建筑力学结构的动力计算

1、第第十三十三章章 结结 构构 的的 动动 力力 计计 算算结构力学结构力学结构力学第十三章第十三章结构的动力计算第第十三十三章章 结结 构构 的的 动动 力力 计计 算算结构力学结构力学结构力学13-1 13-1 动力计算的特点和动力自由度动力计算的特点和动力自由度一、动力计算的特点 “静力荷载静力荷载”：大小、方向和作用位置不随：大小、方向和作用位置不随时间而变化的荷载。由它所引起的内力和变形都时间而变化的荷载。由它所引起的内力和变形都是确定的。是确定的。 “ “动力荷载动力荷载”：大小、方向和作用位置随：大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。这类荷载时间而变化的荷载。这类荷载对结构产生的

2、惯性对结构产生的惯性力不能忽略力不能忽略，由它所引起的内力和变形都是时间，由它所引起的内力和变形都是时间的函数。的函数。第第十三十三章章 结结 构构 的的 动动 力力 计计 算算结构力学结构力学结构力学P(t )tPt简谐荷载（按正余弦规律变化）简谐荷载（按正余弦规律变化）一般周期荷载一般周期荷载二、动力荷载分类 （变化规律及其作用特点（变化规律及其作用特点) )1 1）周期荷载：随时间作周期性变化）周期荷载：随时间作周期性变化。第第十三十三章章 结结 构构 的的 动动 力力 计计 算算结构力学结构力学结构力学3 3）随机荷载：）随机荷载：( (非确定性荷载非确定性荷载) ) 荷载在将来任荷载

3、在将来任一时刻的数值无法事先确定。一时刻的数值无法事先确定。（如地震荷载、（如地震荷载、风荷载）风荷载）2 2）冲击荷载：）冲击荷载：短时内剧增或剧减。短时内剧增或剧减。 （如爆炸荷载）（如爆炸荷载）PtP(t )ttrPtrP第第十三十三章章 结结 构构 的的 动动 力力 计计 算算结构力学结构力学结构力学三、动力计算中体系的自由度 实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由度体系。计算困难，常作简化如下：无限自由度体系。计算困难，常作简化如下： 1 1、集中质量法、集中质量法 把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自把连续分布的质量

4、集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。由度的问题简化成有限自由度问题。确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数第第十三十三章章 结结 构构 的的 动动 力力 计计 算算结构力学结构力学结构力学2个自由度个自由度y2y12个自由度个自由度自由度与质量数不一定相等自由度与质量数不一定相等mmm梁m+m梁II2Im+m柱厂房排架水平振厂房排架水平振时的计算简图时的计算简图单自由度体系单自由度体系第第十三十三章章 结结 构构 的的 动动 力力 计计 算算结构力学结构力学结构力学水平振动时的计算体系水平振动时的计算体系多自由度体系多自由度体系

5、构架式基础顶板简化成刚性块构架式基础顶板简化成刚性块(t)v(t)u(t)4个自由度个自由度m1m2m32个自由度个自由度第第十三十三章章 结结 构构 的的 动动 力力 计计 算算结构力学结构力学结构力学)(xmy(x,t)x无限自由度体系无限自由度体系2 2、广义座标法：、广义座标法：如简支梁的变形曲线用三角级数来表示如简支梁的变形曲线用三角级数来表示nkklxktatxy1sin)(),(x yx)(.),.(),(21xxxna1， a2，. annkkkxatxy1)(),(y(x,t)其中：其中：i i（x x）是自动满足位）是自动满足位移边界条件的函数结合中任意移边界条件的函数结合

6、中任意选取的选取的n n个函数。个函数。3 3、有限单元法：、有限单元法：将杆件分为若干个单元将杆件分为若干个单元第第十三十三章章 结结 构构 的的 动动 力力 计计 算算结构力学结构力学结构力学15-2 15-2 单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动 自由振动自由振动：没有动荷载的作用。：没有动荷载的作用。静平衡位置静平衡位置m获得初位移获得初位移ym获得初速度获得初速度 y要解决的问题包括：要解决的问题包括：建立运动方程、计算自振频率、周期等建立运动方程、计算自振频率、周期等第第十三十三章章 结结 构构 的的 动动 力力 计计 算算结构力学结构力学结构力学 一、运动微分方程的建立方

7、法方法：达朗伯尔原理：达朗伯尔原理应用条件应用条件：微幅振动：微幅振动1 1、 刚度法刚度法：m.yj.yd静平衡位置质量m在任一时刻的位移 y(t)=yj+ydk力学模型力学模型.ydmmWS(t)I(t)+重力重力 W弹性力弹性力 )()()(djyyktkytS恒与位移反向恒与位移反向惯性力惯性力)()()(djyymtymtI 与加速度反向与加速度反向第第十三十三章章 结结 构构 的的 动动 力力 计计 算算结构力学结构力学结构力学惯性力惯性力)()()(djyymtymtI Wyykyymdjdj)()( (a)其中 kyj=W 及0jy 上式可以简化为0ddkyym 或或).(.0

8、bkyym 由平衡位置计量。以位移为未知量的平衡方程式，引用了刚度系数，称刚度法。由平衡位置计量。以位移为未知量的平衡方程式，引用了刚度系数，称刚度法。2 2、 柔度法柔度法：研究结构上质点的位移，建立位移协调方程。：研究结构上质点的位移，建立位移协调方程。.m静平衡位置I(t).(.)()()(ctymtIty 01)(0)(ytymytym k1可得与可得与 ( (b b) ) 相同的方程相同的方程刚度法常用于刚架类结构，柔度法常用于梁式结构。刚度法常用于刚架类结构，柔度法常用于梁式结构。第第十三十三章章 结结 构构 的的 动动 力力 计计 算算结构力学结构力学结构力学二、自由振动微分方程

9、的解).(.0bkyym 改写为0ymky 02yy 其中mk2它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：).(.cossin)(21dtCtCty积分常数积分常数C1，C2由初始条件确定由初始条件确定m静平衡位置静平衡位置I(t).(cossin)(21dtCtCty设设 t=0 时时vyyy)0()0(vCyC12.（d）式可以写成式可以写成).(.sincos)(etvtyty第第十三十三章章 结结 构构 的的 动动 力力 计计 算算结构力学结构力学结构力学 由式可知，位移是由初位移由式可知，位移是由初位移y 引起的余弦运动和由初速度引起的余弦运动和由初

10、速度v 引起的正弦引起的正弦运动的合成，为了便于研究合成运动运动的合成，为了便于研究合成运动, ,令令cos,.sinAvAy(e)式改写成式改写成).(.).sin()(ftAty它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中A和和 可由下式确定可由下式确定).(.122gvytgvyA振幅振幅相位角相位角).(.sincos)(etvtyty).(.).sin()(ftAty).(sincos)(etvtyty第第十三十三章章 结结 构构 的的 动动 力力 计计 算算结构力学结构力学结构力学y0ty-yTTTvvyt0yt0 A-AtycostvsintAsin第

11、第十三十三章章 结结 构构 的的 动动 力力 计计 算算结构力学结构力学结构力学三、结构的自振周期和频率由式由式)sin()(tAty及图可见位移方程是一个周期函数。及图可见位移方程是一个周期函数。Tyt0 A-A周期周期,2T工程频率工程频率),(21HzTf圆频率圆频率Tf22计算频率和周期的几种形式计算频率和周期的几种形式stgWgmmk1gkmTst22第第十三十三章章 结结 构构 的的 动动 力力 计计 算算结构力学结构力学结构力学例例1. 1. 计算图示结构的频率和周期。计算图示结构的频率和周期。mEI l /2 l /21EIl483348mlEIEImlT4823例例2.2.计

12、算图示结构的水平和竖向振动频率。计算图示结构的水平和竖向振动频率。mlA,E,IHE,I1HHm1E,A1VVVm1第第十三十三章章 结结 构构 的的 动动 力力 计计 算算结构力学结构力学结构力学IIEI1=mh1k26hEI26hEI26hEI26hEI例例3.3.计算图示刚架的频率和周期。计算图示刚架的频率和周期。 312hEI312hEI由截面平衡由截面平衡324hEIk 324mhEImkEImhT223第第十三十三章章 结结 构构 的的 动动 力力 计计 算算结构力学结构力学结构力学四、简谐自由振动的特性由式由式)sin()(tAty可得可得加速度为：加速度为：)sin()(2tA

13、ty )sin()()(2tmAtymtI 在无阻尼自由振动中，在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力位移、加速度和惯性力都按正弦规都按正弦规律变化，且律变化，且作相位相同的同步运动作相位相同的同步运动. .它们的幅值产生于它们的幅值产生于1)sin(t时，其值分别为：时，其值分别为：Ay 2Ay 2mAI 既然在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值出现时间也一样，既然在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值出现时间也一样，于是可于是可在幅值处建立运动方程在幅值处建立运动方程. .惯性力为：惯性力为：第第十三十三章章 结结 构构 的的 动动 力力 计计 算算结构力学结构力学结构力学例例

14、4. 4. 计算图示体系的自振频率。计算图示体系的自振频率。ABCDEI= l /2 l /2lmm 1mm312kBCk1m2m.A1.A2lk1I2I 解：单自由度体系，解：单自由度体系， 以以 表示位移参数的幅值表示位移参数的幅值, , 各质点上所受的力为：各质点上所受的力为：221211lmAmIlmlmAmI222222212331建立力矩平衡方程建立力矩平衡方程0BM023221llklIlI0232122122llkllmllm化简后得化简后得km2mk第第十三十三章章 结结 构构 的的 动动 力力 计计 算算结构力学结构力学结构力学m13-3 13-3 单自由度体系的受迫振动单

15、自由度体系的受迫振动 受迫振动（强迫振动）：受迫振动（强迫振动）：结构在动力荷载作用结构在动力荷载作用 下的振动。下的振动。ky(t)ymkyym P(t )mP(t )P(t )弹性力弹性力ky、惯性力惯性力ym 和荷载和荷载P(t)之间的平衡方程为之间的平衡方程为:)()(atPkyym 单自由度体系强迫单自由度体系强迫振动的微分方程振动的微分方程第第十三十三章章 结结 构构 的的 动动 力力 计计 算算结构力学结构力学结构力学一、动荷载为简谐荷载tmFtAsinsin)(22tmFtAtAsinsinsin22tAysinmtFyysin2 )(22mFAtytmFystsin)1 (1

16、sin)1 (22222FmFyst2特解特解：最大静位移最大静位移yst（是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生（是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生的位移）。的位移）。第第十三十三章章 结结 构构 的的 动动 力力 计计 算算结构力学结构力学结构力学tyystsin1122特解可写为：特解可写为：通解可写为：通解可写为：tytCtCystsin11cossin2221设设t=0时的初始位移和初始速度均为零，则：时的初始位移和初始速度均为零，则：0,12221CyCst)sin(sin1122ttyyst过渡阶段过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段；：振动开始两种振动同时存在的阶段；平

17、稳阶段平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）按自振频率振动按荷载频率振动第第十三十三章章 结结 构构 的的 动动 力力 计计 算算结构力学结构力学结构力学平稳阶段：平稳阶段：tyystsin1122最大动位移（振幅）为：最大动位移（振幅）为：22max11styy22max11styy动力系数动力系数为为：1023123重要的特性：重要的特性：f当当/0时时,1f当当0 / 1，并且随并且随/的增大而增大。的增大而增大。f当当/ 1时时,。振幅会无振幅会无限增大。称为限增大。称为“共振共振”。通常把。通常把0.75 / 1时时,

18、的绝对值随的绝对值随/的增大而减小。当的增大而减小。当很大时，荷载变化很快，结构来不及反应很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。第第十三十三章章 结结 构构 的的 动动 力力 计计 算算结构力学结构力学结构力学例：已知例：已知m=300kg，EI=90105N.m2 ,k=48EI/l3 ,P=20kN,=80s-1 求梁中点的位移幅值及最大动力弯矩。求梁中点的位移幅值及最大动力弯矩。2mEImkPsint2m解：解：1)1)求求kEIl212148321EIlEIlEIl1925192483331316.13451921smlEIm2)2)求求552. 11122mEIlPPy35333ma

19、x1075. 51090192451020552. 119253)3)求求ymax， MmaxmkNlPM.04.31420552. 141)(41max第第十三十三章章 结结 构构 的的 动动 力力 计计 算算结构力学结构力学结构力学例、一简支梁（例、一简支梁（I28b），惯性矩），惯性矩I=7480cm4，截面系数，截面系数W=534cm3，E=2.1104kN/cm2。在跨度中点有电动机重量。在跨度中点有电动机重量Q=35kN，转速转速n=500r/min。由于具有偏心，转动时产生离心力。由于具有偏心，转动时产生离心力P=10kN，P的竖的竖向分量为向分量为Psint。忽略梁的质量，试求

20、强迫振动的动力系数和最。忽略梁的质量，试求强迫振动的动力系数和最大挠度和最大正应力。（梁长大挠度和最大正应力。（梁长l=4m）解：解：1 1）求自振频率和荷载频率）求自振频率和荷载频率 SQlEIg13434 .57400359807480101 . 24848Sn13 .526050014. 32602stgI22b3570cm4357039.7对于本例，采用较小的截面的梁既可避免共振，又能获得较好的经济效益。325第第十三十三章章 结结 构构 的的 动动 力力 计计 算算结构力学结构力学结构力学2 2）求动力系数）求动力系数88. 54 .573 .5211112222EIPlEIQlys

21、tst484833maxWlPQWPlWQl4)(44max175.6MPa 必须特别注意，这种处理方法只适用于单自由度体系在质点上受干扰力作用的情况。对于干扰力不作用于质点的单自由度体系，以及多自由度体系，均不能采用这一方法。39.71.35149.2第第十三十三章章 结结 构构 的的 动动 力力 计计 算算结构力学结构力学结构力学设体系在设体系在t=0时静止，时静止，然后有瞬时冲量然后有瞬时冲量S作用作用。二、外荷载为一般荷载1 1、瞬时冲量的动力反应、瞬时冲量的动力反应P(t)tP瞬时冲量瞬时冲量S引起的振动可视为引起的振动可视为由初始条件引起的自由振动。由初始条件引起的自由振动。由动量

22、定理：由动量定理：mtPmSv000yt cossin)(00tvtytytmStysin)( t ttttmStysin)()(sintmScossin)(00tvtytycossin)(00tvtytycossin)(00tvtytycossin)(00tvtytytPSmv00第第十三十三章章 结结 构构 的的 动动 力力 计计 算算结构力学结构力学结构力学2 2、任意荷载、任意荷载P(t)的动力反应的动力反应P(t)tdPdS)(时刻的微分冲量对时刻的微分冲量对t瞬时瞬时(t )引起的动力反应引起的动力反应: :)(sin)(tmdPdy初始静止状态的单自由初始静止状态的单自由度体系在

23、任意荷载作用度体系在任意荷载作用下的位移公式下的位移公式: :tdtPmtyt)(sin)(1)(0(Duhamel 积分积分)（15.29）第第十三十三章章 结结 构构 的的 动动 力力 计计 算算结构力学结构力学结构力学初始位移初始位移y0和初始速度和初始速度v0不为零在任意荷载作用下的位移公式不为零在任意荷载作用下的位移公式: :dtPmtvtytyt)(sin)(1sincos)(0003 3、几种典型荷载的动力反应、几种典型荷载的动力反应1 1）突加荷载）突加荷载 0,0, 0)(0tPttP当当P(t)tP0dtPmtyt)(sin)(1)(0dtPmtyt)(sin1)(00)c

24、os1 ()cos1 (20tytmPstyst=P0=P0 /m2第第十三十三章章 结结 构构 的的 动动 力力 计计 算算结构力学结构力学结构力学ysty(t)t0232)(maxstyty2 2）短时荷载）短时荷载 ututPttP, 00,0, 0)(0P(t)tPu阶段阶段(0tu)：无荷载，体系以无荷载，体系以t=u时刻的位移时刻的位移 和速度和速度为初始条件作自由振动。为初始条件作自由振动。)cos1 ()(uyuystuyuvstsin)(sincos )(00tvtyty第第十三十三章章 结结 构构 的的 动动 力力 计计 算算结构力学结构力学结构力学或者直接由或者直接由Du

25、hamel积分作积分作dtPmtyt)(sin)(1)(0dtPmtyu)(sin1)(00)cos)(cos20tutmP)2(sin2sin2utuyst)(sinsin)(cos)cos1 ()(utuyutuytystst)cos)(costutyst另解：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。另解：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。第第十三十三章章 结结 构构 的的 动动 力力 计计 算算结构力学结构力学结构力学P(t)tPP(t)tPuP(t)tPu)cos1 ()(tytyst)(cos1 ()(utytyst当当0t u)cos1 ()(tytyst)(cos1 (utys

26、t)cos)(costutyst)2(sin2sin2utuyst第第十三十三章章 结结 构构 的的 动动 力力 计计 算算结构力学结构力学结构力学ysty(t)t023T1）当当 u T/2 最大动位移最大动位移发生在阶段发生在阶段)cos1 ()(tytyststyy2max2）当当u T/2 最大动位移最大动位移发生在阶段发生在阶段)2(sin2sin2)(utuytyst2sin2maxuyyst2sin2u21, 221,sin2TuTuTu当当Tu1/611/22动力系数反应谱动力系数反应谱(与与T和和u之间的关系曲线之间的关系曲线)第第十三十三章章 结结 构构 的的 动动 力力

27、计计 算算结构力学结构力学结构力学3 3）线性渐增荷载）线性渐增荷载 rrrttPttttPtP当当,0,)(00P(t)tP0tr这种荷载引起的动力反应同样可由这种荷载引起的动力反应同样可由DuhamelDuhamel积分来求积分来求解解: :rrrstrrstttttttytttttyty当当,)(sinsin11,sin)( 对于这种线性渐增荷载对于这种线性渐增荷载, ,其动力反应与升载时间的长短有其动力反应与升载时间的长短有很大关系。其动力系数的反应谱如下：很大关系。其动力系数的反应谱如下：第第十三十三章章 结结 构构 的的 动动 力力 计计 算算结构力学结构力学结构力学01.02.0

28、3.04.0Ttr1.41.21.01.61.82.0trP0动力系数反应谱动力系数反应谱动力系数动力系数介于介于1 1与与2 2之间。之间。如果升载很短，如果升载很短，tr4T, ,则则接近于接近于1,1,即相当于静荷载情况。即相当于静荷载情况。常取外包虚线作为设计的依据。常取外包虚线作为设计的依据。第第十三十三章章 结结 构构 的的 动动 力力 计计 算算结构力学结构力学结构力学15-5 15-5 多自由度体系的自由振动多自由度体系的自由振动一、刚度法 （1 1）两个自由度体系）两个自由度体系m1m2y1(t)y2(t)m1m211ym 22ym K2K1K2K1y1(t)y2(t)121

29、k11k112k22k第第十三十三章章 结结 构构 的的 动动 力力 计计 算算结构力学结构力学结构力学0111 Kym 0222 Kym 2121111ykykK2221212ykykK0)()()(0)()()(2221212221211111tyktyktymtyktyktym 两自由度体系自由振动微分方程两自由度体系自由振动微分方程设解为设解为)sin()()sin()(2211tYtytYty2121)()(YYtyty= =常数常数第第十三十三章章 结结 构构 的的 动动 力力 计计 算算结构力学结构力学结构力学0)(0)(2222212121211211YmkYkYkYmk当然当

30、然 Y1=Y2=0 为其解，为了求得不全为零的解，令为其解，为了求得不全为零的解，令0)()(222221121211mkkkmkD特征方程特征方程频率方程频率方程0)(211222221211kkmkmk1 1）在振动过程中，两个质点具有相同的频率和相同的相位角；）在振动过程中，两个质点具有相同的频率和相同的相位角；2 2）在振动过程中，两个质点的位移在数值上随时间而变化，）在振动过程中，两个质点的位移在数值上随时间而变化，但其比值始终保持不变。但其比值始终保持不变。振动过程中，结构位移形状保持不变的振动形式，称为主振型。振动过程中，结构位移形状保持不变的振动形式，称为主振型。0212222

31、21121211YYmkkkmk第第十三十三章章 结结 构构 的的 动动 力力 计计 算算结构力学结构力学结构力学0)(211222221211kkmkmk2121122211222211122211122121mmkkkkmkmkmkmk（1 1）主振型）主振型112111122111CmkkYY212211122212CmkkYY（2 2）按主振型振动的条件：）按主振型振动的条件： 初位移或初速度与此振型相对应；初位移或初速度与此振型相对应；m1m2Y21Y11Y12Y220)(0)(2222212121211211YmkYkYkYmk最小圆频率称为第一最小圆频率称为第一(基本基本)圆频率

32、：圆频率：12第二圆频率第二圆频率第第十三十三章章 结结 构构 的的 动动 力力 计计 算算结构力学结构力学结构力学例例7：设图示刚架横梁刚度为无限大，层间侧移刚度分别为：设图示刚架横梁刚度为无限大，层间侧移刚度分别为k1和和 k2 ，试求刚架水平振动时的自振动频率和主振型。，试求刚架水平振动时的自振动频率和主振型。m1m2k1k21221kk2111kkk1212kk222kk（3 3）一般振动）一般振动)sin()sin()()sin()sin()(2222211212222122111111tYAtYAtytYAtYAty两自由度体系自由振动是两种频率及其主振型的组合振动两自由度体系自由

33、振动是两种频率及其主振型的组合振动多自由度体多自由度体系自由振动系自由振动的振型分解的振型分解第第十三十三章章 结结 构构 的的 动动 力力 计计 算算结构力学结构力学结构力学解：（解：（1 1）求频率方程中的刚度系数）求频率方程中的刚度系数k11=k1+k2k12=k21=-k2k22=k2mkmk61803. 238197. 02221mkmk61803. 161803. 021（2 2）求频率）求频率0)(222221221kmkmkk0)(211222221211kkmkmkk11=k1+k2k12=k21=-k2k22=k2代公式代公式若有若有kkkmmm2121第第十三十三章章 结

34、结 构构 的的 动动 力力 计计 算算结构力学结构力学结构力学（3 3）求主振型）求主振型618. 1138197. 02:121111221111kkkmkkYY618. 0161803. 22:22122kkkYY1.6181.01.00.618第第1振型振型第第2振型振型第第十三十三章章 结结 构构 的的 动动 力力 计计 算算结构力学结构力学结构力学二、 柔度法m1m2y1(t)y2(t)22ym 11ym 122211111)()()(tymtymty 222221112)()()(tymtymty 设解为设解为)sin()()sin()(2211tYtytYty在自由振动过程中任意

35、时刻在自由振动过程中任意时刻t，质量，质量m1、m2的位移的位移y1(t)、y2(t)应当等于体系在当时应当等于体系在当时惯性力作用下的静力位移。惯性力作用下的静力位移。第第十三十三章章 结结 构构 的的 动动 力力 计计 算算结构力学结构力学结构力学此时惯性力此时惯性力)sin()()sin()(2222212111tYmtymtYmtym 幅值幅值222112YmYm12222111121)()(YmYmY22222211122)()(YmYmY主振型的位移幅值等于主主振型的位移幅值等于主振型惯性力幅值作用下产振型惯性力幅值作用下产生的静力位移。生的静力位移。m1m2Y1Y2222Ym112Ym0)1(0)1(222221121221212111YmYmYmYm 当然解当然解 Y1=Y2=0，为了求得不全为了求得不全为零的解，令为零的解，令01122221212122111mmmmD令2112222111121)()(YmYmY22222211122)()(YmYmY第第十三