高中数学竞赛一试试题及答案

1、2006年全国高中数学联赛试题第一试一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 已知ABC，若对任意，则ABC一定为A锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定 【答】 （ ）2. 设，则的取值范围为A B C D 【答】（ ）3. 已知集合，,，且，则整数对的个数为 A. 20 B. 25 C. 30 D. 42 【答】 （ ）4. 在直三棱柱中，. 已知与分别为 和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点）. 若，则线段的长度的取值范围为 A. B. C. D. 【答】 （ ）5. 设，则对任意实数，是的A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件C. 必要而不充

2、分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答】 （ ）6. 数码中有奇数个9的2007位十进制数的个数为 A B C D 【答】（ ）二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 设，则的值域是 。8. 若对一切R，复数的模不超过2，则实数的取值范围为 .9. 已知椭圆的左右焦点分别为与，点P在直线l：上. 当取最大值时，比的值为 .10. 底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm3.11. 方程的实数解的个数为 .12. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后

3、放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为 .三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13. 给定整数，设 是抛物线与直线的一个交点. 试证明对于任意正整数，必存在整数，使为抛物线与直线的一个交点.14. 将2006表示成5个正整数之和. 记. 问：（1）当取何值时，S取到最大值；（2）进一步地，对任意有，当取何值时，S取到最小值. 说明理由.15. 设 . 记，. 证明：.参考答案一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）1.【答】 （ C ）【解】令，过A作于D。由，推出,令，代入上式，得 ，即 , 也即 。从而有。由此可得 。 2.【答】（ B ）【解】因为，解得 . 由 解得 ；

4、或 解得 ，所以的取值范围为 . 3.【答】 （ C ）【解】；。要使，则，即。所以数对共有。 4.【答】 （ A ）【解】建立直角坐标系，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，则（），（）。所以，。因为，所以，由此推出 。又，从而有 。5.【答】 （ A ）【解】显然为奇函数，且单调递增。于是若，则，有，即，从而有.反之，若，则,推出 ，即 。 6. 【答】（ B ）【解】出现奇数个9的十进制数个数有。又由于以及，从而得。二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7.【解】。令，则。因此。 即得。8. 【解】依题意，得 （）（对任意实数成立） . 故 的取值范围为 。9. 【解】 由平面几何知，要使

5、最大，则过，P三点的圆必定和直线l相切于P点。设直线l交x轴于A，则，即，即 （1），又由圆幂定理，（2），而，A，从而有，。代入（1），（2）得。10. 【解】设四个实心铁球的球心为，其中为下层两球的球心，分别为四个球心在底面的射影。则ABCD是一个边长为的正方形。所以注水高为。故应注水。11.【解】要使等号成立，必须，即。但是时，不满足原方程。所以是原方程的全部解。因此原方程的实数解个数为 1 。12. 【解】第4次恰好取完所有红球的概率为=0.0434.三. 解答题（本题满分60分，每小题20分）13. 【证明】 因为与的交点为.显然有。（5分）若为抛物线与直线的一个交点，则. （10分

6、）记，则 ，（13.1）由于是整数，也是整数，所以根据数学归纳法，通过（13.1）式可证明对于一切正整数，是正整数. 现在对于任意正整数，取，使得与的交点为. （20分）14. 【解】 （1） 首先这样的S的值是有界集，故必存在最大值与最小值。 若, 且使 取到最大值，则必有 （5分） (*)事实上，假设（*）不成立，不妨假设。则令，,()有，。将S改写成同时有 。于是有。这与S在时取到最大值矛盾。所以必有 . 因此当取到最大值。 （10分）（2）当且时，只有（I） 402， 402， 402， 400， 400；（II） 402， 402， 401， 401， 400；（III） 402， 401， 401， 401， 401； 三种情形满足要求。 （15分）而后面两种情形是在第一组情形下作，调整下得到的。根据上一小题的证明可以知道，每调整一次，和式 变大。 所以在情形取到最小值。 （20分）15.【证明】（）如果，则，。 （5分）（）如果，由题意 ，,. 则 当 时，（）. 事实上，当时，, 设时成立（为某整数），则对， . 当 时，（）.事实上，当时，, 设时