运筹学II练习题

1、运筹学II练习题1 试判定下述非线性规划是否为凸规划：（1）（2）（3） max 解 （1）的海赛矩阵的行列式： 知为严格凸函数，为凸函数，为凹函数，所以不是一个凸规划问题。 （2）同上有的海赛矩阵的行列式 是凹函数，是凸函数，不是凸规划问题。（3） min 说明是凸函数，、是凹函数。因此，本模型是一个凸规划。2 试用斐波那契法求函数 在区间0，10上的极小点，要求缩短后的区间长度不大于原区间长度的8%。（1.5）3 用分数法求在区间上的近似极小点，要求缩短后的区向长度不大于原区间长的8%。（0.538）4 试用最速下降法求函数 的极大点，先以为初始点进行计算，求出极大点；再以为初始点进行两次

2、迭代。最后比较从上述两个不同初始点出发的寻优过程。（2，0）解 求的极大点，即求的极小点。（1）取初始点，取精度 即即为极小点。 为的极大点。 （2）取初始点，取精度，同上方法进行两次迭代有： 两次步长 两次迭代结果 比较：对于目标函数的等值线为椭圆的问题来说，椭圆的圆心即为最小值，负梯度方向指向圆心，但初值点与圆心在同一水平直线上时，收敛很快，即尽量使搜索路径呈现较少的直角锯齿状。5求的极小点，取。(1,1)解 由于，故即极小点，计算经两步终止。6试用牛顿法求解 (0,0) 取初始点。解 求的极大点，即求的极小点。， 所以极大点为 7 试用共轭梯度法求二次函数 (0,0) 的极小点，此处 解

3、 现从，开始 于是 故 故得到极小值点 8考虑下面的非线性规划：max 验证它为凸规划，并用K-T条件求解。(0,3)解 原问题可写为min 计算目标和约束函数的海赛阵故此问题是凸规划。K-T条件表达式为若，则无解，于是，有令，则有解得，显然是可行点，从而是极小点。9试写出下述非线性规则的Kuhn-Tucker条件并进行求解： 清华版，7章例110求解二次规划min ()见天大版例3-1611试解二次规划 解 将上述二次规划改写为 可知目标函数为严格凸函数，此外 由于和小于零，故引入的人工变量和前面取负号，这样得到线性规划问题如下 解此线性规划问题得 12试用SUMT外点法求解 （1，2） 解

4、 原问题转化为构造惩罚函数 解得最优解为 13 一工人管2台机器，每台机器发生故障前的运转时间为具有均值为1/2小时的负指数分布，修理时间也属负指数分布，均值为1/3小时。（1） 画出转速图。（2） 列出平衡方程式求出状态概率P0，P1，P2。（3） 求故障机器数的均值Ls。（4） 一台机器每次停机时间均值Ws。解 （1）12台/小时，3台/小时 M/M/1/2 模型 214 12 3 3（2）3P14P0 , 5P1=4P0+3P2 , 3P22P1 P1P0， P2P0P0 P0P1P2P0P0P01 P0 P1 P2 （3）Ls0 P01P12P2（台）0.966 （4）e（1P0）3（

5、1） Ws0 .47（小时）28（分钟） 14 某风景区有一小客店，每天平均到达4人，顾客平均逗留时间为2天，到达服从泊松分布，逗留时间服从负指数分布，若该旅馆只有（C）2个单人房间，客房住满时再到达的顾客会离去（N2）。（M/M/2/2模型） （1）画出转速图，列出平衡方程式。 （2）求空闲概率P0和满员概率P2 。 （3）求每天客房占用数的均值Ls 。 解 4人/天 1/2人/天（1） 2 1/2P14P0 P18P0 P24P1 P232P0（2）1P0（1832）41P0 P01/41 P18/41 P232/41 （3）Ls（间） 空闲概率为P01/41 满员概率为P232/41 客

6、房占用数均值为1.76（间）15 某加油站有一台加油设备，加油的汽车以平均每5分钟1辆的速度到达，服从泊松分布，加油时间服从负指数分布，平均每辆车的加油时间为4分钟。试求： （1）这个加油站平均有多少辆汽车在等待加油？ （2）每辆汽车为在这里加油平均需耗费多长时间？ （3）管理部门规定，若加油的平均等待时间超过 3 分钟或系统内的平均汽车数超过8辆，则需要增加加油设备，试计算现在的情况是否需要增加加油设备？ （4）如果加油的汽车流有所变化，那么当 l 超过多少时需要增加加油设备？ 需要增加加油设备； 故当超过（328）时，需要增加加油设备。16 设表示系统中顾客数，表示队列中等候的顾客数，在单

7、服务台系统中，我们有 试说明它们的期望值 ，而是 。根据这关系式给以直观解释。解 因为为单服务台，只有超过1个顾客时，才会出现排队等待。 则 17 在模型中，如，试证：下式成立 于是 解 在模型中，其状态转移图如下：则又则，依次类推 又，则 即 故 18 对于模型，试证：并对上式给予直观的解释。解 设由模型的数字特征有故 当时 显然 当时 即则 即 故 由于系统的容量为N，则有效到达率为：当系统平衡时，有效到达率和有效服务率应当相等，即 19 对于模型，试证 ，并给予直观解释。证 由于系统的有效服务率为： 表示系统中平均出故障的机器数，则系统外的机器平均数为，则系统的有效到达率，即m台机器单位时间内实际发生故障的平均数为： 当系统达到平衡时 则 故 21（订货决策）某商店经营一种易腐食品，出售后一个单位可获利a5元。若当天售不出去，则每单位损失b3元。该店经理统计了连续40天的需求情况（不是实际销售量）。现将所得数据列出如下：3,3,4,2,2,4,2,3,4,4,4,3,2,4,2,3,3,4,2,2,4,3,4,3