现代分析基础结课作业——Hilbert空间性质介绍

1、 Hilbert空间性质介绍摘要在这篇文章中，主要是为了介绍Hilbert空间的一些性质，并且把线性分析中各个空间的性质进行了描述，这也是为了更好的描述Hilbert空间及其性质做好基础，并且把各个空间的性质关系进行了讲述，总结了在线性分析基础这门课程中的收获与感悟。引言学习了线性分析基础的课程之后，我对于空间的理解有个更加深刻的认识，同时也对各种空间的应用与关系有着许多的困惑与不解，老师的课程十分精彩，介绍了许多原来没有接触过的知识，同时我感觉到了线性分析基础这门课程的重要性。在接下来的文章中，我们主要想对Hilbert空间及其性质进行介绍，在介绍Hilbert空间之前，必须把Hilbert

2、建立的基础进行描述，甚至文章的一大部分都在描述可测空间、测度空间、赋范线性空间和Banach空间等，但是这些空间的性质也在Hilbert空间中得以体现，可以认为Hilbert空间是这些空间基础上比较特殊的一类空间，它在满足这些空间所具有的性质的同时也有着自己特殊的性质以及应用。Hilbert空间是在一个复向量空间H上的给定的内积并导出一种范数，如果其对于这个范数来说是完备的，那么这个复向量空间就是希尔伯特空间。这里已经说明了希尔伯特空间是一个内积空间，其上有距离和角的概念（及由此引伸而来的正交性与垂直性的概念），可以根据它的特点和性质来进行扩展，得到我们想要得到的可以加以利用的空间。另外，希尔

3、伯特空间还是一个完备的空间。在下面的文章中，我们将详细的对所学的知识进行整理和阐释。关键词可测 测度空间 范数 完备性 Banach空间 内积空间 Hilbert空间1.可测空间及其性质首先我们要对拓扑空间进行一定的了解。假设X是一个集合，如果有一个子集族，我们定义为，满足以下的几点性质：（1）.空集ø和集合是在子族集当中。（2）在这个子集族内的元素满足交运算封闭。(3) 中元素族集的并运算封闭。那么我们称为X上的一个拓扑，称为拓扑空间，而中的元素成为拓扑的开集，在中，如果一个集合是这个开集的余集，那么称为闭集。当开集中的包含一个中的元素x时，称做点x的邻域。在这里我们必须要注意一点

4、，那么就是并的运算因子可以是任意多个，但是交运算的只能是有限多个，因为有限多个开集的交一定还是开集，但无限多个开集的交可能结果并不是开集。在很多的时候，我们都会考虑量度的问题。那么怎么定义什么是可量度的什么是不可量度的呢，我们比较关心前面的一个问题，只要把我们关心的可以量测的东西取出来就好了。这就是我们要考虑的可测性了。接下来我们了解一下可测空间的定义。仍然假设集合，我们先了解 环的定义：如果X中的一些元素构成的非空族合集为,内部的元素满足加减的运算封闭（也即为对可列交可列并运算封闭，并包含ø），那么我们称为的环。当加上一个增强条件，满足中的族合元素包括满集的时候，我们就称为一个代数

5、，这样，的元素就称为X的可测集，（，）称为可测空间。这里，我们应当知道可测空间的二元组的是代数，是包含X在其中的，所以它也有取余运算封闭的性质。而可测函数的定义则是如下;当有两个拓扑空间， 的时候，函数是从到的内部映射，若对的每一个开集，那么（）是中的开集，那么就称是连续的。当是可测空间的时候，函数是从到的内部映射，若对的每一个开集，那么（）是中的可测集，那么就称是可测的，特别的，当是实数集的时候，是可测函数。可测函数具有以下的性质：设、 是3个拓扑空间，、分别是从到和从到的内部映射，并且是连续的，那么（a）是连续的， =·是从到的内部映射，并是连续的；（b）是可测的， =·

6、;是从到的内部映射，并是可测的。可测函数还有其它的很多性质，这里就不多做介绍。2.度量空间以及其性质在定义了可测空间之后，我们要考虑另外一个重要的性质，就是在可测的空间定义出来之后我们怎么对它们进行定义量度。因此接下来要了解测度的定义：测度是定义在可测空间上的一个非负的函数，另外，既然为测量所用的，那么必须满足其中的逻辑,首先，空集ø的测度为零，测度为零的也必是ø，另外，必须满足互不相交的集合的可列可加性，这一点也很好理解，多个可测的集合并且它们之间没有交集，那么它们相加的集合的测度一定是等于每个集合的测度相加。测度是在可测集合上定义的，称为测度空间，这里的 即为测度，只要

7、满足上述的要求，可以根据我们的要求来进行定义，但是要注意的取得太大可能导致我们取不到合适的测度。因此在这里我们还比较关心的的有Borel集的测度， 是内最小的代数。注意测度空间是三元组而可测空间是二元组，而可测性与测度也是两个不同的概念，可测性是可以确定的，测度则是可以根据我们的使用来进行定义的。举一个比较简单的例子来说明我们以上学习的概念，就如概率统计来说，其中集合X就是所有的可能的事件，即为样本空间，而样本空间的子集合族就是 ，满足我们定义的性质，既包含整个样本空间为元素， 就是一个可测空间，我们为了方便，把测度定义为元素发生的概率，那么测度的范围是0-1，并且满足不相交的集合可数可加，就

8、是一个测度空间，而如果我们把测度定义为元素发生概率的两倍，那么我们可以发现仍然满足要求，仍旧是一个测度空间，可以看出来测度可以根据我们的方便来进行定义，可测性则要在体系中进行判断。 我们经常说的维欧式空间就是一个比较典型的测度空间。其定义如下：对于实数集合R的n重笛卡尔集，定义如下：对于任意的，令，容易验证是的一个度量，因此偶对是一个度量空间。这个度量空间特别地称为n维欧氏空间。这里定义的度量称为的通常度量，并且常常略而不写，而称为n维欧氏空间。2维欧氏空间通常称为欧氏平面或平面。测度空间不一定都是连续的，也存在离散的度量空间，设是一个度量空间称是离散的，或者称是X的一个离散度量，下面就举一个

9、很简单的度量空间：如果对于，存在一个实数使得对于任何，都有.例如我们假定 是一个集合，定义使得对于任何，有：，容易验证是X的一个离散度量。因此度量空间是离散的。离散的度量空间其性质可能很简单。3.赋范线性空间及其性质接下来来了解范数的概念：当一个空间 中的每一个元素对应着一个非负实数，并且这个非负实数满足：（1）当且仅当为0的时候为0，（2）满足三角不等式定理，即，（3）当为纯量的时候。那么我们称为一个范数，当然，可以进行扩充一下， 把（3）改成一下的几个条件：（a）（b） =0（c） 我们可以认为其性质和范数很相近，称之为拟范数。由此定义可以看出我们通常使用的距离可以看做一个范数，而范数的定

10、义则要比距离大得多。这个复向量空间X称为(拟)赋范线性空间。接下来我们了解一下（拟）赋范线性空间的一些比较重要的性质。我们定义完了赋范线性空间，我们对于，定义，根据上面对测度的定义不难看得出来，是满足测度的3个要求的,这时我们可以称测度是由范数·引导出来的。我们对赋范线性空间如此引入度量，使得这个空间成为一个度量空间，这样，我们便在空间引入的极限的意义。极限如下：首先，我们在（拟）范线性空间X上定义一个距离像刚才那样引入测度一样，即距离，其中如果有 = =0那么我们称 收敛于 。这里我们知道了范数的定义，也了解范数是我们用来对空间距离进行度量的一种方式，范数也有很多的不同，我们可以根

11、据我们所需要来进行定义范数。但是在度量的过程中，选择不同的范数可能得到不一样的结果，也有共同的性质。拿对矩阵范数的分析来讲，矩阵是一个有限维的描述，我们使用的范数可以是1-范数、2-范数乃至无穷范数，但是对矩阵范数的分析中，我们可以发现不管选用什么样的范数，它的收敛方式都是一样的，这就是一种共性。当然，这个共性可能在其他的分析中就不成立，但是我们针对不一样的体系可以进行相应的分析，来获得其特性，并可以进行研究。4.Banach空间及其性质赋范线性空间定义了空间的距离，即我们上面所说的范数，可以看做是我们所说的欧几里得空间的拓展。完备的线性赋范性空间就是Banach空间，完备的定义我们来讲一下。

12、我们在学习数列收敛时，已经知道数列收敛的准则是该数列是否为Cauchy列，因为数列收敛的充要条件是数列是Cauchy列，这完全是由实数的完备性所致。在度量空间中，这一结果未必成立。为此，我们引入一个重要的概念度量空间的完备性。若是度量空间，是 中的点列，如果对0,存在0,当，时，恒有，那么我们就称作为基本点列，也称作柯西点列。度量空间X中的任何一个Cauchy点列都是收敛的，那么我们就说度量空间称为完备的，那么称是完备的度量空间。空间的完备性条件如下：设及 分别是 中的点列和点，则点列收敛于的充要条件是函数列依测度收敛于。证明：充分性：若依测度收敛于 ，则对任何的，有。对任意给定的正数(不妨设

13、),取，则。对于这个，由依测度收敛于，存在自然数,使时，。所以， 即必要性：若对任何的，由于 ,故，且，由此可知。即依测度收敛于。可见，可测函数空间 中,只要每一个Cauchy函数列 依测度收敛于，则这样的空间就是完备的。由定义易知中的收敛点列是Cauchy列。中的Cauchy列若有子列收敛，则Cauchy列也收敛。根据定义我们可以来证明欧式空间是完备的。设是中任一Cauchy列，则对，存在自然数N，当 N时，有，于是，对每个坐标所形成的数列,这说明是Cauchy列，因此，存在实数，满足，记作，则。这样有。完备的赋范线性空间为Banach空间，根据定义我们不难证明n维欧几里得空间中范数按照 ，

14、=（ ， ，），定义范数的时候是Banach空间。按， （）定义范数是Banach空间。按照范数 ，（）是Banach空间。空间是完备的。证明如下：设是中任一Cauchy列，则对，存在自然数，当时，有，即对任意，必有，令，有，则一致收敛于。而，所以，且，故空间是完备的。我们可以证明：度量空间的完备子空间是闭集；一个完备度量空间的闭子空间是完备的。5.Hilbert空间及其性质首先我们来了解内积空间，如果一个空间中任意的向量 、 都对应一个复数（x，），当满足：（a）对应所有的 ，都有（，）0，并且只有在=0的时候（,）=0；（b）当、 H时，（+，）=（，）+（，）；（c）当、H时， 是一个复

15、数，（，）=（，）；（d）（，）= 。那么我们称这个复数（，）为和的内积，这个复线性空间为内积空间。在内积的基础上，我们已导出 ，那么 很容易验证满足范数的定义，称之为由内积诱导出来的范数。这时候，我们把范数作为测度,那么（，）就是一个度量空间。如果这个空间是完备的，即其内部的任一个Cauchy序列都收敛，那么此时的就是一个Hilbert空间。从定义可以看出来，Hilbert空间是完备的赋范线性空间，是一个Banach空间。举一个例子，如中，对任意的 ，定义内积 ，范数 ，按范数是完备的内积空间，是一个Hilbert空间。Hilbert 空间是一个很广义的概念，我们的欧式空间是属于 Hilbe

16、rt 空间的。比如三维的欧式空间是要求这个空间中的矢量要内积、有长度而且能定义两个矢量夹角，就可以成为一个Hilbert空间。因为Hilbert空间上的范数是由内积诱导出来的，了解Hilbert空间的性质我们可以先看看内积具有哪些性质。下面先介绍内积的性质：平行四边形法则是内积空间所具有的性质。对于任意固定的，映射 都是上的连续函数。根据Schwartz不等式可以得到一下等式： ； 。这两个公式可以用来判断赋范线性空间是否为内积空间,当一个赋范线性空间满足平行四边形定理的时候说明是一个内积空间，否则不是。 下面我们来讲述Hilbert空间的一些性质：首先讲正交性的定义：在内积空间中有， ， （

17、a）如果有 ，那么说明两者正交，记为 ；(b)对于 ，如果 ，那么有 ；(c)对于 ， ，如果，那么有 ；（d） 中与正交的所有元素的全体称为的正交补，记做 ，即 ；（e）设 为 的线性子空间， ，若 ，使得 ，则称为在上的正交投影，上式称为关于的正交分解。当是内积空间， ，如果 ，那么有 ，称为商高定理或勾股定理；设 是内积空间 中的一个稠密子集， ，若 ，则 （零元素）； ，那么 为 的闭线子空间。有投影定理：设 为Hilbert空间闭线性子空间，那么 ，必定存在唯一的 和 ，使得 。当是内积空间的完备线性子空间时，定理仍然成立。在Hilbert空间中，由于是内积空间引入了正教的性质，可以

18、把其中的元素分成唯一解的形式，这是十分有用的。下面介绍正交系以及规范正交系。设在 空间中有一组非零的元素列（或点列） ，如果 ,则称为正交系；如果 则称为规范正交系。其中， 线性无关。举几个例子进行说明：在n维欧式空间中 ， ， ， 为规范正交系。在 中，元素列， ， 按内积 为规范正交系。在 中，若规定内积 ，则三角函数系 是中的规范正交系。设是空间中的规范正交系，则下面的四个命题等价： （a）是完全规范正交系；（b），则 ；（c）对， 成立，即规范正交性的完全性与完备性等价（d）对，有 。 空间中任意两个规范正交系和 具有相同的基。无穷维空间是可分的与中存在完全规范正交系是等价的。无穷维可分的空间必定与 空间线性及内积同构。Hilbert空间的性质还有很多，而且Hilbert空间在提出来之后得到了很大的发展，不仅仅对数学上产生了很大的影响，也对如量子力学等领域产生了深远的