第4章 习题课　机械能守恒定律

1、习题课机械能守恒定律学习目标 1.进一步理解机械能守恒的条件及其判定.2.能灵活应用机械能守恒定律的三种表达方式.3.在多个物体组成的系统中 ,会应用机械能守恒定律解决相关问题.4.明确机械能守恒定律和动能定理的区别一、机械能是否守恒的判断判断机械能是否守恒的方法：(1)做功条件分析法：假设物体系统内只有重力和弹力做功 ,其他力均不做功 ,那么系统机械能守恒 ,具体有三种表现：只受重力、弹力 ,不受其他力；除受重力、弹力外还受其他力 ,其他力不做功；除重力、弹力外还有其他力做功 ,但其他力做功的代数和为零(2)能量转化分析法：假设只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化 ,系统跟外界

2、没有发生机械能的传递 ,机械能也没有转变成其他形式的能(如没有内能增加) ,那么系统的机械能守恒例1(多项选择)如图1所示 ,斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止于水平面上 ,现将一小球从图示位置静止释放 ,不计一切摩擦 ,那么在小球从释放到落至地面的过程中 ,以下说法正确的选项是()图1A斜劈对小球的弹力不做功B斜劈与小球组成的系统机械能守恒C斜劈的机械能守恒D小球机械能的减少量等于斜劈动能的增加量答案BD解析小球有竖直方向的位移 ,所以斜劈对小球的弹力对球做负功 ,故A选项错误；小球对斜劈的弹力对斜劈做正功 ,所以斜劈的机械能增加 ,故C选项错误不计一切摩擦 ,小球下滑过程中 ,小球和斜劈组成的系统中

3、只有动能和重力势能相互转化 ,系统机械能守恒 ,故B、D选项正确二、多物体组成的系统机械能守恒问题1多个物体组成的系统 ,就单个物体而言 ,机械能一般不守恒 ,但就系统而言机械能往往是守恒的2关联物体注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系3机械能守恒定律表达式的选取技巧(1)当研究对象为单个物体时 ,可优先考虑应用表达式Ek1Ep1Ek2Ep2或EkEp来求解(2)当研究对象为两个物体组成的系统时：假设两个物体的重力势能都在减少(或增加) ,动能都在增加(或减少) ,可优先考虑应用表达式EkEp来求解假设A物体的机械能增加 ,B物体的机械能减少 ,可优先考虑用表达式EA增EB减来求

4、解例2如图2所示 ,斜面的倾角30° ,另一边与地面垂直 ,高为H ,斜面顶点上有一定滑轮 ,物块A和B的质量分别为m1和m2 ,通过轻而柔软的细绳连接并跨过定滑轮开始时两物块都位于与地面距离为H的位置上 ,释放两物块后 ,A沿斜面无摩擦地上滑 ,B沿斜面的竖直边下落假设物块A恰好能到达斜面的顶点 ,试求m1和m2的比值滑轮的质量、半径和摩擦均忽略不计图2答案12解析设B刚下落到地面时速度为v ,由系统机械能守恒得：m2gm1gsin 30°(m1m2)v2A以速度v上滑到顶点过程中机械能守恒 ,那么：m1v2m1gsin 30° ,由得12.针对训练如图3所示

5、,在长为L的轻杆中点A和端点B各固定一质量为m的球 ,杆可绕轴O无摩擦的转动 ,使杆从水平位置无初速度释放求当杆转到竖直位置时 ,杆对A、B两球分别做了多少功？图3答案mgLmgL解析设当杆转到竖直位置时 ,A球和B球的速度分别为vA和vB.如果把轻杆、两球组成的系统作为研究对象 ,因为机械能没有转化为其他形式的能 ,故系统机械能守恒 ,可得：mgLmgLmvA2mvB2因A球与B球在各个时刻对应的角速度相同 ,故vB2vA联立得：vA ,vB.根据动能定理 ,对A有：WAmg·mvA20 ,解得WAmgL.对B有：WBmgLmvB20 ,解得WBmgL.三、机械能守恒定律与动能定理

6、的综合应用例3为了研究过山车的原理 ,某兴趣小组提出了以下设想：取一个与水平方向夹角为37°、长为l2 m的粗糙倾斜轨道AB ,通过水平轨道BC与半径为R0.2 m的竖直圆轨道相连 ,出口为水平轨道DE ,整个轨道除AB段以外都是光滑的其中AB与BC轨道以微小圆弧相接 ,如图4所示一个质量m1 kg的小物块以初速度v05 m/s从A点沿倾斜轨道滑下 ,小物块到达C点时速度vC4 m/s.取g10 m/s2 ,sin 37°0.6 ,cos 37°0.8.图4(1)求小物块到达C点时对圆轨道压力的大小；(2)求小物块从A到B运动过程中摩擦力所做的功；(3)为了使小物

7、块不离开轨道 ,并从轨道DE滑出 ,求竖直圆弧轨道的半径应满足什么条件？答案(1)90 N(2)16.5 J(3)R0.32 m解析(1)设小物块到达C点时受到的支持力大小为N ,根据牛顿第二定律有 ,Nmgm解得：N90 N根据牛顿第三定律得 ,小物块对圆轨道压力的大小为90 N(2)小物块从A到C的过程中 ,根据动能定理有：mglsin 37°WfmvC2mv02解得Wf16.5 J(3)设小物块进入圆轨道到达最高点时速度大小为v1 ,为使小物块能通过圆弧轨道的最高点 ,那么v1小物块从圆轨道最低点到最高点的过程中 ,根据机械能守恒定律有：mvC2mv122mgR ,当v1时 ,

8、联立解得R0.32 m ,所以为使小物块能通过圆弧轨道的最高点 ,竖直圆弧轨道的半径应满足R0.32 m.1.(机械能是否守恒的判断)(多项选择)如图5所示 ,一根轻弹簧下端固定 ,竖立在水平面上其正上方A位置有一只小球小球从静止开始下落 ,在B位置接触弹簧的上端 ,在C位置小球所受弹力大小等于重力 ,在D位置小球速度减小到零对于小球下降阶段 ,以下说法中正确的选项是(不计空气阻力)()图5A在B位置小球动能最大B在C位置小球动能最大C从AC位置小球重力势能的减少等于小球动能的增加D整个过程中小球和弹簧组成的系统机械能守恒答案BD解析小球从B运动至C过程 ,重力大于弹力 ,合力向下 ,小球加速

9、 ,从C运动到D ,重力小于弹力 ,合力向上 ,小球减速 ,故在C点动能最大 ,故A错误 ,B正确；小球下降过程中 ,只有重力和弹簧弹力做功 ,小球和弹簧系统机械能守恒 ,D正确；从AC位置小球重力势能的减少量等于动能增加量和弹性势能增加量之和 ,故C错误2(多物体组成的系统机械能守恒问题)(多项选择)如图6所示 ,a、b两物块质量分别为m、3m ,用不计质量的细绳相连接 ,悬挂在定滑轮的两侧开始时 ,a、b两物块距离地面高度相同 ,用手托住物块b ,然后由静止释放 ,直至a、b物块间高度差为h ,不计滑轮质量和一切摩擦 ,重力加速度为g.在此过程中 ,以下说法正确的选项是()图6A物块a的机

10、械能守恒B物块b的机械能减少了mghC物块b机械能的减少量等于物块a机械能的增加量D物块a、b与地球组成的系统机械能守恒答案CD解析释放b后物块a加速上升 ,动能和重力势能均增加 ,故机械能增加 ,选项A错误对物块a、b与地球组成的系统 ,只有重力做功 ,故机械能守恒 ,选项D正确物块a、b构成的系统机械能守恒 ,有(3m)gmgmv2(3m)v2 ,解得v；物块b动能增加量为(3m)v2mgh ,重力势能减少mgh ,故机械能减少mghmghmgh ,选项B错误由于绳的拉力对a做的功与b克服绳的拉力做的功相等 ,故物块b机械能的减少量等于物块a机械能的增加量 ,选项C正确3(机械能守恒定律与

11、动能定理的综合应用)如图7所示 ,一内壁光滑的细管弯成半径为R0.4 m的半圆形轨道CD ,竖直放置 ,其内径略大于小球的直径 ,水平轨道与半圆形轨道在C处连接完好置于水平轨道上的弹簧左端与竖直墙壁相连 ,B处为弹簧原长状态的右端将一个质量为m0.8 kg的小球放在弹簧的右侧后 ,用力水平向左推小球压缩弹簧至A处 ,然后将小球由静止释放 ,小球运动到C处时对轨道的压力大小为F158 N水平轨道以B处为界 ,左侧AB段长为x0.3 m ,与小球间的动摩擦因数为0.5 ,右侧BC段光滑g10 m/s2 ,求：图7(1)弹簧在压缩时所储存的弹性势能；(2)小球运动到轨道最高处D点时对轨道的压力答案(

12、1)11.2 J(2)10 N ,方向竖直向上解析(1)对小球在C处 ,由牛顿第二定律、牛顿第三定律及向心力公式得F1mgm ,解得vC5 m/s.从A到B由动能定理得EpmgxmvC2 ,解得Ep11.2 J.(2)从C到D ,由机械能守恒定律得：mv C22mgRmvD2 ,vD3 m/s ,由于vD2 m/s ,所以小球在D点对轨道外壁有压力小球在D点 ,由牛顿第二定律及向心力公式得F2mgm ,解得F210 N.由牛顿第三定律可知 ,小球在D点对轨道的压力大小为10 N ,方向竖直向上一、选择题考点一机械能是否守恒的判断1.如图1所示 ,一轻绳的一端系在固定粗糙斜面上的O点 ,另一端系

13、一小球给小球一足够大的初速度 ,使小球在斜面上做圆周运动在此过程中()图1A小球的机械能守恒B重力对小球不做功C轻绳的张力对小球不做功D在任何一段时间内 ,小球克服摩擦力所做的功总是等于小球动能的减少量答案C解析斜面粗糙 ,小球受到重力、支持力、摩擦力、轻绳张力的作用 ,由于除重力做功外 ,支持力和轻绳张力总是与运动方向垂直 ,故不做功 ,摩擦力做负功 ,机械能减少 ,A、B错 ,C对；小球动能的变化量等于合外力对其做的功 ,即重力与摩擦力做功的代数和 ,D错考点二多物体组成的系统机械能守恒问题2.如图2所示 ,小物体A和B通过轻质弹簧和轻绳跨过光滑定滑轮连接 ,初状态在外力控制下系统保持静止

14、 ,轻弹簧处于原长 ,且轻弹簧上端离滑轮足够远 ,A离地面足够高 ,物体A和B同时从静止释放 ,释放后短时间内B能保持静止 ,A下落h高度时 ,B开始沿斜面上滑 ,那么以下说法中正确的选项是()图2AB滑动之前 ,A机械能守恒BB滑动之前 ,A机械能减小CB滑动之前 ,A、B组成的系统机械能守恒DB 滑动之后 ,A、B组成的系统机械能守恒答案B3(多项选择)如图3所示 ,将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上 ,槽的左侧有一固定的竖直墙壁现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落 ,从A点与半圆形槽相切进入槽内 ,那么以下说法正确的选项是()图3A小球在半圆形槽内运动的全过程中 ,

15、只有重力对它做功B小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中 ,小球的机械能守恒C小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中 ,小球与半圆形槽组成的系统机械能守恒D小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中 ,机械能守恒答案BC4.如图4所示 ,物体A、B通过细绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧 ,物体A、B的质量都为m.开始时细绳伸直 ,用手托着物体A使弹簧处于原长且A与地面的距离为h ,物体B静止在地面上放手后物体A下落 ,与地面即将接触时速度大小为v ,此时物体B对地面恰好无压力 ,不计空气阻力 ,那么以下说法正确的选项是()图4A弹簧的劲度系数为B此时弹簧的弹性势能等于mghmv2C此时物体B的速

16、度大小也为vD此时物体A的加速度大小为g ,方向竖直向上答案A解析由题意可知 ,此时弹簧所受的拉力大小等于B的重力 ,即Fmg ,弹簧伸长的长度为xh ,由Fkx得k ,故A正确；A与弹簧组成的系统机械能守恒 ,那么有mghmv2Ep ,那么弹簧的弹性势能Epmghmv2 ,故B错误；物体B对地面恰好无压力时 ,B的速度为零 ,故C错误；根据牛顿第二定律对A有Fmgma ,Fmg ,得a0 ,故D错误【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在弹簧类问题中的应用5.如图5所示 ,质量分别为m和3m的小球A和B可视为质点 ,系在长为L的细线两端 ,桌面水平光滑 ,高为h(hL)A球无初速

17、度地从桌面滑下 ,落在沙地上静止不动 ,不计空气阻力 ,那么B球离开桌面的速度为()图5A. B.C. D.答案A解析由hL ,当小球A刚落地时 ,由机械能守恒得mgh(m3m)v2 ,解得v ,B球以此速离开桌面 ,选项A正确【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在绳连接体问题中的应用6.如图6所示 ,B物体的质量是A物体质量的 ,在不计摩擦及空气阻力的情况下 ,A物体自H高处由静止开始下落以地面为参考平面 ,当物体A的动能与其重力势能相等时 ,物体A距地面的高度为(B物体与定滑轮的距离足够远)()图6A.H B.HC.H D.H答案B解析设A的质量mA2m ,B的质量mBm.物

18、体A的动能等于其重力势能时 ,A离地面的高度为h ,A和B的共同速率为v ,在运动过程中 ,A、B系统的机械能守恒 ,有2mg(Hh)×2mv2mv2 ,又×2mv22mgh ,联立解得hH ,应选项B正确【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在绳连接体问题中的应用7.如图7所示的滑轮光滑轻质 ,不计一切阻力 ,M12 kg ,M21 kg ,M1离地高度为H0.5 m ,取g10 m/s2.M1与M2从静止开始释放 ,M1由静止下落0.3 m时的速度为()图7A. m/s B3 m/sC2 m/s D1 m/s答案A解析对系统运用机械能守恒定律得(M1M2)g

19、h(M1M2)v2 ,代入数据解得v m/s ,故A正确 ,B、C、D错误【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在绳连接体问题中的应用8.如图8所示 ,一均质杆长为r ,从图示位置由静止开始沿光滑面ABD滑动 ,AB是半径为r的圆弧 ,BD为水平面那么当杆滑到BD位置时的速度大小为(重力加速度为g)()图8A. B.C. D2答案B解析虽然杆在下滑过程有转动发生 ,但初始位置静止 ,末状态匀速平动 ,整个过程无机械能损失 ,故有mv2mg· ,解得：v.【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在杆连接体问题中的应用二、非选择题9(多物体组成的系统机械能守恒问题)

20、一半径为R的半圆形竖直圆柱面 ,用轻质不可伸长的细绳连接的A、B两球悬挂在圆柱面边缘两侧 ,A球质量为B球质量的2倍 ,现将A球从圆柱边缘处由静止释放 ,如图9所示A球始终不离开圆柱内外表 ,且细绳足够长 ,假设不计一切摩擦 ,重力加速度为g ,求：A球沿圆柱内外表滑至最低点时速度的大小图9答案2解析设A球沿圆柱内外表滑至最低点时速度的大小为v ,B球的质量为m ,那么根据机械能守恒定律有2mgRmgR×2mv2mvB2 ,由图可知 ,A球的速度v与B球速度vB的关系为vBv1vcos 45° ,联立解得v2.10(多物体组成的系统机械能守恒问题)如图10所示 ,半径为R的光滑半圆弧轨道与高为10R的光滑斜轨道放在同一竖直平面内 ,两轨道之间由一条光滑水平轨道CD相连 ,水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡在水平轨道上 ,轻质弹簧被a、b两小球挤压但不与球连接 ,处于静止状态同时释放两个小球 ,a球恰好能通过圆弧轨道的最高点A ,b球恰好能到达斜轨道的最高