矩阵的有定性及其应用

1、矩阵的有定性及其应用摘 要： 矩阵的有定性是矩阵论中的一个重要概念, 二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性，而在本文中，主要讨论阐述的是实矩阵的正定性，半正定性以及它们的实际应用.本文在介绍实矩阵的正定性，半正定性的定义及其判别方法后，简单的举了一些实例来阐述实矩阵正定性及半正定性的应用.全文分三章,第一章,矩阵的正定性及半正定性的定义在第二章,正定性矩阵和半正定性矩阵的判别方法,第三章，在本文的最后给出了几个正定性矩阵的应用实例 关键字：矩阵 实矩阵 正定性 半正定性 应用 一、二次型有定性的概念设是一个数域, , 个文字的二次齐次多项式 称为数域上的一个元二次

2、型, 简称二次型. 当为实数时, 称为实二次型. 当为复数时, 称为复二次型. 如果二次型中只含有文字的平方项, 即称为标准型.定义1二次型可唯一的表示成其中, , 为对称矩阵, 称上式二次型的矩阵形式, 称为二次型的矩阵(都是对称矩阵), 称的秩为二次型的秩.定义2 具有对称矩阵之二次型(1) 如果对任何非零向量, 都有 （或）成立，则称为正定（负定）二次型，矩阵称为正定矩阵（负定矩阵）.(2) 如果对任何非零向量, 都有 （或）成立，且有非零向量，使，则称为半正定（半负定）二次型，矩阵称为半正定矩阵（半负定矩阵）.二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有

3、定性的二次型及其矩阵称为不定的.二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.二、矩阵正定性及半正定性的一些判定方法1）矩阵正定性的一些判别方法定理 1设为正定矩阵,若,则也是正定矩阵.定理2 对角矩阵正定的充分必要条件是.定理3 对称矩阵为正定的充分必要条件是它的特征值全大于零.定理4 为正定矩阵的充分必要条件的正惯性指数定理5 矩阵为正定矩阵的充分必要条件矩阵是：存在非奇异矩阵, 使.即合同。推论1 若为正定矩阵, 则.定理6 秩为的元实二次型, 设其规范形为则：(1) 负定的充分必要条件是且 (即负定二次型,其规范形为)(2)

4、半正定的充分必要条件是 (即半正定二次型的规范形为)(3) 半负定的充分必要条件是 (即)(4) 不定的充分必要条件是 (即)定义2 阶矩阵的个行标和列标相同的子式称为的一个阶主子式.而子式称为的阶顺序主子式.定理7 阶矩阵为正定矩阵的充分必要条件是的所有顺序主子式.注：(1) 若是负定矩阵，则为正定矩阵,。(2) 是负定矩阵的充要条件是：其中是的阶顺序主子式.(3) 对半正定（半负定）矩阵可证明以下三个结论等价:a. 对称矩阵是半正定（半负定）的;b. 的所有主子式大于（小于）或等于零；c. 的全部特征值大于（小于）或等于零.以上是几种常规的判别正定矩阵的方法，在这里还要介绍一种利用矩阵分解

5、法判定矩阵正定性的方法：先给出几个引理及其证明, 然后在此基础上逐步得到一种形式较简便的判断实对称矩阵是否正定的方法, 并推出了将n阶实对称矩阵A分解为特殊三角矩阵与对角矩阵的乘积的具体计算公式。 引理 1 任一正定对称矩阵的顺序主子矩阵也是正定对称矩阵。 证:设 n 阶正定实对称矩阵为A,它的s阶顺序主子矩 阵为AS(1sn)易知 AS是一对称方阵。再设X是任一s维零实向量, N维向量 Y=X,O.易XASX=YAY 因为A是正定实对称矩阵并且Y0,从而有XASX=YAY0又X是任一s维非零实向量,所以知AS也是正定对称矩阵。引理 2 设 s(或t)特殊下(或上) 三角方阵 P 左(或右)乘

6、一个st阶矩阵A得矩阵B,则矩阵A, B的r阶(1r sin( m, n) )顺序主子式相等。引理 3 设n阶对称矩阵A的顺序主子式均不为零，则存在特殊下三角方针P和主对角线上元素均不为零的对角矩阵D使得A=PDP由以上三个引理立刻得到下面非常有用的结论:定理 n 阶实对称矩阵A正定的充要条件是存在特殊上或下三角方阵P, 主对角线上元素均为正数的对角矩阵D,使得A=PDP证明 先证必要性.因为A是n阶正定实对称矩阵,由引理1知,它的各阶顺序主子矩阵也是正定对称矩阵.又任一正定实对称矩阵都是非奇异的,所以A的各阶顺序主子式均不为零并且均大于零。由引理3知,对于对称矩阵A一定存在特殊下三角方阵P,

7、主对角线上元素均不为零的对角矩阵D,使得A=PDP并由引理2知D的主对角线上所有元素di0( i=1,2 ,n)再证充分性.假设对n阶实对称矩阵A,存在一特殊下三角方阵P以及主对角一上元素均为正数的对角矩阵D,使得A=PDP则因D的主对角线上元素di0( i=1,2, ,n)，从而由引理2知A的各阶顺序主子式均大一地零,所以知A是一n阶正定实对称矩阵。由此定理可得到一种判定一 n阶实对称矩阵A是否正定的方法:将 A 分解成上述定理中形式, 即 A=PDP然后, 观察 D的主对角线是否全为正数.若是, 则 A 正定;又由引理2知,若D 的主对角线上元素全为负数, 则 A 负定。2）矩阵半正定性的

8、一些判别方法1n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指数等于它的秩。2 n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全大于等于零，但至少有一个特征值等于零。3n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的各阶主子式全大于等于零，但至少有一个主子式等于零。注：3中指的是主子式而不是顺序主子式，实际上，只有顺序主子式大于等于零并不能保证A是半正定的。三、矩阵正定性及半正定性的应用实矩阵的正定性及半正定性在实际生活中及理论研究中都有着重要的实际应用，以下是对实矩阵正定性及半正定性应用的一些简单介绍：1）一些基本例子例1 设M是n阶实对称矩阵, 则必存在正实数t, 使得tI+M为正

9、定阵，其中I是单位矩阵。证明：矩阵正定的充要条件: 对任意x不等于0向量,有XMX0，X(TI+M)X = TXX+XMX， 在所有的X中选一个X,使XMX的值最小,XMX = -MAX,其中 MAX0，而这时对应的XX的值为K,且K肯定大于0， 又K,MAX都是常数,则必存在常数T,使TK-MAX0，即X(TI+M)X=TXX+XMX0 故TI + M正定.例 2 设二次型 问l取何值时, f为正定二次型？ 解 f的矩阵为 f正定的充要条件是A的顺序主子式全大于零. 事实上, A的顺序主子式为： 于是, f正定的充要条件是且. 联解不等式组：可得. 当时, f正定. 2）在实际问题中经常要遇

10、到求三元以上函数的极值问题，对此可由二次型的正定性加以解决.定义3 设元函数在的某个邻域内有一阶、二阶连续偏导数。 记, 称为函数在点处的梯度.定义4 满足的点称为函数的驻点.定义5 称为函数在点处的黑塞矩阵。显然是由的个二阶偏导数构成的阶实对称矩阵.定理8(极值存在的必要条件) 设函数在点处存在一阶偏导数，且为该函数的极值点，则.定理9(极值的充分条件) 设函数在点的某个邻域内具有一阶、二阶连续偏导数，且则 : (1)当为正定矩阵时，为的极小值; (2)当为负定矩阵时，为的极大值; (3)当为不定矩阵时，不是的极值。应注意的问题： 利用二次型的正定性来判断多元函数的极值虽然是一个很好的方法,

11、但也有一定的局限性,因为充分条件对正定和负定的要求是很严格的,若条件不满足,那结论就不一定成立. 例3求三元函数的极值.解先求驻点，由 得所以驻点为.再求(Hessian)黑塞矩阵因为,所以，可知是正定的，所以在点取得极小值：.当然，此题也可用初等方法求得极小值，结果一样.3）控制系统稳定性与正定矩阵稳定性是控制系统最重要的问题,也是对系统最起码的要求。1877年Routh,1895年Hurwitz分别研究了系统的稳定性与特征方程系数的关系,并分别给出了线性系统稳定性的代数判据, 至今仍有广泛应用。若系统特征方程为an sn + an - 1 sn - 1 + a1 s + a0= 0，则系统

12、的 Hurwitz矩阵H由特征方程的系数按下述规则构成:主对角线上元素为特征方程自an - 1至a0的系数，每行以主对角线上的系数为准，若向左，则系统的注脚号码一次下降，若向右,系数的注脚号码则一次上升，注脚号码若大于n或者小于零，此时系数为0.Hurw itz判据为:系统稳定的充分必要条件是an 0的情况下,对角线上所有顺序主子式均大于零。当系统的Hurwitz矩阵的阶数n较大时,应用Hurwitz判据比较麻烦,故它常应用于n较小的场合。在这里我们改进了Hurwitz判据 ,避免了计算Hurwitz矩阵所有的顺序主子式,使其对于较大的n也是很方便的。4）正定矩阵在三维空间里的图形变换应用正定

13、矩阵在对三维空间里的图形进行线性变换时不改变图形的形状，这就是它的最大意义例如：任意一个向量x，跟他垂直的超平面把空间分成两部分，一部分和x在同一侧，即满足和x的内积为正的那侧，一部分在异侧，内积为负。由定义，正定的线性变换把任意一个向量x都变到x的同侧。如果它有实特征值，必定是正数，否则的话它会把这特征向量变到另侧。一个线性变换把一组幺正基e1,.,en变到另一组向量v1,.,vn，这n个新向量的端点和原点一起构成一个多面体。这多面体的体积就是线性变换的行列式。对正定变换来说，其行列式为正，所以这个多面体非退化，且v1,.,vn确定的定向和e1,.,en确定的定向相同。补充:不会保持形状不变

14、.保持不变的必须是等距,就是说,必须是正交变换O(n).正定变换一般最常见的情况是正定对称变换.正定对称变换最常见的情况是用来定义内积.即定义 = xAy为x,y的内积.欧氏空间的内积用I来定义,即=xy。5）利用半正定二次型的性质证明不等式定理10 二次型半正定的充分必要条件是它的标准型的所有系数都是非负的.证明 充分性 设. 若,则, 即二次型是半正定的. 必要性 若二次型是半正定的, 而对于某个有, 则令这时可以找到变量的一组适当值,使得则与此假设矛盾,所以.定理11 设实二次型, 若为实可逆方阵，则半正定等价于半正定; 换句话说, 经过非退化线性变换后, 半正定的二次型仍然是半正定的.

15、证明 由有, 并且易知, 于是, 对任意的, 则, 因此则半正定.反之, , 因此, .则半正定.定义6 形如子式的级子式称为矩阵的级主子式, 其中.定理11实二次型=半正定的充要条件是矩阵的一切级主子式非负.证明 必要性 设二次型是半正定的, 则存在对角矩阵. 其中是变二次型的标准型的变量变换矩阵, . 再由定理1知, . 因此, . 又已知其中, 同时, 若二次型是半正定的, 则所有二次型都是半正定的, 因此所有级主子式非负.充分性 已知的一切级主子式非负, 设为的级顺序主子式, 则对于任意正实数, 有 () = ()其中.由()式知, , 又, 所以矩阵的一切顺序主子式全都大于零, 所以

16、矩阵是正定矩阵.设为的特征值, 则, 所以,所以, 是矩阵的特征值, 因为矩阵是正定矩阵, 所以, , 取为任意小的正数, 则, 再根据定理: 矩阵是半正定的充要条件是的特征值非负. 所以, 为半正定矩阵.6）利用二次型半正定性证明不等式.其证明思路是: 首先构造二次型, 然后利用二次型半正定性的定义或等价条件, 判断该二次型（矩阵）为半正定, 从而得到不等式.例3（不等式）设为任意实数, 则.证明 记因为对于任意, 都有, 故关于的二次型是半正定的.因而定理1知, 该二次型矩阵的行列式大于或等于0, 即. 故得.例4 证明 证明 记, 其中将矩阵的第2,3,列分别加到第一列,再将第2,3, 行减去第1行,得,于是的特征值为0, 由定理可知, 为半正定矩阵, 即二次型是半正定的, 从而得, 即结论得证.例5 设是一个三角形的三个内角, 证明对任意实数,都有.证明 记，其中对做初等行变换得: , 于是的特征值为0, 1, , 从而得二次型是半正定的, 即对于任意实数, 得证.例6 设为阶半正定矩阵, 且, 证明.证明 设的全部特征值为, 则的全部特征值为. 因为为实对称矩阵, 所