经典截长补短法巧解

1、截长补短法截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。截长补短法有多种方法。截长法：（1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。补短法（1）延长短边。（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。例：在正方形ABCD中，DE=DF，DGCE，交CA于G，GHAF，交AD于P，交CE延长线于H，请问三条粗线DG，GH，CH的数量关系方法一（好想不好证）方法二（好证不好想）例题不详解。（第2页题目答案见第3、4页）（1）正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAF=45。求证：EF=DE+BF（1）变形a正方形AB

2、CD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，EAF=45。请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？（1）变形b正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，EAF=45。请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？（1）变形c正三角形ABC中，E在AB上，F在AC上EDF=45。DB=DC，BDC=120。请问现在EF、BE、CF又有什么数量关系？（1）变形d正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAD=15，FAB=30。AD=求AEF的面积（1）解：（简单思路）延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。由四边形ABCD是正方形得ADG=ABF=90AD=AB又DG=

3、BF所以ADGABF（SAS）GAD=FABAG=AF由四边形ABCD是正方形得DAB=90=DAF+FAB=DAF+GAD=GAF所以GAE=GAF-EAF=90-45=45GAE=FAE=45又AG=AFAE=AE所以EAGEAF（SAS）EF=GE=GD+DE=BF+DE变形a解：（简单思路）EF= BF-DE在BC上截取BG，使得BG=DF，连接AG。由四边形ABCD是正方形得ADE=ABG=90AD=AB又DE=BG所以ADEABG（SAS）EAD=GABAE=AG由四边形ABCD是正方形得DAB=90=DAG+GAB=DAG+EAD=GAE所以GAF=GAE-EAF=90-45=4

4、5GAF=EAF=45又AG=AEAF=AF所以EAFGAF（SAS）EF=GF=BF-BG=BF-DE变形b解：（简单思路）EF=DE-BF在DC上截取DG，使得DG=BF，连接AG。由四边形ABCD是正方形得ADG=ABF=90AD=AB又DG=BF所以ADGABF（SAS）GAD=FABAG=AF由四边形ABCD是正方形得DAB=90=DAG+GAB=BAF+GAB=GAF所以GAE=GAF-EAF=90-45=45GAE=FAE=45又AG=AFAE=AE所以EAGEAF（SAS）EF=EG=ED-GD=DE-BF变形c解：（简单思路）EF=BE+FC延长AC到点G，使得CG=BE，连

5、接DG。由ABC是正三角形得ABC=ACB=60又DB=DC，BDC=120所以DBC=DCB=30DBE=ABC+DBC=60+30=90ACD=ACB+DCB=60+30=90所以GCD=180-ACD=90DBE=DCG=90又DB=DC，BE=CG所以DBEDCG（SAS）EDB=GDCDE=DG又DBC=120=EDB+EDC=GDC+EDC=EDG所以GDF=EDG-EDF=120-60=60GDF=EDF=60又DG=DEDF=DF所以GDFEDF（SAS）EF=GF=CG+FC=BE+FC变形d解：（简单思路）延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。过E作EHAG.前面如（1

6、）所证，ADGABF，EAGEAFGAD=FAB=30，SEAG=SEAF在RtADG中，GAD=30，AD=AGD=60，AG=2设EH=x在RtEGH中和RtEHA中AGD=60，HAE=45HG=x，AH=xAG=2=HG+AH=x+x,EH=x=3-SEAF=SEAG=EHAG2=3-.（第5页题目答案见第6页）（2）正方形ABCD中，对角线AC与BD交于O，点E在BD上，AE平分DAC。求证：AC/2=AD-EO（2）加强版正方形ABCD中，M在CD上，N在DA延长线上，CM=AN，点E在BD上，NE平分DNM。请问MN、AD、EF有什么数量关系？（2）解：（简单思路）过E作EGAD

7、于G因为四边形ABCD是正方形ADC=90，BD平分ADC，ACBD所以ADB=ADC/2=45因为AE平分DAC，EOAC，EGAD所以EAO=EAG，DGE=AOE=AGE=90又AE=AE，所以AEOAEG（AAS）所以AG=AO，EO=EG又ADB=45，DGE=90所以DGE为等腰直角三角形DG=EG=EOAD-DG=AD-EO=AG=AO=AC/2（2）加强版解：（简单思路）MN/2=AD-EF过E作EGAD于G，作EQAB于Q，过B做BPMN于P按照（2）的解法，可求证，GNEFNE（AAS）DGE为等腰直角三角形AG=AD-DG=AD-EF，因为四边形ABCD为正方形，ABC=GAQ=BCM=90BD平分ABC，BC=BAABD=ABC/2=45，又EQB=90EQB为等腰Rt三角形，BEQ=45因为GAQ=EGA=EQA=90所以四边形AGEQ为矩形，EQ=AG=AD-EF，EQ/AGQEN=ENG又ENG=ENF，所以QEN=ENF由BC=BA，BCM=BAN=90，CM=AN，所以BCMBAN（SAS）BM=BN，CBM=ABNABC=90=ABM+CBM=ABM+ABN=MBN，又BM=BN所以MBN为等腰Rt三角形，又BP斜边MN于P，所以NPB为等腰Rt三角形。BP=MN/2，PNB=45。BNE