2015年秋九年级数学上册 22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系 ppt课件

1、5. 一元二次方程根与系数的关系 1.一元二次方程的普通方式是什么？一元二次方程的普通方式是什么？3.一元二次方程的根的情况怎样确定？一元二次方程的根的情况怎样确定？2.一元二次方程的求根公式是什么？一元二次方程的求根公式是什么？) 0( 02acbxaxacb42没有实数根两个相等的实数根两个不相等的实数根000) 04(2422acbaacbbx 解以下方程，将得到的解填入下解以下方程，将得到的解填入下面的表格中，他发现表格中的两个解面的表格中，他发现表格中的两个解的和与积和原来的方程的系数有什么的和与积和原来的方程的系数有什么联络？联络？方方 程程x1x1x2x2x1+x2x1+x2 x

2、1xx1x2 2x2-2x=0 x2-2x=0 x2+3x-x2+3x-4=04=0 x2-x2-5x+6=05x+6=0-402201-3-42356 探求探求1 普通地，对于关于普通地，对于关于x的方程的方程x2+p x+q=0 p、q为知常数，为知常数，p2-4q0，试用求根公式求出它的两个，试用求根公式求出它的两个解解x1、x2， 算一算算一算x1+x2、x1、x2 的值，他能发现什么结论？与前面的的值，他能发现什么结论？与前面的察看的结果能否一致？察看的结果能否一致？ 242qpP 关于关于x的方程的方程x2+p x+q=0 p、q为知常为知常数，数，p2-4q0，用求根公式求得，用

3、求根公式求得x1 = 、x2 =NoImage 那么那么x1+x2=-p，x1 x2=q，这阐明，这阐明一元二次方程的系数与方程的两个根之间总一元二次方程的系数与方程的两个根之间总存在一定的数量关系。用这种关系可以在知存在一定的数量关系。用这种关系可以在知一元二次方程一个根的情况下求出另一个根一元二次方程一个根的情况下求出另一个根及未知系数，或求作一个一元二次方程。及未知系数，或求作一个一元二次方程。242qpp结论：结论：填写下表：填写下表：方程方程两个根两个根两根两根之和之和两根两根之积之积a与与b之间之间关系关系a与与c之间之间关系关系1x2x21xx 21xx abac猜测：猜测：假设

4、一元二次方程假设一元二次方程 的两个根的两个根分别是分别是 、 ，那么，他可以发现什么结论？，那么，他可以发现什么结论？)0(02acbxax1x2x0432xx0652xx01322 xx23212123214656531213434探求探求2 根据探求根据探求1过程，本人探求过程，本人探求关于关于x的方程的方程ax2+bx+c=0(a0的的两根两根x1 x2与系数与系数a、b、c之间有之间有何关系？何关系？友谊提示友谊提示根与系数的关系存在的前提条根与系数的关系存在的前提条件是：件是：1)a0(2)b2-4ac01)a0(2)b2-4ac0 形如形如ax2+bx+c=0(a0ax2+bx+

5、c=0(a0 x2+px+q=0 x2+px+q=0方式，方式，转化转化 x1+x2=-p x1+x2=-p x1x2=qx1x2=qacxxabxx 2121,知：假设一元二次方程知：假设一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 。abxx21acxx21)0(02acbxax1x2x求证：求证：推导推导:aacbbaacbbxx24242221aacbbacbb24422ab22abaacbbaacbbxx2424222122244aacbb244aacac 假设一元二次方程假设一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 ，那么：，那么：abxx21acxx21)0(02acbx

6、ax1x2x这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。0462 xx235 0 xx 522x22350 xx 0732xx1.3.2.4.5. 口答以下方程的两根之和与两根之积。口答以下方程的两根之和与两根之积。0122 xx21,xx_21xx_21xx632 xx21,xx0932mxx_21xx_21xx02 qpxx例例1 1知知12,xx2241 0 xx 2212xx121212,2xxxx 222121212()2xxxxx x2122 ()2 5例例2 利用根与系数的关系，求一元二次方程利用根与系数的关系，求一元二次方程

7、两个根的；两个根的；1平方和；平方和；2倒数和倒数和01322xx解：设方程的两个根是解：设方程的两个根是x1 x2，那么，那么 121222212121 2212121 231,221()23113222411312322xxx xxxxxx xxxxxx x 解：设方程的两根分别为解：设方程的两根分别为 和和 ， 那么：那么： 而方程的两根互为倒数而方程的两根互为倒数 即：即： 所以：所以： 得：得：例例3. 方程方程 的两根互的两根互为倒数，求为倒数，求k的值。的值。01232kkxx1x2x1221xxk121xx112k1k1 1、假设、假设-1-1是方程是方程2X22X2X+m=0

8、X+m=0的一个根，那么另的一个根，那么另 一个根是一个根是_，m =_m =_。2 2、设、设 X1X1、X2X2是方程是方程X2X24X+1=04X+1=0的两个根，那么的两个根，那么 X1+X2 = _ ,X1X2 = _X1+X2 = _ ,X1X2 = _， X12+X22 = ( X1+X2)2 - _ = _ X12+X22 = ( X1+X2)2 - _ = _ ( X1-X2)2 = ( _ )2 - 4X1X2 = _ ( X1-X2)2 = ( _ )2 - 4X1X2 = _ 3 3、判别正误：、判别正误： 以以2 2和和-3-3为根的方程是为根的方程是X2X2X-6=

9、0 X-6=0 4 4、知两个数的和是、知两个数的和是1 1，积是，积是-2-2，那么这两个数是，那么这两个数是 _ _ 。X1+X22X1X2-34114122和和-1根根底底练练习习还有其他解法吗？还有其他解法吗？23 5. 知方程知方程 的一个根的一个根是是2，求它的另一个根及，求它的另一个根及k的值的值. 解：设方程解：设方程 的两个根的两个根 分别是分别是 、 ，其中，其中 。 所以：所以： 即：即： 由于由于 得：得：k=-7 答：方程的另一个根是答：方程的另一个根是 ，k=-70652kxx0652kxx1x2x21x562221xxx532x5)53(221kxx53补充规律：

10、补充规律：u两根均为负的条件：两根均为负的条件： X1+X2 且且u X1X2 。 u两根均为正的条件：两根均为正的条件： X1+X2 且且u X1X2 。 u两根一正一负的条件：两根一正一负的条件： X1+X2 且且u X1X2 。 u当然，以上还必需满足一元二次方程有根的当然，以上还必需满足一元二次方程有根的条件：条件：b2-4ac0 例例 方程方程x2(m1)x2m10求求m满足满足什么条件时什么条件时,方程的两根互为相反数？方程方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？方程的一根为零？的两根互为倒数？方程的一根为零？解解:(m1)24(2m1)m26m5两根互为相反数两根互为相反数 两

11、根之和两根之和m10,m1,且且0 m1时时,方程的两根互为相反数方程的两根互为相反数.两根互为倒数两根互为倒数 m2m26m6m5,5, 两根之积两根之积2m2m1 11 m1 m1 1且且0,0, m m1 1时时, ,方程的两根互为倒数方程的两根互为倒数. .方程一根为方程一根为0,0, 两根之积两根之积2m2m1 10 0 且且0,0, 时时, ,方程有一根为零方程有一根为零. .21m21m引申引申:1:1、假设、假设ax2ax2bxbxc c0 (a0 (a0 0 0)0)1 1假设两根互为相反数假设两根互为相反数, ,那么那么b b0;0;2 2假设两根互为倒数假设两根互为倒数, ,那么那么a ac;c;3 3假设一根为假设一根为0,0,那么那么c c0 ;0 ;4 4假设一根为假设一根为1,1,那么那么a ab bc c0 ;0 ;5 5假设一根为假设一根为1,1,那么那么a ab bc c0;0;6 6假设假设a a、