高等数学考研知识点总结4

1、第四讲 定积分与反常积分一、 考试要求1 理解（了解）定积分的概念。2 掌握定积分的性质及换元积分法与分部积分法，掌握（了解）定积分中值定理。3 会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分。4 理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式。5 了解反常积分的概念，会计算反常积分。二、内容提要 1 定义 2 若f(x)在a,b上连续，则存在，特别 3 4 性质： (1) (2) (3) (4) 不等式性质 (5) 估值定理 ， 则 (6) 积分中值定理：若f(x)在a,b上连续，则，注：可在开区间（a,b）内取到. 一般地，f(x)在a,b上连续, g(x)在a,b上可积且不变

2、号，则 5 定积分的计算 (1) 牛顿莱布尼兹公式 (2) 换元积分法 (3) 分部积分法 6 反常积分 （1）无界区域上的反常积分：设是在 上的一个原函数，且均存在，则称收敛，且定义=；如果 中有一个不存在，则称发散。同样可定义 的收敛，发散，及其值。如果存在使得和都收敛，则称收敛，且定义=+。（2）无界函数的反常积分：设在 上连续但无界，而是在 上的一个原函数，且存在，则称收敛，且定义=；如果 不存在，则称发散。如果在 上连续但无界，同样可定义 的收敛，发散，及其值。设存在使得在 和上均连续但无界，如果和都收敛，则称收敛，且定义=+。（3）几个重要的反常积分（i）若则 （ii）若则 （ii

3、i）若则, 0k1时收敛；当k1发散。（iv）； 三 、重要公式与结论1、 若在上可积（特别它在其上只有有限个第一类间断点），则在上连续；若在上连续，则在可微，它是在上的一个原函数。 （变限积分求导）若连续，而可微，则可微，且 2、 =3、 设f(x+T)=f(x),则 特别，四、 典型题型与例题题型一、定积分的概念及性质解题提示 1）利用定积分定义求数列极限；2）积分为常数.例1、设 ，则（A） MNP （B） NMP （C） PMN （D） PN0时连续，f(1)=3且，试求f(x).题型三、定积分的计算 方法：1、定积分的计算与不定积分的计算类似，要熟练掌握如下几种基本方法分项积分法，凑

4、微分法，换元积分法，分部积分法。2、与不定积分不同的是作变量替换时相应地要换积分限，不必变量还原了。同时，要注意定积分计算的一些特点，如（1）奇（偶）函数在对称区间上的积分。（2）周期函数的积分，定积分的几何意义等。3、如果被积函数的原函数可求出，一般可用牛顿莱布尼兹公式求定积分。1、 利用常用的方法计算定积分(1) 基本方法：牛莱公式，换元积分法，分部积分法例12、求例13、求 ， 或 ， 例14、求例15、求 2、利用被积函数的奇偶性及积分区间的对称性方法：利用公式 例16、求3、利用被积函数的周期性例17、求例18、设n为自然数，求I=4、利用定积分的几何意义计算积分例19、求5、 循环

5、计算法例20、求 （注：上限不一样）解：令x=-t,dx=-dt,x：0时，t：0,则I=于是故I=.例21、 求 解 对右边第二个积分：作代换，令 6、作变换 则 用此方法可以方便的求一些定积分例22、求分析 相当于，令解：令， 则 从而 例23、求分析 相当于，令解：令，则 从而 评注：利用变换，则例24、求分析 相当于，令解：令，则 评注：一般地7、利用分部积分法例25、设，求例26、（101）. 8、 几类特殊问题 1) 分段函数求积分例27、(043,4分) 设,则 2) 含有绝对值的积分例28、求分析 注意到关于t的被积函数中含有参数，积分应对的取值分情况讨论。但， 的取值分三种情

6、形，、解：（1）当时， （2）当时， （3）当时，令，得分界点，注：在被积函数中若有参数，一定要讨论参数的取值，再积分。 3) 含有抽象函数的积分例29、已知f(p)=2, 4)反常积分的计算反常积分是变限积分的极限，因此由定积分的运算法则及极限运算法则就可得到反常积分的运算法则。下对无穷积分作一说明，无界函数的积分类似。1、 设在连续，在连续，。若存在，则2、设，收敛，则 ，其中为常数；3、设，在有连续的导数，若存在，收敛，则 ，这里例30、（002）例31、（011）例32、求 (混合型反常积分) 例33、利用幂级数计算积分 解 于是 题型四、 定积分有关命题的证明 (1) 定积分等式的证明 方法：1) 换元积分法；2) 分部积分法；3)参数变易法 定积分等式的证明常用如下几种方法1. 换元积分法（由积分限及被积分函数确定变量代换的形式）2. 分部积分法3. 转化为函数恒等式，如可把中的b或a换为x，另外还应掌握一些积分技巧。例34证明例35、设在有二阶连续导数，又，求证： (2) 定积分不等式的证明 基本方法：积分估值定理；单调性(参数变易法)；微分、积分中值定理；泰勒公式； 题设条件：f(x)在a,b上 1)连续；2)一阶可导；3)二阶以上可导定积分不等式的证明常用如下几种方法1、定积分的性质（估值等）2、分部积分法3、引进辅助函数（如变为等）