨设b的阶是的阶是 m，则，则m n。另一方面，。另一方面， 由由b(ma)=m(ba)=(mb)a=0，则同，则同样有样有n m，于是，于是m=n，即，即元素元素b的阶等于元素的阶等于元素a的阶。的阶。

9、定义定义 8.1.5 称整环称整环(R, +, x x)中非零元素对于加法的中非零元素对于加法的阶为阶为(R, +, x x)的特征。的特征。例例 整数环整数环(Z,+,x x)的特征是的特征是无穷大，而无穷大，而模模3的剩余类的剩余类环环(Z3,+3,x x3)的特征是的特征是3 注意注意 在定理在定理8.1.2的证明中我们仅用到整环无零的证明中我们仅用到整环无零因子这一条件。因而定理因子这一条件。因而定理8.1.2对于任何无零因对于任何无零因子环来说也是正确的。因此，对于无零因子环，子环来说也是正确的。因此，对于无零因子环，我们也有特征的概念。我们也有特征的概念。 在实数域中，有二项式公式

10、：在实数域中，有二项式公式： 在特征在特征 p的整环中，有公式：的整环中，有公式：(a+b)p=ap+bp 原因在于当原因在于当0kp时，有时，有 nkkknknnbaCba0)(0)(,|1 kkpkpkkpkpkpbapCpabaCCp 从环从环R到到R自身的同态称为自同态；从环自身的同态称为自同态；从环R到到R自自身的同构称为自同构。身的同构称为自同构。 设整环设整环(R, +, x x)的特征为的特征为 p ( p0)，则，则 映射映射 : a ap是单射是单射自同态。自同态。定理定理 8.1.3 若一个无零因子环若一个无零因子环(R, +, x x)的特征是有的特征是有限的，则一定是素数。限的，则一定是素数。证证. 如果如果(R, +, x x)的特征的特征 n不是素数，则存在