带电球体电场与电势地分布

1、带电球体电场与电势的分布时间2021.03.10创作：欧阳治王峰（南通市启秀中学物理学科江苏南通226006）在高三物理复习教学中，遇到带电体的内、外 部场强、电势的分布特点问题时，我们一般以带电 金属导体为例，指出其内部场强处处为零，在电势 上金属体是一个等势体，带电体上的电势处处相 等；但对带电金属导体的内、外部场强、电势的大 小的分布特点及带电绝缘介质球的内、外部电场、 电势的大小分布很少有详细说明；而在电场一章的 复习中，常常会遇到此类问题，高三学生已初步学 习了简单的微积分，笔者在此处利用微积分的数学 方法，来推导出上述问题的答案，并给出相应的 “Et”和“0一广”的关系曲线图，供大

2、家参考。本文中对电场、电势的分布推导过程均是指在 真空环境中，即相对介电常数旬=1；对电势的推导 豹取充劳远处为电势零参考点的，即4"。1、帶电的导体球：因为带电导体球处于稳定状态 时，其所带电荷全部分布在金属球体的表面，所以 此模型与带电球壳模型的电场、电势分布的情况是 一致的。1.1电场分布：1.1.1内部（尺人）：如图（1）所示，在均匀带 电金属球（壳）内的任意点P处，均有通过直径相 似对称的两个带电球冠面S和S2 ,当两条线夹角&很 小时，S和S2可以近似看作两个带电圆面，且S和 S2两个面的尺寸相对它们距离P点距离很小，这样 S和S2两个带电面就可以近似处理为点电荷

3、，它们 在p点各自产生电场强度dp与勺卩，计算如下所示：设球体带电总量为0, 表面上且均匀分别在导体球外： EP=K41或球壳）内_Qin S2且EP与I9Ep = 0 ,艮N'、 部的电场强度处处为篆1.1.2外部（AR）:女迁 所示，要计算带 电金属球（壳）的外部P点朗虽场强度，可以把带 电导体球的表面分割成许多的单元面将每个单元面上电荷在P点产生的电场dE进行叠加，求出P 点的合场强S o由于球面上单元面力的对称性特点，可知P点的电场强度励的方向最终应该沿”连 线的方向。上述求电场盛度S的理论方注、是浅显易憧的, / / 、但数学处理王比第/R杂,法；即先要:对“S 0 2”的环

4、秧分,'QE+dE 圆扮匙行 “ Z 矗塚输进萍沿直径/方向的Otjt的祗分,最终求出带屉球体在P点的合 一场强励。积分过程如下：如图（2）所示，设图（2）OA = R, OP = r9 AP = x ,球表面电荷的面密度为=KGils门-cosO取球面极坐标，则ds = Rd(pRZ(pdy/，其中0为沿直径方向的从Ot/t积分角，0为带电圆环的从由OAP 可知：x = J/+/?2-2,/?cos0又COS& =r-Rcos(p 一r- Rcos(pJr2 +R2 - 2iRcqs(p门2r2 -2/7? cos 0r-/? cos (p =2rr2 - Q +r2 + R

5、2 -2rRcos(p27由此可以看出，带电金属球体或金属球壳在外 部空间某点产生的电场强度E,与其上电荷全部集 中在球心时产生的电场强度相等。当广=/?时，有e = k2 ,所以带电金属球或带R-电球壳的内、外电场强度的分布在广=尺处电场强度 的值有突变的情况。1.1.3图景：如图(3)所示，是带电金属球或带电球壳（导体或绝缘体壳均相同）的电场强度E1.2电势分布:的大小随P点到圆心O的距离，的关系图线。121内内部某点X曹电竝P白呂关I小可以由电场力做功 I丿 I和电势差关系来确定:由电势的物理意义肯得，当!以无穷远点为零势点I电场强渡从该点到无穷远的时，该点的电势等府卜 定积分。即：由上

6、述答案可知，°均匀带轿金属球在稳定时，舅 图（3）球外任一点的电势等于抱冬部电荷看作集中于球心 的一个点电荷在该点的电势相同；在球体内任一点 的电势应与球面上的电势相等，故均匀带电金属球 面及其内部是一个等势体。1.2.2外部（Q«）:由上述电势理论同样可得：当r = R时，有0 = «纟，所以带电金属球的内、外R电势的分布是连续不间断的。1.2.3图景：如图（4）所示，是带电金属球或带电球壳（导体或绝纟壳同）的电势卩的大小随P点到圆心0附距离厂的关系图战。欧阳治创编2021.0X10OfOO2、帶电的绝缘体球：这种带电体的电荷是均匀分 布在整个球体的各个部位，即

7、电荷的体密度处处相 同。2.1电场的分布：2.1.1内部（/<人）:如图（5）所示，在此带 电球体内部距离圆心厂处的电场强度6等于以（） 为圆心、r为半径的带电球体在此处产生的电场 Q和以（）为圆心从厂到R的带电球壳在此处产生 的电场昂的叠加；又已知带电球壳在内部产生的 电场强度处处为零（即£2=0）,所以卩点处的电 场强度就等于以厂为半径的带电球体产生电场2.1.2外部（/>«）:和带电导体球（或球壳） 一样，仍可视为集中在球心处的点电荷在该处产生 的电场。 丘外=« £（ r > /?）当r = R时，有电场强度的最大值Emax =

8、 K £ ,所 R2以，带电绝缘体球的内、外部的电场强度是连续分 布的；在厂=/?处，电场强度最大。2.1.3图景：如图（6）所示，是带电绝缘体球的 内、外部的电场强度£的大小随P点到圆心（）的距 离r的关系图线。22电势的分箱2.2.1内部眾由电'势事物理意义可得，警 以无穷远点为专如皂时二戈点备电势等于对电场场2.2.2外部（QZ?）:住士述电容理论同样可得:z->I当/-=/?,即在此球壳处处电势为0防器所以带电绝缘体球的内、外电势的分布曲线是 连续的。2.2.3图景：如图（7）所示，是带电绝缘体球的 内、外部的今疝5知命弋 点到圆心（）的距离r 的关系

9、图线（-P Q本文运用诲叟积彰珂电场、电势的分布进欧阳治创编2021.0? “欧阳治创编2021.03.10欧阳治创编 2021.03.10行推导，引导高三复习的同学从数学角度认识物理 过程，加强了数学和物理知识的联系，深化了学生 的物理形象思维和抽象思维。但高三学生复习本节 知识点时，对于积分的推导过程不必太关注，但对 电场、电势推导的结论、图景要作为高考必备知识 点给予特别记忆和储存，以达到在高考时节省用在 选择题中时间的目的。参考书目：1、赵凯华、陈熙谋电磁学1985年6 月第二版高等教育出版社2、普通高中课程标准实验教材物理31 2004年5月第一版人民教育出版社 联系方式：单位：南通市启秀中学物理学科 王峰Post:226001Tele宅）（0） mail:nwang