中南大学线性代数试卷

1、考试试卷 1闭卷考试时间： 100 分钟、填空题（本题15 分，每小题3 分）1、设 A A,A 2 ,A3 ,A4 为四阶方阵，其中Ai （ i 1,2,3,4 ） 为 A 的第 i 个列向量 ,令 B A A2,A2 A3, A3 A4, A4 A，则 B2、 设 A 为三阶方阵，A 为 A 的伴随矩阵，且| A|3，则 |(A) 1|32111 1设 A 3213 t ，且R(A) 2，则 t。、1t3524若n 阶方阵 A 有特征值，则 f(A)Akk 1ak 1Aa° 必有、A a E特征值。52 222yz经正交变换化为f y14y2，、若一次型 f2 x3y22xzz

2、2axy则 a0、选择题（本题15 分，每题3 分）1、设 A 是 n 阶方阵，则 |A| 0的必要条件是（）。（A） A 中两行（列）元素对应成比例；（B） A 中有一行元素全为零；（C）任一行元素为其余行的线性组合；（D）必有一行元素为其余行的线性组2、设 A 是 n 阶对称阵， B 是 n 阶反对称阵，则下列矩阵中反对称矩阵是（） (A) BAB ;(B)ABA;(C)ABAB ;(D)BABA o3、设向量组 11,1, ，T,21,2,3 T,31, 3, t T, 当 t (）时，向量组 1 ,2 ,线性相关。(A) 5(B) 4(C) 3( D)24、设 A为43 矩阵， 1,2

3、, 3 是非齐次线性方程组Ax b 的3 个线性无关的解向量 ,k1, k 2 为任意常数 , 则非齐次线性方程组Ax b 的通解为（）。(A)3k1 ( 21) ；( B)2 2 3k 1 ( 2 1 )；2(C)31)；(D) 2232k1 ( 21) k 2(3k 1 ( 21 ) k 2 (331 )其中X 11E 为单位矩阵。为 X 的伴随矩阵 ,五、（本题 14 分)设向量组 11,0,1 T ,20,1T,31, 3,5T 不能由向量组11,UT,21,2,3 T,33,4, kT 线性表示。（1）求向量组 1,2 ,3 的一个极大无关组 ;（3）将向量 1用 1 ,2,3线性表

4、示。5110设方阵 A1k0 是正定矩阵，则 必有（）、00k2。( A)k 0 ；( B) k1( C)k 2 ；( D) k1。；三（本8 分）计?算行列、题式a0a1a n 2a n 11 000x100其中a0,1,2, ,n 1 o,0,i0 0X10 00X12 分）设 AXE A2X，且 A1 01四 （本0 20，求矩阵 X 及 X、 题1 01六、（本题14 分）X1X2 0，已知齐次线性方程组（n）设齐次线性方程组（ I ）为（2）求 k 的值 ;x2 x40的通解为 ki 0,1,1,0 T k2 1,2,2,1 T。（ 1 ）求方程组（ I）的基础解系；（ 2）问方程组

5、（ I ）和（ n）是否有非零公共解？若有，则求出所有非零公共解，若没有，则说明理由。（ 1）已知A的一个特征值为2, 求 x;00（ 2）求方阵P，使 AP TAP为对角阵。01七、（本题 14设矩阵 A1000分）八、（本题 8试证001X分）明 :1 bb00 b112 b 1bb的取大特征值为 a 1（ n 1 ） b ，其中 0 b 1 。n 阶矩阵 Aa参考答案、填空题（本题15分，每题3分） 、2、4、 f（） ；5、 。1 0;1二、选择题（本题15 分，每题3分） 1、D;2 、B;3 、A；4 、C；5、B.三、（本题 8 分）解：从第一行开始，每行乘x 后逐次往下一行加，

6、 再按最后一行展开得 :原式 =a0xn 1a1xn 2an 2X a n 1 。四、（本题 12 分） 解:AXA2X，得： （AE)XA20,(AE）可逆，故 X由于 X(X 1)1XX五、（本题14 分 )解：（ 1）3)，A0,R(A)3 线性无关，3 是向量组2,3 的一个极大无关组;（2）由于4 个 3 维向量1, 2,3,i( i1,2,3 ）线性相关 ,若 1，2，3 线性无关，则i 可由 1，2，3 线性表示，与题设矛盾;于是 1,2，3 线性相关，从而I 1， 2，3 |113124k 50, k 5 。13k(3)令 B(1 0111002241, 2,3,1)013 1

7、0104 ，1123。1 1510011六、（本题110 00 0 0；，所以方程组（1）的14 分）解：（ 1） A0101基础解系为 :1 0,0,1,0 T,1,1,0,1(2 ) 设 k1 0,1,1,0 Tk21,2,2,1 T k3 1k4 2 ，即1k11k2k30,k4故上述方程组的解为k(1,1,1,1 ） T，于是方程所有非零公共解为 :组k( 1,1,1,1)T(k0 为任意常数）。七、（本14 分）解 :(1)题11X1) 211 12 代人上式，得（2 ）由（ 1），显然A 为实对称阵，而A T A令 ATAA2O，显然 AT A 和 A2 也是实对称A 2阵,由 E

8、 A20，得 A2的特征值1 对应的特征向量为(1, 1) T，单位化 :A1 是单位阵 ,0,24 ，(、 2.2、T2 22 对应的特征向量为(1,1) T单位化 :，0022 ，则有 APAPPT(A TA)P22丄,222G，)T，八、（本8 分）证明：由题2a2ba2 ba2ba2ba2a2 ba2b2b na2(1 n )a 2b 0aa2 aa2ba2 ba2ba2得 A 的特征值i a21 (n 1)b,23n a2(1 b) ,0 b 1,a 220,1故 A 的最大特征值是a21 (n 1)b 。考试试卷 2闭卷考试时间： 100 分钟、填空题（本题15 分，每小题3 分）

9、1、若 n 阶行列式零元素的个数超过n （n-1）个，则行列式为k1111k113、设 A=k，且 R(A)=3，贝 U111111k1 1=( 1,2,3，设 A=T ，则 An =5、设 A 为 n 阶方阵， A0, A 为 A 的伴随矩阵， E 为 n 阶单位阵 ,2、若 A 为 4 阶矩阵，且A =丄，则 (3A) 1 2A= 。2,则（ A） 2E 必有特征值 _、选择题（本题15 分，每题 3 分）1、设 A，B,C 为 n 阶方阵， E 为 n 阶单位阵，且ABC=E则下列各式中（4、已知向量 ，=（1,2,3 ），（A） CAB=E（B）（ C） BCA=E（D）2、设 A,B

10、 均为 n 阶非零矩阵，且（A）必有一个等于零（ C） 一个小于 n, 个等于 n 3、下列命题中正确的是（A 有特征值）不成立。B1A1C1E）。C 1A 1 B 1 E（B）都小于 n（D）都等于 nAB=O则它们的秩满足（A）在线性相关的向量组中，去掉若干个向量后所得向量组仍然线性相关（B ）在线性无关的向量组中，去掉每个向量的最后若干分量后仍然线性无关（C）任何 n+k 个 n 维向量（ k 1）必然线性相关（ D）若只有 k,k2, k m 全为零时，等式k,k 1 1才成立，且m 线性无关，则m 线性无关4、设 1(1, 2,1) T ， 2 (1,1,1) T ,则 3=(）时，

11、有 1 ,2,3 为 R3 的基(A)(2,1,2) T ( B) (1,0,1) T( C) (0,1,0) T( D) (0,0,1) T11111、（ 10 分）计算 n 阶行列式 Dn, 并求该行列式展开后的正项总11数。11112105、设二次型的矩阵为 A112，且此二次型的正惯性指数为3，则02k10 1四、（10 分）设AXE = A2 X ,且 A020，求矩阵 X 及(X 1)，其中1 0 1(A) k>8( B) k>7(C) k>6(D)k>5（ X 1）为 X 1 的伴随矩阵， E 为单位矩阵。五、（本题14 分）设有向量组172530111_

12、， 2“， 3小，4214060312（ 1）求该向量组的秩 ;（ 2）求该向量组的一个最大无关组，并把其余向量分别用求得的最大无关组线性表出。六、（本题 14 分）设向量 （1, 1,1 ） ，（ 1）求 3 阶方阵 A T 的特征值与特征向量 ;（ 2）求一正交矩阵 Q,使 Q T AQ 为对角矩阵。1 2a114 分）设矩阵 A 12b ，七、（本题1 、222 2c2（ 1 ）问 a,b,c 为何值时 A 是正交矩阵（2 ）当 A 是正交矩阵时，求方程组AX1 的解。八、（本题8 分）证明： n 维列向量组1，2线性无关的充要条件是TTT11121nTTTD21222nTTTn1n2n

13、n其中 iT 表示向量 i 的转置， i1,2, ,n 。参考答案、填空 :（每小题 3 分, 共计 15分）1、0 ；32 .-3 ；81n4、 A3二、选择:（每小题 3共计 151、D 2分,、 C分）、（本题 10 分）（练习册P117）C1C 20 .0 .解 :DnC3C12 .nc； C设 Dn 展开式中正、负项总数分别为X1,X 2,贝 y X1 x2 n! , x1 x22n 1 ，于是正项总数为 x111 （2n 1n!） o2四、（本题 10 分）解：由 AXE A X，得：(AE)XA2E ,10, (A E) 可逆，故20 1X A E030;102由于X90,1 、

14、， 11XX 冈 X1 、，1201C30 .9-0。102五、(本题 14 分)解：将矩阵六、(本题 14 分)解：A= T11EA2(3)11,2 ,3,4 化为最简形阶梯形矩阵1725110110023011030101031321406001100133101200000000(1)R1,2,3,43；(2 ) 1, 2, 3 为所求的一个最大线性无关组，且41 1(1 )A 的特征值为0,0,3；由 AX=0得对应的 0 的特征向量为k 1 l 0 ,k,l0 1为不全为零的任意常数，由 (3E A)X 0 得对应 3 的特征向量为c为任意非零常数。11 1(2)将 10 正交化，得

15、112，再单位化，得01 0111单位化得1： 2 为所求正交阵。61使20QTAQ03七、（本题14 分）解：（ 1）若 A 是正交矩阵，则A 的列向量两两正交，故有2a 2 2 201 2b 202a 2 2b 2 2c 0解得 a1,c0 时 A 是正交矩2，b阵。2(2)T1 11111211T111.2201XA1A111 、211 1.218八、（本题分）证：记矩阵 A(1，2，n ），则TTTTa11 11 2-1nTTTTT2 12 2-2 nA Aa21) 2,?TTTTnn 1n 2-n n由于ATAAT|A |A2D ，从而得1, 2， n 线性无关2A0A0D0。考试试

16、卷 3闭卷考试时间： 100 分钟一、填空题 ( 本题 15 分，每小题 3 分)2 1 01、设 f (x) x 23，矩阵 A，则 f (A)。432、 _设 A,B 为 n 阶矩阵，如果有 n 阶可逆矩阵 P，使 _ 成立，贝 U称 A 与 B相似。3、 n 元非齐次线性方程组Am n X b 有唯一解的充分必要条件是_ 。2 2 24、已知二次型f (X 1, X 2,X3) 5X1 5X 2 3X3 2X 1X2 6X1X3 6X 2X3，则二次型f 对应的矩阵 A。5、设 4 阶方阵 A 满足： |A 0, 3E A 0, AA T 2E ，( 其中 E 是单位矩阵 ) ，则 A

17、的 伴随矩阵 A*必有一个特征值为_ 。二、选择题 ( 本题15 分，每题 3 分 )1、 已知 4 阶方阵 A 的伴随矩阵为A*，且 A 的行列式 | A|3，则 | A* () 。( A)81(B) 27(C) 12(D) 92、 设 A、B 都是 n 阶方阵，且A 与 B 有相同的特征值，并且A、B 都有 n 个线性无关的特征向量，则 ()。(A)A与 B相似(B)AB(C)AB，但 AB0(D)A与B不一定相似，但AB3、 设 n 阶方阵 A 为正定矩阵，下面结论不正确的是 ()(A)A 可逆(B) A 1也是正定矩阵(C)(D) A 的所有元素全为正4、若 n 阶实方阵 A A ,

18、E 为 n 阶单位矩阵，则（(A)R(A)R(AE)(B) R(A) R(A E) n(C)R(A)R(AE)（D）无法比较R(A)R(AE） 与 n 的大小5、设其中 C1, C2, C3, C4为任意常数 ,C1C2C3C4则下列向量组线性相关的为(A )1,2,3( B)(C)(D)三、（ 10 分）计算 n（n 2 ）阶行列式 DDn 的主对角线上的元素都为x，其余位置元素都为a，且 x四、（ 10 分）设 3 阶矩阵 A、B 满足关系 :1ABA6A BA，且 A0求矩阵 B。五、 （10分） 设方阵 A 满足 A2A 2E0 （其中 E 是单位矩阵），求A 1,（ A 2E) 1。

19、六、 （12分）已知向量组（ 1）求向量组A 的秩 ;（ 2）求向量组A 的一个最大线性无关组，并把不属于该最大无关组的其它向量用该最大无关组线性表出。1 1000七、（ 14 分）设矩阵 A1与矩阵B010 相似,1 1002(1 )求(2) 求正交矩阵 P，使 P 1 AP B 。23X1a1x2a1 X3a123八、 ( 14 分) 设有线性方程组为X1a2x2a? X3a223X183X2a3 X3a3X184X22334 X3a4(1 ) 证明：若 a1, a2,a3, a4 两两不等，则此方程组无解;(2 ) 设 a1a3k, a 2a4k(k 0) , 且已知1, 2 是该方程组

20、的两个解，其中(1,1,1) T, 2(1,1,1)T ，写出此方程组的通解。参考答案二、 填空： ( 每小题 3 分，共计 15 分)5132 0 11、； 2、 P 1AP B ； 3、R(A) R(A, b) n； 4 、A 1538 633345、 一 o3二、 选择： ( 每小题 3 分，共计 15 分)1、B2 、A3 、D4 、C5 、C、 ( 本题 10 分)( 见教材 P44 习题第 5 题)解：后面n 1 列都加到第1 列，得X(n 1)aaLa1 aLaX(n 1)aXLa1 XLaDnLLLLx(n 1)aLLL LX(n 1)aaLX1 aLX1aLa0XaL0n 1X (n1)a LLLLx (n 1)a(xa)00Lx a四、（本题 10 分）12 00100解：B 6(A 1 E) 16 0 400100 070011006006 030020。006001五、（本题 10 分） （见练习册 P118 第五大题第1 小题