二次函数的最值问题

1、 .wd.典型中考题有关二次函数的最值屠园实验 周前猛一、选择题1 二次函数y=ax-12+b有最小值 1，那么a与b之间的大小关( )A. a<b B.a=b C a>b D不能确定答案：C2当2xl时，二次函数y=-x-m2+m2+1有最大值4，那么实数m的值为 A、-B、C、D或-答案：C当2xl时，二次函数y=-x-m2+m2+1有最大值4，二次函数在2xl上可能的取值是x=2或x=1或x=m.当x=2时，由y=-x-m2+m2+1解得m=-，此时，它在2xl的最大值是，与题意不符.当x=1时，由y=-x-m2+m2+1解得m=2，此时y=-x-22+5，它在2xl的最大值

2、是4，与题意相符.当x= m时，由4=-x-m2+m2+1解得m=，当m=此时y=-x+2+4.它在2xl的最大值是4，与题意相符；当m=，y=-x-2+4它在2xl在x=1处取得，最大值小于4，与题意不符.综上所述，实数m的值为.应选C3 0x，那么函数y=-2x2+8x-6的最大值是 A -10.5 B.2 C . -2.5 D. -6答案：C解：y=-2x2+8x-6=-2x-22+2该抛物线的对称轴是x=2，且在x2上y随x的增大而增大又0x ，当x=时，y取最大值，y最大=-2-22+2=-2.5应选：C4、关于x的函数.以下结论：存在函数，其图像经过1,0点；函数图像与坐

3、标轴总有三个不同的交点；当时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；假设函数有最大值，那么最大值必为正数，假设函数有最小值，那么最小值必为负数。真确的个数是 A,1个 B、2个 C 3个 D、4个答案：B分析：将1，0点代入函数，解出k的值即可作出判断；首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假；根据二次函数的增减性，即可作出判断；当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k0时，函数为抛物线，求出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断.解：真，将1，0代入可得：2k-4k+1-k+1=0，解得：k=0运用方程思想；假，反例：k=0时，只有两个交点运用举反例的方法；假，如k=1，&

4、#160;，当x1时，先减后增；运用举反例的方法；真，当k=0时，函数无最大、最小值；k0时，y最=，当k0时，有最小值，最小值为负；当k0时，有最大值，最大值为正运用分类讨论思想二、填空题：1、如图，；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，那么矩形PNDM的面积最大值是答案：122、直角三角形两直角边的和等于8，两直角边各为时，这个直角三角形的面积最大，最大面积是答案：4、4，8解：设直角三角形得一直角边为x，那么，另一边长为8-x；设其面积为S.S= x·(8-x)(0<x<8).配方得S=-

5、 (x2-8x)=- (x-4)2+8当x=4时，S最大=8.及两直角边长都为4时，此直角三角形的面积最大，最大面积为8.3、函数的最大值与最小值分别是答案：2,0解：最小值为0，当4x-x2取最大值时最大，即x=2时，最大为4，所以，当x=0时，y最大值为2，当x=2时，y取最小值为04、二次函数y=x2+2x+a 0x1的最大值是3，那么a的值为答案：0解：二次函数y=x2+2x+a对称轴为x=-1，当0x1时y随x的增大而增大，当x=1时最大值为3，代入y=x2+2x+a得a=0.5、如图，在ABC中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB、AC上分别取点D、E，使线段DE将ABC分

6、成面积相等的两局部，那么这样线段的最小长度三、解答题：1某产品第一季度每件本钱为元，第二、第三季度每件产品平均降低本钱的百分率为 请用含的代数式表示第二季度每件产品的本钱； 如果第三季度该产品每件本钱比第一季度少元，试求的值 该产品第二季度每件的销售价为元，第三季度每件的销售价比第二季度有所下降，假设下降的百分率与第二、第三季度每件产品平均降低本钱的百分率一样，且第三季度每件产品的销售价不低于元，设第三季度每件产品获得的利润为元，试求与的函数关系式，并利用函数图象与性质求的最大值注：利润销售价本钱解：1 解得 3解得而， 而 当时，利用二次函数的增减性，随的增大而增大，而，当时，最大值18元说

7、明：当自变量取值范围为体体实数时，二次函数在抛物线顶点取得最值，而当自变量取值范围为某一区间时，二次函数的最值应注意以下两种情形：假设抛物线顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值。假设抛物线的顶点不在该区间内，那么区间两端点所对应的二次函数的值为该函数的最值。2、如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.求二次函数的解析式；在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；在抛物线上是否存在点Q，使QAB与ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由解：1设二次函数的解析式为：y=axh2+k顶点C的横

8、坐标为4，且过点0，y=ax42+k，=16a+k又对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6A1，0，B7，00=9a+k由解得a=，k=二次函数的解析式为：y=x422点A、B关于直线x=4对称PA=PBPA+PD=PB+PDDB当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值DB与对称轴的交点即为所求点P设直线x=4与x轴交于点MPMOD，BPM=BDO，又PBM=DBOBPMBDO点P的坐标为4，3由1知点C4，又AM=3，在RtAMC中，cotACM=，ACM=60°，AC=BC，ACB=120°当点Q在x轴上方时，过Q作QNx轴于N如果AB=BQ，由ABCABQ有

9、BQ=6，ABQ=120°，那么QBN=60°QN=3，BN=3，ON=10，此时点Q10，如果AB=AQ，由对称性知Q2，当点Q在x轴下方时，QAB就是ACB， 此时点Q的坐标是4，经检验，点10，与2，都在抛物线上综上所述，存在这样的点Q，使QABABC点Q的坐标为10，或2，或4， 3、如图，抛物线经过三点 1求出抛物线的解析式；2P是抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？假设存在，请求出符合条件的点P的坐标；假设不存在，请说明理由；3在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求出点D的坐标解：1该抛物线过点C

10、0，-2，可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx-2，将A4，0，B1，0代入，得， 解得， 此抛物线的解析式为； 2存在， 如图，设P点的横坐标为m，那么P点的纵坐标为 ，当1m4时，AM=4-m，COA=PMA=90°， 当时，APMACO，即4-m=2 ， 解得m1=2，m2=4舍去，P2，1；当时，APMCAO，即，解得m1=4，m2=5均不合题意，舍去，当1m4时，P2，1，类似地可求出当m>4时，P5，-2，当m<1时，P-3，-14，综上所述，符合条件的点P为2，1或5，-2或-3，-14； 3如图，设D点的横坐标为t0t4，那么D点的纵坐标为，过D作y 轴

11、的平行线交AC于E，由题意可求得直线AC的解析式为， E点的坐标为， 当t=2时，DAC的面积最大， D2，1。4如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，线段EF在对角线AC上，EGAD，FHBC，垂足分别是G，H，且EG+FH=EF1求线段EF的长；2设EG=x，AGE与CFH的面积和为S，写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出S的最小值5如图，点C是线段AB上的任意一点(C点不与A、B点重合)，分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N(1)求证：MNAB；(2)假设AB的长为l0cm，当点C在线段A

12、B上移动时，是否存在这样的一点C，使线段MN的长度最长?假设存在，请确定C点的位置并求出MN的长；假设不存在，请说明理由1由题中条件可得ACEDCB，进而得出ACMDCN，即CM=CN，MCN是等边三角形，即可得出结论；2可先假设其存在，设AC=x，MN=y，进而由平行线分线段成比例即可得出结论解答1证明：ACD与BCE是等边三角形，AC=CD，CE=BC，ACE=BCD，在ACE与DCB中，AC=CDACE=BCDCE=BCACEDCBSAS，CAE=BDC，在ACM与DCN中，CAE=BDCAC=CDACM=DCNACMDCN，CM=CN，又MCN=180°-60°-6

13、0°=60°，MCN是等边三角形，MNC=NCB=60°即MNAB；2解：假设符合条件的点C存在，设AC=x，MN=y，6、如图，在中，°，, 的面积为，点为边上的任意一点(不与、重合)，过点作，交于点设以为折线将翻折，所得的与梯形重叠局部的面积记为y.1用x表示ADE的面积;2求出时y与x的函数关系式；3求出时y与x的函数关系式；4当取何值时，的值最大？最大值是多少？解:(1) DEBCADE=B,AED=CADEABC 即(2)BC=10 BC边所对的三角形的中位线长为5当0 时 310时，点A'落在三角形的外部,其重叠局部为梯形SA'

14、;DE=SADE=DE边上的高AH=AH'=由求得AF=5A'F=AA'-AF=x-5由A'MNA'DE知4在函数中0x5当x=5时y最大为： 在函数中当时y最大为：当时，y最大为：7、如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与Y轴交于C点，ABOCDEMXY且A1，0。1求抛物线的解析式及顶点的坐标2判断的形状，证明你的结论。3点m，0是轴上的一个动点，当+的值最小时，求m的值解：1将A1，0代入得，所以抛物线的解析式配方得：，所以顶点D2求出AC=，BC=，而AB=5，故为RT 3作点C关于X轴的对称点E，0，连接DE交X轴于点M，通过两点式可求得直线DE

15、的解析式：，当=0时，解得=，0即m=8如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6a0相交于A，和B4，m，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PCx轴于点D，交抛物线于点C1求抛物线的解析式；2是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，假设存在，求出这个最大值；假设不存在，请说明理由；3求PAC为直角三角形时点P的坐标分析：1B4，m在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值2要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而

16、得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值3当PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解解：1B4，m在直线线y=x+2上，m=4+2=6，B4，6，A，、B4，6在抛物线y=ax2+bx+6上，=2a+b+6， 6=16a+4b+6解得a=2，b=-8抛物线的解析式为y=2x2-8x+62设动点P的坐标为n，n+2，那么C点的坐标为n，2n2-8n+6，PC=n+2-2n2-8n+6，=-2n2+9n-4，=-2n-2+，PC0，当n=时，线段PC最大且为3PAC为直角三角形，i假设点P为直角顶点，那么APC=90°由题意易知，PCy轴，APC=45°，因此这种情形不存在；ii假设点A为直角顶点，那么PAC=90°如答图3-1，过点A，作ANx轴于点N，那么ON=，AN=过点A作AM直线AB，交x轴于点M，那么由题意易知，AMN为等腰直角三角形，MN=AN=，OM=ON+MN=+=3，M3，0设直线AM的解析式为：y=kx+b，那么：k+b= ，3k+b=0，解得k