第7讲不定积分

1、第8讲 不定积分内容精要1.原函数：设在上连续，如果存在一个，使得或者，则称为的一个原函数。注意：存在性：连续函数存在原函数，且连续函数的原函数也是连续函数；无穷多性：如果是的一个原函数，那么仍是的原函数。2.不定积分：如果是的一个原函数，则称是的不定积分，用记号表示。即。3.积分与微分的关系 ； ； 。4.不定积分的性质；。5.基本积分表 6.第一换元法若被积函数，则第一类换元法主要用于不易计算，而容易求出的情形。7.第二类换元法 设单调可微，且，若，则 第二类换元法主要用于不易计算，而容易求出的情形。8.分部积分法9.有理函数的积分有理函数的积分，关键是将真分式分解成几个部分分式之和，首先

2、要正确地写出部分分式的形式，然后确定系数，应该注意：分母分解成一次因式与二次质因式的乘积后，若分母中含有因子，则部分分式中应有项若分母中含有因子，则部分分式中应有项10.三角有理函数的积分由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之三角有理函数一般记为令，则有典型例题题型1：有关不定积分概念及性质的命题例1：设函数的一个原函数为，则=（ ） 解： 由题意可知，即所以，故选。例2：设函数有连续导数，则等于（ ） 解： ，故选.题型2：分段函数不定积分的计算例1：设，及 解：设所以，当 当 由于在内连续(包括)，所以其原函数在内存在且连续，由，即得 故得 所以 题型3：利用第一换元法计算不定积

3、分例1：设是的一个原函数，则=（ ） 解： ，故选.例2：设是的一个原函数，则=（ ） 解： ，故选.例3：求不定积分.解： 例4：求不定积分.解： 小结：一些常见的凑微分公式如下 例5：求不定积分解：小结：一般地，对于正的奇数,和都采用类似的方法计算。例6：求不定积分解：因为 所以小结：一般地，对于正的偶数 和 都采用类似的方法计算。例7：求不定积分解： 题型4：利用第二换元积分法求不定积分（）三角换元原理：利用公式，去根式；对象：被积函数含有，令 被积函数含有，令 被积函数含有，令例1：求不定积分解：例2：求不定积分解：设 （）简单无理函数的代换原理：把无理函数的积分变成有理函数的积分对象

4、：被积函数含有，令例1：求不定积分.解: 例2：求不定积分解：令（）指数代换原理：令，对象：被积函数含有，不含有根式的，则令；被积函数含有，且含有根式的，则令含有根式整体为。例1：求不定积分解：令，则，原式例2：求不定积分解：令，则， （）倒代换原理：令对象：有理分式函数的积分，且分母关于的最高次数与分子关于的最高次数的差大于等于2。例1：求不定积分 解：作倒数代换，则，于是当 当相同的结果。例2：求不定积分解：令 （）反三角函数的代换原理：令反三角函数为对象：被积函数含有，又含有，则令，从而；被积函数含有，又含有，则令，从而；例1：求不定积分解：令 ，则，于是 例2：求不定积分.解：令 ，则

5、，于是 题型5：利用分部积分法求不定积分（）直接利用分部积分对象：当被积函数为幂函数与三角函数之积时，选取幂函数为，其余为； 当被积函数为幂函数与指数函数之积时，选取幂函数为，其余为； 当被积函数为幂函数与对数函数之积时，选取对数函数为，其余为； 当被积函数为幂函数与反三角函数之积时，选取反三角函数为，其余为； 当被积函数为指数函数与三角函数之积时，选取任意，且要用两次分部积分公式。例1：求不定积分解： 例2：求不定积分解： 例3：求不定积分解： 例4：求不定积分解：例5：求不定积分.解 例6：求不定积分解：（）换元法与分部积分法的结合例1：求不定积分解：令,则例2：求不定积分解：令lnx=t,则,例3：求不定积分解：先作变换，令 ，则，于是 （）分部积分的杂例例1：求不定积分.解 例2：求不定积分.解 例3：求不定积分.解 例4：求不定积分解：例5：设为的一个原函数，求不定积分解：由已知得所以有又因为 例6：设函数具有二阶连续导数，计算不定积分解： 题型6：有理分式函数的积分例1：求不定积分解：这是有理函数的积分，先把被积函数分解成部分分式之和，设有 （*）令，解得 （1）令 ， 得 （2）（*）式两边对求导得令 ， 得 （3）令 ， 得 （4）由（1）、（2）、（3）、（4）解得因此 例2：求不定积分