高中数学垂直关系的判定导学案 北师大版必修2

1、第10课时垂直关系的判定1.理解直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理,能用图形语言和符号语言表述这些定理,并能加以证明.2.能运用直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理证明一些空间位置关系的简单问题.3.了解二面角及其平面角的概念.天安门广场上,伫立的旗杆、纪念碑给我们一种直线与平面垂直的形象.你能否用数学语言表述一下什么是直线与平面垂直?如果一条直线与平面内的无数条直线都垂直,那么这条直线与这个平面一定垂直吗?问题1:如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面互相垂直,记作l,直线l叫作平面的垂线,平面叫作直线l的垂面,唯一的公共点叫作垂足.问题2:直线与平面垂直、平

2、面与平面垂直的判定定理是怎样的?试用符号语言表示出来.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则这条直线与平面垂直.符号语言表示:若la,lb,a,b,ab=A,则l.平面与平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.符号语言表示:若l,l,则.问题3:直线与平面所成的角、平面与平面所成的角是如何定义的?范围分别是多少?平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,称为该直线与平面所成的角,范围是0,90.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角.以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角,范围是0

3、,180.问题4:如何应用线面垂直、面面垂直的判定定理?面面垂直判定定理可简述为“线面垂直,则面面垂直”.使用定理时两个条件缺一不可.该定理告诉我们证明两平面垂直的问题可以转化为证明直线与平面垂直的问题,进而转化为线线垂直的问题,体现了“直线与平面垂直”与“平面与平面垂直”相互转化的数学思想.直线和平面垂直的判定定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想,即要证线面垂直,只需证这条直线与平面内的两条相交直线垂直即可,至于这两条直线与已知直线是否有公共点是无关紧要的.定理使用时五个条件缺一不可.即 la,lb,ab=O,a,bl.1.若一个二面角的两个半平面分别平行于另一

4、个二面角的两个半平面,则这两个二面角的大小关系是().A.相等B.互补C.相等或互补D.不确定2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以下结论不正确的是().A.AB平面BCC1B1B.AC平面CDD1C1C.AC平面BDD1B1D.A1C平面AB1D13.过一个平面的垂线和这个平面垂直的平面有个.4.已知在空间四边形ABCD中,AB=AC,DB=DC,点E为BC的中点,求证:BC平面AED.直线与平面垂直的判定与证明如图所示,RtABC所在的平面外有一点S,且SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点.(1)求证:SD平面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD平面SAC.面面垂直的判定与证明在

5、如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,MA平面ABCD,PDMA,E、G、F分别为MB、PB、PC的中点,且AD=PD=2MA.求证:平面EFG平面PDC.平面图形折叠后的垂直问题如图,已知直角三角形ABC中,B=90,E,F分别为AB,AC上的点,且EFBC,AE=2BE.现将AEF沿EF边折叠到点A,并且点A在平面EBCF内的射影恰好是点B,如图所示.(1)求证:平面AEF平面ABE;(2)的值为何值时,EC平面ABF.在四面体ABCD中,AC=BD,E,F分别为AD,BC的中点,且EF=AC,BDC=90,求证:BD平面ACD.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AB

6、,BC的中点.求证:平面B1MN平面BB1D1D.如图,矩形ABCD满足AB=3,AD=2,E,F分别是AB,DC上的点,且EFAD,AE=1,将四边形AEFD沿EF折起,形成了三棱柱ABE-DCF,若折起后的CD=.求证:(1)CF平面AEFD;(2)平面AEC平面DFB.1.二面角是指().A.两个相交平面构成的图形B.从一个平面的一条直线出发的一个平面与这个平面构成的图形C.从一条直线出发的两个半平面构成的图形D.过棱上一点,在两个面内分别作棱的垂线,这两条射线所成的角2.如图,正方形ABCD交正方形ABEF于AB,M、N在对角线AC、FB上,且MN平面BCE,则下列结论一定成立的是()

7、.A.MNCEB.AM=FNC.AM=CMD.BN=FN 3.已知PA矩形ABCD所在平面(如图),则图中互相垂直的平面有对.4.如图,在ABC中,ADBC,将ABD折起构成了三棱锥B-ADC.求证:AD平面BDC.(2013年辽宁卷)如图,AB是圆O的直径,PA垂直圆O所在的平面,C是圆O上的点. (1)求证:BC平面PAC;(2)设Q为PA的中点,G为AOC的重心,求证:QG平面PBC.考题变式(我来改编):第10课时垂直关系的判定知识体系梳理问题1:任意l垂线垂面垂足问题2:ab=Al问题3:0,900,180问题4:线面垂直线线垂直相交直线l基础学习交流1.C可以根据空间角的关系定理来

8、想象这两个二面角的大小关系.2.BA正确,因为ABBC且ABBB1.所以AB平面BCC1B1.C正确,因为BB1平面ABCD,所以BB1AC,又ACBD,所以AC平面BDD1B1.D正确,因为B1D1平面A1ACC1,所以B1D1A1C.同理,AB1A1C.所以A1C平面AB1D1.3.无数可以想象直立在课桌上的书本,书本的每一页纸都与桌面垂直.4.解:AB=AC,DB=DC,AEBC,DEBC,AEDE=E,BC平面AED.重点难点探究探究一:【解析】(1)SA=SC,D为AC的中点,SDAC.在RtABC中,AD=DC=BD,ADSBDS,SDBD.又ACBD=D,SD平面ABC.(2)A

9、B=BC,D为AC的中点,BDAC,由(1)可知,SD平面ABC ,SDBD.SDAC=D,BD平面SAC.【小结】证明线线垂直时,往往要利用平面几何中的有关方法,这是值得我们注意的地方.同时,线面垂直的定义给出了线面垂直的必备条件,但作为判定并不实用.不过直线和平面垂直时,可以得到直线和平面内的任意一条直线都垂直,给判定两直线垂直带来了方便.探究二:【解析】MA平面ABCD,PDMA.PD平面ABCD.又BC平面ABCD,PDBC.四边形ABCD为正方形,BCDC,又PDDC=D,BC平面PDC.在PBC中,G、F分别为PB、PC的中点,GFBC,GF平面PDC.又GF平面EFG,平面EFG

10、平面PDC.【小结】要证平面EFG平面PDC,关键是利用线面垂直的判定定理得BC平面PDC,再利用平行线的传递性可得所证的结论.探究三:【解析】 (1)由图知:B=90,EFBC ,所以EFAB,EFAE,又因为EFBE,且AEBE=E,所以EF平面ABE,又因为EF平面AEF,所以平面AEF平面ABE.(2)因为AB平面BEFC,EC平面BEFC,所以ABEC,若EC平面ABF,则只需ECBF即可,当ECB=EBF时,ECBF,因为从图可知=,所以ECB=EBF时,tanECB=tanEBF,即=,得=,所以=时,EC平面ABF.【小结】观察折叠后的几何体与折叠前的平面图形间的联系,注意到不

11、变的元素有哪些,注意已知条件在两种图形间的转化关系.思维拓展应用应用一:取CD的中点G,连接EG,FG,E,F分别为AD,BC的中点,EGAC,FGBD.又AC=BD,FG=AC,在EFG中,EG2+FG2=AC2=EF2,EGFG,BDAC.又BDC=90,即BDCD,ACCD=C,BD平面ACD.应用二:连接AC且ACBD=O,则ACBD,又M,N分别是AB,BC的中点,MNAC,MNBD.ABCD-A1B1C1D1是正方体,BB1平面ABCD.MN平面ABCD,BB1MN.BDBB1=B,MN平面BB1D1D.MN平面B1MN,平面B1MN平面BB1D1D.应用三:(1)矩形ABCD中,

12、因为EFAD,所以EFCD,又因为DF=AE=1,FC=BE=2,所以在三棱柱ABE-DCF中,EFFC,DC2=DF2+CF2,所以DFFC,且EFDF=F,所以CF平面AEFD.(2)由(1)知四边形BCFE是正方形,所以ECFB,又因为DFFC,DFEF,EFFC=F,所以DF平面BCFE,EC平面BCFE,所以DFEC,且DFFB=F,所以EC平面DFB,且EC平面AEC,所以平面AEC平面DFB.基础智能检测1.C注意二面角与二面角的平面角是不同的两个概念,前者指的是图形,后者指的是角度.2.B过M作MGBC交AB于G,连接NG,又MN平面BCE,所以平面MNG平面BCE,所以NGBEAF,所以=,正方形ABCD和正方形ABEF边长相等,所以AC=FB,所以AM=FN.3.5面PAD面ABCD,面PAB面ABCD,面PAB面PBC,面PDC面PAD,面PAD面PAB.4.解:因为ADBC,所以在三棱锥B-ADC中,ADBD,ADDC, BDDC=D,所以AD平面BDC.全新视角拓展(1)由AB是圆O的直径,得ACBC.由PA平面ABC,BC平面ABC,得