隧道效应毕业论文

1、本科毕业设计(论文) 题目名称：隧 道 效 应 英文名称：Tunnel Effect 学 院： 物 理 学 院 专业年级：物 理 专 业 05 级 学生姓名： 班级学号： 指导教师： 二00九年六月一日 摘 要薛定谔提出的量子力学基本方程建立于1926年,它是一个非相对论的波动方程。它反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律,它在量子力学中的地位相当于牛顿定律对于经典力学一样,是量子力学的基本假设之一。本文将介绍建立薛定谔方程的主要思路以及应用薛定谔方程的基本方法解决隧道效应的相关问题，及其隧道效应的应用。关键词：薛定谔方程；定态薛定谔方程；隧道效应 AbstractSchrdinger pr

2、oposed the basic equations of quantum mechanics in 1926, it is a non-relativistic wave equation.It reflects the status description of the micro-particles of the law changes over time. Its status in quantum mechanics is one of the basic assumptions which is equivalent to Newtons law to the classical

3、mechanics.This article will introduce the main ideas of the eatablishment of the Schrodinger equation and nd the application of Schrodinger equation to solve the basic issues related to the tunneling effect, tunneling effect and its applications.Key words: Schrdinger equation；stationary Schrdinger e

4、quation ；Tunnel effect 目 录中文摘要I英文摘要目 录引 言11.薛定谔方程引入及其重要意义21.1自由粒子的薛定谔方程21.2推广到三维的一般情况32.定态薛定谔方程的推导53.隧道效应73.1隧道效应的发现73.2隧道效应的定义及其讨论73.3隧道效应的透射系数和反射系数93.4 隧道效应的应用103.4.1. 放射性a（粒子）衰变103.4.2. 隧道二极管113.4.3. 扫描隧道显微镜11总 结14致 谢15参考文献16引 言薛定谔提出的量子力学基本方程建立于1926年,它是一个非相对论的波动方程。它反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律,它在量子力学中的地位

5、相当于牛顿定律对于经典力学一样,是量子力学的基本假设之一。本文将介绍建立薛定谔方程的过程以及应用薛定谔方程的解决隧道效应的过程，及其隧道效应的应用。第1章、薛定谔方程引入及其重要意义由于薛定谔方程是量子力学的基本方程,它就不能由其它原理推导出来,它的正确性只能靠实验来检验。1.1自由粒子的薛定谔方程1沿x轴方向运动的自由粒子,其波函数是平面波: , （1.1-1）它是所要建立的方程的解。将（1.1-1）式对时间求偏微商，得到 . （1.1-2）但是这不是我们所要求的方程，因为它的系数中还含有能量E0再把（1.1-1）式对坐标求二次偏微商，得到, 同理有.将以上三式相加，得. （1.1-3）利用

6、自由粒子的能量和动量的关系式：, （1.1-4）式中是粒子的质量。比较（1.1-2）和（1.1-3）两式，我们得到自由粒子波函数所满足的微分方程：, （1.1-5）它满足条件:（1）方程是线性的，即如果1 和2都是这个方程的解，那么1 和2 的线性迭加a1 +b2 也是方程的解，这是因为根据态迭加原理，如果1 和2都是粒子可能的状态，那么a1 +b2 也应是粒子的可能状态;(2)这个方程的系数不应包含状态的参量，如动量、能量等，因为方程的系数如含有状态的参量，则方程只能被粒子的部分状态所满足，而不能被各种可能的状态所满足。（1.1-2）和（1.1-3）两式可改写为如下形式：， （1.1-6），

7、 （1.1-7）式中是劈形算符：. 由（1.1-6）和（1.1-7）式可以看出，粒子能量E和动量各与下列作用在波函数上的算符相当：，. （1.1-8）这两个算符依次称为能量算符和动量算符。把（1.1-4）式两边乘上，再以（1.1-8）式代入，即得微分方程（1.1-5）。现在利用关系式（1.1-8）来建立在力场中粒子波函数所满足的微分方程。设粒子在力场中的势能为。在这情况下，粒子的能量和动量的关系式是. （1.1-9）上式两边乘以波函数所满足的微分方程 . （1.1-10）这个方程称为薛定谔波动方程，或薛定谔方程。也常简称为波动方程，它描写在势场中粒子状态随时间的变化。1.2推广到三维的一般情况

8、1粒子波函数为势能为同上可得薛定谔方程为第2章、定态薛定谔方程的推导1如果不含时间，薛定谔方程的解可以用分离变量法进行一些简化。考虑这方程的一种特解：. （2-1）薛定谔方程的解可以表示为许多这种特解之和。将（2-1）式代入薛定谔方程中，并把方程两边用去除，得到 .因为这个等式的左边只是的函数，右边只是的函数，而和是互相独立的变量，所以只有当两边都等于同一常量时，等式才能被满足。以表示这个常量，则由等式左边等于，有 . （2-2）由等式右边等于，有. （2-3）方程（2-2）的解可以直接得出：,C为任意常数。将这个结果代入（2-1）式中，并把常数C放到里去，这样就得到薛定谔方程的特解 . （2

9、-4）这个波函数与时间的关系是正弦式的，它的角频率。按照德布罗意关系，就是体系处于这个波函数所描述的状态时的能量。由此可见，体系处于（2-4）式所描写的状态时，能量具有确定值，所以这种状态称为定态。（2-4）式称为定态波函数。在定态在中，几率密度和几率流密度都与时间无关。函数由方程（2-3）和在具体问题中波函数应满足的条件得出。方程（2-3）称为定态薛定谔方程。函数也称为波函数，因为知道后，由（2-4）式就可以求出。对一维定态问题便退化为一维定态薛定谔方程:波函数本身及其一阶导数必须是单值、连续和有限的,这称为波函数的标准条件。薛定谔方程是线性、齐次的微分方程,所以满足叠加原理。定态薛定谔方程

10、的每一个解就代表粒子的一个稳定状态。第3章、 隧道效应3.1.隧道效应的发现2美国固体物理学家加埃沃在超导电性研究中取得的一个重要成就，1960年完成。加埃沃把两块金属电极中间夹一层很薄的绝缘层(107厘米数量级)的结构叫做隧道结。根据量子力学原理，电子可以通过这样薄的绝缘层，当给隧道结两端加电压时就能产生电流。对于一个电极是超导体的隧道结，当所加电压可使电子能量超过其能隙宽度时，在温度远低于超导体临界温度的情况下，电子可以通过结，从而使电流陡然上升。这便是超导体的单电子隧道效应。加埃沃由于这一发现而与半导体隧道二极管的发明者江崎玲於奈以及约瑟夫森共同获得瑟夫森共同获得1973年获诺贝尔物理学

11、奖。3.2. 隧道效应的定义及其讨论3设一个质量为m的粒子，沿x轴正方向运动，其势能为U0这种势能分布称为一维势垒。粒子在x0区域里，若其能量小于势垒高度，经典物理来看是不能越过势垒达到xa区域。在量子力学中，情况又如果呢？为讨论方便，我们把整个空间分成三个区域,在各个区域的波函数分别表示为、。当 IIII当O 当令 三个区间的薛定谔方程可简化为 方程的通解为： 将上面的三个式子乘以因子：，可知：三式的右边第一项表示沿x方向传播的平面波，第二项为沿x负方向传播的平面波。 Y1右边的第一项表示射向势垒的入射波，第二项表示被“界面（x=0）”反射的反射波。IIIIII Y2右边的第一项表示穿入势垒

12、的透射波，第二项表示被“界面（x=a）”反射的反射波。利用波函数“单值、有限、连续”的标准条件，可得：求出解的形式画于图中。 讨论：（1）EU0按照经典力学观点,在EU0情况下，粒子应畅通无阻地全部通过势垒，而不会在势垒壁上发生反射。而在微观粒子的情形，却会发生反射。（2）Ea区域也存在波函数，所以粒子还可能穿过势垒进入xa区域。粒子在总能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。定义粒子穿过势垒的贯穿系数：透射波的概率密度与入射波概率密度的比值。结果表明：势垒高度U0越低、势垒宽a度越小，则粒子穿过势垒的概率就越大。如果a或m为宏观大小时，D0，粒子实际上将不能穿过势垒。当U0-E=

13、5ev时，势垒的宽度约50nm以上时，贯穿系数会小六个数量级以上。隧道效应在实际上已经没有意义了。量子概念过渡到经典了。隧道效应是经典力学所无法解释的，因为按经典力学计算结果，在势垒区，粒子的动能小于零，动量是虚数。 由于微观粒子的波动性，微观粒子遵守“不确定关系”，粒子的坐标x和动量P不可能同时具有确定的值，自然作为坐标函数的势能和作为动量函数的动能当然也不能同时具有确定的值。因此，对微观粒子而言“总能量等于势能和动能之和”这一概念不再具有明确的意义。3.3. 隧道效应的透射系数4和 反射系数4透射波的几率流密度为反射波的几率流密度透射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为透射系数，以D表示

14、。这个比值也就是贯穿到区域的粒子在单位时间内流过垂直于x方向的单位面积的数目，与入射粒子（在的区域）单位时间内流过垂直于x方向的单位面积的数目之比。由上面的结果，有 （3.3-1）反射波几率流密度与入射波几率就密度之比称为反射系数，以R表示。有上面的结果，有 (3.3-2)由（3.3-1）和（3.3-2）式可见，D和R都小于1。这说明入射粒子一部分贯穿势垒到区域，另一部分被势垒反射回去。 3.4. 隧道效应的应用 3.4.1放射性（粒子）衰变5隧道效应的最先的一个应用是解释放射性核的衰变。U238因放射出粒子而发生衰变，从核中放出来的粒子的动能量Ek42MeV，但实验测得核势垒的势能至少为Ek

15、的2倍，达88MeV，按照经典理论，粒子根本不能从核中发射出来。显然只有量子理论的隧道效应才能说明这些现象。另外，实验发现一般放射性核发射出来的粒子的能量越小，核的平均寿命就越长。粒子的能量约在47MeV范围，核的平均寿命在1010a到106s，如表1所列，这事实又如何解释呢?1928年伽莫夫利用量子隧道效应解释了上述现象。伽莫夫假设核中能量为E的粒子处在如图1所示的势阱内振荡，在R处被反射或穿透势垒而跑出阱外。图中V。35MeV，E6MeVR6106nm，r。35105nm。 从表1中可见，粒子的能量E越大，(势垒宽度)越小，粒子就越容易穿透，即透射系数T就越大，核的平均寿命r就越小，反之亦

16、然。伽莫夫成功地解释了平均寿命范围极大的疑问，他还给出r 与E的函数关系，与实验相符合。表1 一些核的平均寿命 图1 粒子的势能曲线 3.4.2隧道二极管6隧道二极管是基于重掺杂PN结隧道效应制成的半导体两端器件，其正向电流一电压特性具有负阻，是一种独特的高频器件。因此，隧道二极管具有频率高(工作频率高达100 GHz)、成本低、对输入响应快、可靠性高、功耗低、噪声低等特点，可用于微波混频、检波、低噪声放大、振荡等设计电路。由于该二极管耗散功率小，也适用于卫星微波设备。此外，还可用于超高速开关逻辑电路、触发器和存储器等电路。本文主要研究隧道二极管在放大电路中的应用，对隧道二极管并联放大电路进行

17、理论分析，利用Muhisim V10软件对电路进行仿真分析。隧道二极管通常是在重掺杂N型(或P型)的半导体片上用快速合金工艺形成高掺杂的PN结，其掺杂浓度必须使PN结能带的费米能级进入N型区的导带和P型区的价带；PN结的厚度还必须足够薄(150埃左右)，电子能够直接从N型层穿透PN结势垒进入P型层。其工作依赖于被称为“隧道效应”的量子力学原理。图2是由GaAs和A1GaAs交替生长构成的双势垒结构的能带图。中间的GaAs为阱区，阱两侧的宽带隙A1GaAs是势垒区其两端的GaAs重掺杂。当势阱厚度足够薄时，阱中形成三维量子化能级E0、E1、E2、 。图2 双势垒结构的能带图当外加电压为零时，费米

18、能级EF 上的电子能量低于量子化能级E0 ，隧道电流为零；当外加电压使EF升高到与E0 相等时，能量与E0 匹配的电子从高度为E的第一个势垒的左端谐振隧穿到阱中，然后，隧道穿透第二个势垒进入未被占据的量子态形成谐振隧道电流；随着外加电压的增加，参与谐振隧穿的电子数增加，电流上升，当导带底EC 达到谐振能级E0 时，谐振电流达到峰值IPO 再增加电压，EC 将大于E0 ,这时，电子脱离谐振，电流下降到谷值，出现所谓的负微分电阻(NDR)。随着外加电压的增加，EF 附近的电子又与E1 能级谐振，电流继续增大。这时，像一般二极管一样，起作用的是注入电流，而不是隧道电流。3.4.3扫描隧道显微镜719

19、24年德布罗意预言一切微观粒子都具有波粒二象性，1927年戴维孙等人的电子衍射实验证实了德布罗意的预言。微观粒子具有波粒二象性的一个重要结果就是隧道效应，扫描隧道显微镜(ScanningTunneling Microscope，STM)就是在此基础上发展起来的。1982年，IBM的毕宁(Gbinning)和罗尔(HRohrer)发明了扫描隧道显微镜，两人因此于1986年荣获诺贝尔物理学奖8。由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限在表面边界之内，即电子的密度并不在表面边界突然降为零，而是在表面以外呈指数衰减；衰减长度约为1nm，它是电子逸出表面势垒的量度。如果两块金属互相靠得很近，它们的电

20、子云就可能发生重叠；如果在两金属间加一微小电压VT，那就可以观察到它们之间的电流JT (称为隧道电流)。STM的基本原理就是隧道效应，将直径小到原子尺度的探针针尖和样品的表面作为两个电极，对电子而言，针尖和样品问的间隙相当于一个势垒(如图1)，由 式知：电子的穿透几率与势垒的宽度呈负指数关系。当针尖和样品非常接近时(小于1nm)，势垒变得很薄，电子云相互重叠，具有能量的电子就有一定的概率穿透势垒到达另一极，在两极之间加一电压，电子就可以通过隧道效应由针尖转移到样品或从样品转移到针尖，形成隧道电流。隧道电流与所加偏压成正比，即VT为针尖和样品之间的偏置电压，s为针尖和样品的间距，为样品表面的平均

21、势垒高度。如果s以01nm为单位，则A=1， 的量级为eV 。由上式知，在一定的条件下，隧道电流与两极间距离是负指数关系，因此当改变s变化01nm，隧道电流就会改变74倍，约一个数量级8 .这样，当探针在样品表面上扫描时，表面上小到原子尺度的特征就显现为隧道电流的变化。STM正是利用隧道电流对间距的敏感性来工作的，可以分辨表面上分立的原子，揭示出表面上原子的台阶、平台和原子阵列。3.4.3.3.工作模式与结构设备9在STM中用待测样品和探针分别代替两块金属片，用真空作为绝缘层，在探针与样品之间加一个小电压，由于隧道效应电子就会穿过尖端与样品表面间的空隙，产生微小的隧道电流若令探针沿着样品表面进

22、行扫描，由于表面凹凸不平造成探针与表面之间距离的变化。如果通过电子反馈回路控制隧道电流不变，使探针与样品表面保持恒定的距离，则探针在样品表面扫描运动的轨迹可以直接在计算机屏幕或者记录纸上显示出来。这样, 就获得了样品表面状态密度分布或者原子排列图象。由探针的平面扫描以及因控制隧道电流不变而引起的针尖随样品表面的起伏而作同样的起伏运动所得到的信息就是STM所获得的样品表面的三维立体信息。由于这个特点，STM被科学家们归类为表面分析仪器。这种隧道电流保持恒定的工作方式称为恒流扫描方式这样的工作方式应用较广泛，获取图象信息全面，显微图象质量也较高。 STM可以用于对材料的表面分析，观察原子在样品表面排列状态，研究材料的电子结构，还可作为表面微加工的方法(在纳米尺度上对表面进行加工)10。图3.4.1 扫描隧道显微镜仪器框总 结量子力学是近代物理的两大基础学科之一，以量子力学为基础，陆续建立了一些新的学科，如固体物理，量子电动力学，核物理，量子光学等。而薛定谔方程又是量子力学的核心内容，特别是定态薛定谔方程的应用显得更加重要，应用定态薛定谔方程解决了许多实际的问题。如隧道效应解决放射性a（粒子）衰变问题和隧道二极管的问题等。致 谢本人在作论文期间，得到了张跃林老师的精心指导，张老师用其渊博的专业知识和敏锐的科研洞察力给我指明了调研的方向并在此方面给我很