广东省珠海一中高考数学复习 双曲线的补充性质及应用课件 新人

1、复习：1、以圆锥曲线焦点弦AB为直径作圆,与相应的准线l有两个不同的交点.求证:(1)这圆锥曲线一定是双曲线,(2)对于同一双曲线,l截得圆弧的度数为定值.eAMAFBNBF|.,圆半径为割线GHleABeBFeAF|1e| 2|GHABe11 即.,NlBNMlAMHlGH于于作于证明:(1)如图取AB中点G,作SGT令|BNAM BAMNTSHGFxyo由圆锥曲线第二定义,得从而,(e为双曲线的离心率)故是双曲线.(2)若l交圆于S、T点,.1|2|2|2cos为定值eABBNAMGSGHGSGH.的度数为定值为定值弧ST222axy2y双曲线一准线方程为12) 1 ()2)(2(yxyx

2、2),2()1(a得131222xy双曲线方程为)1 (2,2ace即所以2、求过点A（-1，4）且以xy2为渐近线的双曲线方程。解：设双曲线方程为将A（-1，4）代入（1），得导评：这里用曲线系解法，避免了选择双曲线类型的麻烦，值得推广应用。2y3、以坐标轴为对称轴的等轴双曲线的一条准线方程为求双曲线方程。解：设双曲线方程为因为双曲线是等轴的，)2(22ca422xy双曲线方程为aaabacabab45)43(,43,4322224545aaace故313,13, 4, 9222acecba离心率故,43xy4、双曲线的渐近线方程为求双曲线的离心率。解：设比曲线的实半轴长,虚半轴长、半焦距、

3、离心率分别为a,b,c,e.（1）若焦点在x轴上，则（2）若焦点在y轴上，则aaabacabba35)34(,34,4322223535aaace故14922yx5、已知双曲线的右支上有一点P到右焦点的距离为2，求点P到双曲线左准线的距离。解题指导：为了避免繁杂的计算，我们不采用由已知确定P点坐标的方法，而运用双曲线上一点到焦点和相应准线的距离比是一个常数（双曲线离心率） 来进行求解。解：由已知双曲线方程，得设P点到双曲线左焦点的距离为x，由双曲线的定义，知x-2=6,设P点到双曲线左准线的距离为d，则131324,3138dd即6、双曲线的一条渐近线和一条准线交于M点，F点是与该准线相应的

4、焦点，求证直线FM垂直于这条渐近线。证明：设双曲线方程为)0, 0( 12222babyax相应的焦点为F(c,0),.,2xabycax渐近线方程为则准线为),(,22cabcaMxabycax得与由则直线FM的斜率为baccacabkFM2abk 而渐近线斜率, 1kkFM.垂直于渐近线直线FM7、等轴双曲线122 yx右支上求一点P(a,b),使P点到它一渐近线y=x的距离为2解：依题意，)3(0)2(22|)1 (, 122ababababbba进而得由|,|1),1 (22)4(, 2,22),2(baba即得由(1),(4)联立,得4345ba)43,45(P导评：本题讨论ab是简

5、化计算步骤的关键，本题容易误认为a0,b0,从而错解。8、双曲线222akyx中，与虚轴平行的弦的两端点和双曲线顶点所张的两角互补，求k。018022,知由已知PAMMPA,再设)2(,22020akyx知又由已知0)(ctgaxytgaxytg0000,则)1 (20220yax01tgtgtgtgxyoAPQAM解题指导：本题应注意双曲线的对称性，所张两角若互补，则它们的 半角即互余，再利用三角公式就可以求k出的值。解：如图，设双曲线上弦一端点为),(00yxP平行于虚轴（y轴）的弦PQ交x轴于M点，设A，A为双曲线两顶点，则A（-a,0),A(a,0)（1）、（2）联立，得k=1导评：这

6、本是等轴双曲线的一个性质，此题是将这性质反过 来改编而成的。)(|),(|)(| ,|).(,),().)(0 ,(),0 ,(),0, 0( 1020102012100222212222aexMFaexMFMaceaexMFaexMFMMMFMFyxMbaccFcFbabyax点在双曲线左支上时当点在双曲线右支上时并且当如图点半径点的焦称为双曲线的线段对双曲线上任一点右焦点为左焦点为对于一、双曲线的补充性质一、双曲线的补充性质1、双曲线的焦点半径1),0, 0( 1, 1),()0, 0( 1202022222020002222bxxayybabxaybyyaxxyxMbabyax相应的切线

7、方程为对于双曲线的切线方程为过双曲线上一点对于双曲线abHHHH221212,为通径2、切线公式3、通径过双曲线焦点且垂直于长轴的弦叫做椭圆的通径，如图2Fxyo1FM2Fxyo1F1H2H4、焦参数（焦准距）cb2焦点到相应准线的距离叫做双曲线的焦参数（焦准距）,双曲线的焦参数为5、双曲线圆的光学性质双曲线上任一点M，过M点的切线平分过点M的两焦半径所夹的角，这称为双曲线的光学性质。二、双曲线补充性质的应用二、双曲线补充性质的应用2Fxyo1FMNeaexaexyxM0000),(则设eeeax20)1 (eMFMFeMNMF|,|211212112eeee0, 12eee2Fxyo1FMN

8、)0, 0( , 12222babyax例1、双曲线右支上存在与右焦点和左准线等距的点，求离心率e的取值范围。2F|2MNMF 解：如图，设M点在双曲线右支上，且它到右焦点的距离等于它到左准线的距离|MN|，即ax 011,)1 (22eeeaeeea即211, 1ee但导评：这题利用双曲线第二定义及焦点半径公式，大大简化了计算。),(,| ,|002211yxMrMFrMF设22ctgtg则解法一：acacaexraexr上式得代入,0102|12NFNONONF|12NFNFcNFNF2|21)0, 0( 12222babyax例2、已知M点是双曲线.22,),0 ,(),0 ,(1221

9、21的值求设ctgtgFMFFMFcFcF上异于顶点的任一点,双曲线焦点为2222112122224444rcrcrrcrcrcrrcrcrrcrrr122212212212441441cos1cos1sinsinsincos1cos1sin2Fxyo1FMy2Fxo1FoMEDN解法二:如图,作21FMF的内切圆O,N为圆O与x轴的切点.22ctgtg则|)|(|)|(|,2121DFMDEFMEMFMF知又由切线长定理acNFcaNF| ,|21acacctgtg22导评:解法二充分利用了双曲线定义,计算量大幅度下降,不难看出N点恰好是右顶点.aNFNF2|21例3、过双曲线QFMF 故cax200002)(yaexaeeaaeyaexbkQ