复变函数论第三版课后习题答案

1、第一章习题解答（一）1设，求及。解：由于所以，。2设，试用指数形式表示及。解：由于所以。3解二项方程。解：。4证明，并说明其几何意义。证明：由于 所以 其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。5设z1，z2，z3三点适合条件：,。证明z1，z2，z3是内接于单位圆的一个正三角形的顶点。证 由于，知的三个顶点均在单位圆上。因为 所以， ，又 故 ，同理，知是内接于单位圆的一个正三角形。6下列关系表示点的轨迹的图形是什么？它是不是区域。（1） ；解：点的轨迹是与两点连线的中垂线，不是区域。（2）；解：令由，即，得故点的轨迹是以直线为边界的左半平面（包括直线）；不是区域。（3）

2、解：令，由，得，即；故点的轨迹是以虚轴为边界的右半平面（不包括虚轴）；是区域。（4）；解：令由，得，即故点的轨迹是以直线为边界的梯形（包括直线；不包括直线）；不是区域。（5）；解：点的轨迹是以原点为心，2为半径，及以为心，以1为半径的两闭圆外部，是区域。（6）；解：点的轨迹是位于直线的上方（不包括直线），且在以原点为心，2为半径的圆内部分（不包括直线圆弧）；是区域。（7）；解：点的轨迹是以正实轴、射线及圆弧为边界的扇形（不包括边界），是区域。（8）解：令由，得故点的轨迹是两个闭圆的外部，是区域。7证明：z平面上的直线方程可以写成（a是非零复常数，C是实常数）证 设直角坐标系的平面方程为将代入，

3、得令，则，上式即为。反之：将，代入得则有；即为一般直线方程。8证明：平面上的圆周可以写成其中A、C为实数，为复数，且。证明：设圆方程为其中当时表实圆；将代入，得即其中且；反之：令代入得其中即为圆方程。10求下列方程（t是实参数）给出的曲线。（1）； （2）；（3）； （4），解（1）。即直线。（2），即为椭圆；（3），即为双曲线；（4），即为双曲线中位于第一象限中的一支。11函数将z平面上的下列曲线变成平面上的什么曲线？（1）； （2）解 ，可得（1）是平面上一直线；（2），于是，是平面上一平行与v轴的直线。13试证在负实轴上（包括原点）不连续，除此而外在z平面上处处连续。证 设，因为f(0)

4、无定义，所以f(z)在原点z=0处不连续。当z0为负实轴上的点时，即，有所以不存在，即在负实轴上不连续。而argz在z平面上的其它点处的连续性显然。14 设()ïîïíì+=,0,623yxxyzf 求证在原点处不连接。证 由于可知极限不存在，故在原点处不连接。16. 试问函数f(z) = 1/(1 z )在单位圆| z | < 1内是否连续？是否一致连续？【解】(1) f(z)在单位圆| z | < 1内连续因为z在C内连续，故f(z) = 1/(1 z )在C1内连续(连续函数的四则运算)，因此f(z)在单位圆| z | <

5、; 1内连续(2) f(z)在单位圆| z | < 1内不一致连续令zn = 1 1/n，wn = 1 1/(n + 1)，nÎN+则zn, wn都在单位圆| z | < 1内，| zn - wn | ® 0，但| f(zn) - f(wn) | = | n - (n + 1) | = 1 > 0，故 f(z)在单位圆| z | < 1内不一致连续也可以直接用实函数f(x) = 1/(1 x )在(0, 1)不一致连续来说明，只要把这个实函数看成是f(z)在E = zÎC | Im(z) = 0, 0 < Re(z) < 1 上

6、的限制即可17. 试证：复数列zn = xn + i yn以z0 = x0 + i y0为极限的充要条件是实数列xn及yn分别以x0及y0为极限【解】(Þ) 若复数列zn = xn + i yn以z0 = x0 + i y0为极限，则"e > 0，$NÎN+，使得"n > N，有| zn - z0 | < e此时有| xn - x0 | £ | zn - z0 | < e；| yn - y0 | £ | zn - z0 | < e故实数列xn及yn分别以x0及y0为极限(Ü) 若实数列xn及yn

7、分别以x0及y0为极限，则"e > 0，$N1ÎN+，使得"n > N1，有| xn - x0 | < e/2；$N2ÎN+，使得"n > N2，有| yn - y0 | < e/2令N = maxN1, N2，则"n > N，有n > N1且n > N2，故有| zn - z0 | = | (xn - x0) + i (yn - y0) | £ | xn - x0 | + | yn - y0 | < e/2 + e/2 = e所以，复数列zn = xn + i yn以z

8、0 = x0 + i y0为极限20. 如果复数列zn合于lim n®¥ zn = z0 ¹ ¥，证明lim n®¥ (z1 + z2 + . + zn)/n = z0当z0 ¹ ¥时，结论是否正确？【解】(1) "e > 0，$KÎN+，使得"n > K，有| zn - z0 | < e /2记M = | z1 - z0 | + . + | zK - z0 |，则当n > K时，有| (z1 + z2 + . + zn)/n - z0 | = | (z1 -

9、z0) + (z2 - z0) + . + (zn - z0) |/n £ ( | z1 - z0 | + | z2 - z0 | + . + | zn - z0 |)/n = ( | z1 - z0 | + . + | zK - z0 |)/n + ( | zK +1 - z0 | + . + | zn - z0 |)/n £ M/n + (n - K)/n · (e /2) £ M/n + e /2因lim n®¥ (M/n) = 0，故$LÎN+，使得"n > L，有M/n < e /2令N =

10、maxK, L，则当n > K时，有| (z1 + z2 + . + zn)/n - z0 | £ M/n + e /2 < e /2 + e /2 = e所以，lim n®¥ (z1 + z2 + . + zn)/n = z0(2) 当z0 ¹ ¥时，结论不成立这可由下面的反例看出例：zn = (-1)n · n，nÎN+显然lim n®¥ zn = ¥但"kÎN+，有(z1 + z2 + . + z2k)/(2k) = 1/2，因此数列(z1 + z2 + .

11、 + zn)/n不趋向于¥这个结论的证明的方法与实数列的情况完全相同，甚至反例都是一样的2如果，试证明（1）； （2）解 （1）（2）4设，试证。证 由于及 有 6. 设| z | = 1，试证：| (a z + b)/(b* z + a* ) | = 1(z*表示复数z的共轭)【解】此题应该要求b* z + a* ¹ 0| a z + b | = | (a z + b)* | = | a* z* + b* | = | a* z* + b* | · | z | = | (a* z* + b*) · z | = | a* z* · z + b*

12、· z | = | a* | z |2 + b* · z | = | b* z + a* |故| (a z + b)/(b* z + a* ) | = 18. 试证：以z1, z2, z3为顶点的三角形和以w1, w2, w3为顶点的三角形同向相似的充要条件为= 0【解】两个三角形同向相似是指其中一个三角形经过(一系列的)旋转、平移、位似这三种初等几何变换后可以变成另一个三角形(注意没有反射变换)例如我们将采用下述的观点来证明：以z1, z2, z3为顶点的三角形和以w1, w2, w3为顶点的三角形同向相似的充要条件是：将它们的一对对应顶点都平移到原点后，它们只相差一个位

13、似旋转记f1(z) = z - z1 (将z1变到0的平移)；f3(z) = z - w1 (将0变到w1的平移)；那么，三角形z1z2z3与三角形w1w2w3同向相似Û存在某个绕原点的旋转位似变换f2(z) = z0 z，使得f2 ( f1(zk) = f3(wk)，(k = 2, 3)，其中z0ÎC0Û存在z0ÎC0，使得z0(zk - z1) = wk - w1，(k = 2, 3)Û(w2 - w1)/(z2 - z1) = (w3 - w1)/(z3 - z1)Û= 0Û= 0Û= 0证完9. 试证：四个

14、相异点z1, z2, z3, z4共圆周或共直线的充要条件是(z1 z4)/(z1 z2) : (z3 z4)/(z3 z2)为实数【解】在平面几何中，共线的四个点A, B, C, D的交比定义为(A, B; C, D) = (AC/CB) : (AD/DB)这是射影几何中的重要的不变量类似地，在复平面上，(不一定共线的)四个点z1, z2, z3, z4的交比定义为z1z2, z3z4 = (z1 z3)/(z2 z3) : (z1 z4)/(z2 z4)本题的结论是说：复平面上四个点共圆或共线的充要条件是其交比为实数(Þ) 分两种情况讨论(1) 若(z1 z4)/(z1 z2)为

15、实数，则(z3 z4)/(z3 z2)也是实数设(z1 z4)/(z1 z2) = t，tÎR则z4 = (1 t)z1 + t z2，故z4在z1, z2所确定的直线上，即z1, z2, z4共线因此，同理，z1, z2, z3也共线所以，z1, z2, z3, z4是共线的(2) 若(z1 z4)/(z1 z2)为虚数，则(z3 z4)/(z3 z2)也是虚数故Arg (z1 z4)/(z1 z2) ¹ kp，Arg (z3 z4)/(z3 z2) ¹ kp而Arg (z1 z4)/(z1 z2) Arg (z3 z4)/(z3 z2)= Arg (z1 z4

16、)/(z1 z2) : (z3 z4)/(z3 z2) = kp注意到Arg (z z4)/(z z2) = Arg (z4 z)/(z2 z)是z2 z到z4 z的正向夹角，若Arg (z1 z4)/(z1 z2) = Arg (z3 z4)/(z3 z2)，则z1, z3在z2, z4所确定的直线的同侧，且它们对z2, z4所张的角的大小相同，故z1, z2, z3, z4是共圆的若Arg (z1 z4)/(z1 z2) = Arg (z3 z4)/(z3 z2) + p，则z1, z3在z2, z4所确定的直线的异侧，且它们对z2, z4所张的角的大小互补，故z1, z2, z3, z4

17、也是共圆的(Ü) 也分两种情况讨论(1) 若z1, z2, z3, z4是共线的，则存在s, tÎR0, 1，使得z4 = (1 s)z3 + s z2，z4 = (1 t)z1 + t z2，那么，z3 z4 = s (z3 z2)，即(z3 z4)/(z3 z2) = s；而z1 z4 = t (z1 z2)，即(z1 z4)/(z1 z2) = t，所以，(z1 z4)/(z1 z2) : (z3 z4)/(z3 z2) = t/sÎR(2) 若z1, z2, z3, z4是共圆的，若z1, z3在z2, z4所确定的直线的同侧，那么，Arg (z4 z1)

18、/(z2 z1) = Arg (z4 z3)/(z2 z3)因此(z4 z1)/(z2 z1) : (z4 z3)/(z2 z3)是实数也就是说(z1 z4)/(z1 z2) : (z3 z4)/(z3 z2)是实数若z1, z3在z2, z4所确定的直线的异侧，则Arg (z4 z1)/(z2 z1) + Arg (z2 z3)/(z4 z3) = (2k + 1)p，故Arg (z1 z4)/(z1 z2) : (z3 z4)/(z3 z2)= Arg (z1 z4)/(z1 z2) Arg (z3 z4)/(z3 z2)= Arg (z1 z4)/(z1 z2) + Arg (z3 z2

19、)/(z3 z4)= Arg (z4 z1)/(z2 z1) + Arg (z2 z3)/(z4 z3) = (2k + 1)p，所以，(z1 z4)/(z1 z2) : (z3 z4)/(z3 z2)仍为实数证完这个题目写的很长，欢迎同学们给出更简单的解法11. 试证：方程| z - z1 |/| z - z2 | = k ( 0 < k ¹ 1，z1 ¹ z2 )表示z平面的一个圆周，其圆心为z0，半径为r，且z0 = (z1 - k2 z2)/(1 - k2)，r = k | z1 - z2|/| 1 - k2 |【解】到两定点距离成定比的点的轨迹是圆或直线当比

20、值不等于1时，轨迹是一个圆，这个圆就是平面几何中著名的Apollonius圆设0 < k ¹ 1，z1 ¹ z2，z0 = (z1 - k2 z2)/(1 - k2)，r = k | z1 - z2|/| 1 - k2 |"zÎC，| z - z0 | = r Û | z - (z1 - k2 z2)/(1 - k2) | = k | z1 - z2|/| 1 - k2 |Û | z(1 - k2) - (z1 - k2 z2) | = k | z1 - z2 | Û | (z - z1) - k2 (z - z2)|

21、 = k | z1 - z2|Û | (z - z1)/k - k (z - z2) | = | z1 - z2|Û | (z - z1)/k - k (z - z2) | = | (z - z1) - (z - z2) |Û | (z - z1)/k - k (z - z2) |2 = | (z - z1) - (z - z2) |2Û | z - z1 |2/k2 + k2 | z - z2 |2 = | z - z1 |2 + | z - z2 |2Û (1/k2 - 1)| z - z1 |2 = (1 - k2 ) | z - z2

22、|2Û | z - z1 |2/k2 = | z - z2 |2Û | z - z1 |/| z - z2 | = k证完直接地双向验证，可能需要下面的结论，其几何意义非常明显的命题：若复数z, w ¹ 0，则| | z | · w /| w | - | w | · z /| z | | = | w - z |证明：我们用z*表示复数z的共轭| | z | · w /| w | - | w | · z /| z | |2 = | | z | · w /| w | |2 + | | w | · z /| z

23、 | |2 - 2Re( | z | · w /| w |) · (| w | · z /| z |)* = | z |2 + | w |2 - 2Re( w · z* ) = | w - z |2或更直接地，| | z | · w /| w | - | w | · z /| z | | = | | z | · w /| w | - | w | · z /| z | | · | z* /| z | | · | w* /| w | | = | (| z | · w /| w | - |

24、w | · z /| z |) · (z*/| z |) · (w*/| w |) | = | (| z | · (z*/| z |) - | w | · (w*/| w |) | = | w - z |12. 试证：Re(z) > 0 Û | (1 - z)/(1 + z) | < 1，并能从几何意义上来读本题【解】Re(z) > 0 Û 点z在y轴右侧 Û 点z在点-1和点1为端点的线段的垂直平分线的右侧Û 点z在点-1和点1为端点的线段的垂直平分线的与1同侧的那一侧Û 点z到点-1的距离大于点z到点1的距离Û |1 + z | > | 1 - z | Û | (1 - z)/(1 + z) | < 1不用几何意义可以用下面的方法证明：设z = x + i y，x, yÎR| (1 - z)/(1 + z) | < 1 Û |1 + z | > | 1 - z | Û |1 + z |2 > |