分类计数原理和分步计数原理(1)

1、分类计数原理和分类计数原理和分步计数原理分步计数原理(1)江苏省兴化楚水实验学校江苏省兴化楚水实验学校 徐信生徐信生 cs_；cs_*一、问题引入：一、问题引入：问题问题1 1 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有汽车，一天中，火车有3 3班，汽车有班，汽车有2 2班，那么班，那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？多少种不同的走法？火车2火车3汽车1汽车2 因为一天中乘火车有因为一天中乘火车有3 3种走法，种走法，乘汽车有乘汽车有2 2种走法，每一种走法都种走法，每一种走法都可以

2、从甲地到乙地，所以共有可以从甲地到乙地，所以共有 3 + 2 = 53 + 2 = 5种不同的走法种不同的走法. .火车1甲甲乙乙问题问题2 2 一个书架共有三层，第一个书架共有三层，第1层放有层放有4本本不同的计算机书，第不同的计算机书，第2层放有层放有3本不同的文本不同的文艺书，第艺书，第3层放有层放有2本不同的体育书本不同的体育书. 从书从书架上任取架上任取1本书本书，有多少种不同的取法？，有多少种不同的取法？分析分析: 分三类：分三类： 第一类：从第第一类：从第1层取，有层取，有4种方法种方法; 第二类：从第第二类：从第2层取，有层取，有3种方法种方法; 第三类：从第第三类：从第3层取

3、，有层取，有2种方法种方法. 所以从所以从书架上任取书架上任取1本书本书共有共有4+3+ 2 =9 种不同的取法种不同的取法.一般地，有如下原理：一般地，有如下原理：分类计数原理分类计数原理 完成一件事，有完成一件事，有n类办法，在类办法，在第第1类办法中有类办法中有 种不同方法，在第种不同方法，在第2类办法中类办法中有有 种不同方法，种不同方法，在第在第n类办法中有类办法中有 种种不同方法，那么完成这件事共有不同方法，那么完成这件事共有种不同的方法种不同的方法.nmmmN211mnm2m问题问题3 3 从甲地到乙地，要从甲地选乘火车到丙从甲地到乙地，要从甲地选乘火车到丙地，再于次日从丙地选乘

4、汽车到乙地，一天中，地，再于次日从丙地选乘汽车到乙地，一天中，火车有火车有3 3班，汽车有班，汽车有2 2班，那么两天中，从甲地班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？到乙地共有多少种不同的走法？火车2火车3汽车2火车1甲甲丙丙乙乙汽车1具体走法：具体走法：从甲地乘火车从甲地乘火车1到丙地再于次日乘汽车到丙地再于次日乘汽车1到乙地；到乙地；从甲地乘火车从甲地乘火车2到丙地再于次日乘汽车到丙地再于次日乘汽车1到乙地；到乙地；从甲地乘火车从甲地乘火车3到丙地再于次日乘汽车到丙地再于次日乘汽车1到乙地；到乙地；从甲地乘火车从甲地乘火车1到丙地再于次日乘汽车到丙地再于次日乘汽车2到乙地；到乙

5、地；从甲地乘火车从甲地乘火车2到丙地再于次日乘汽车到丙地再于次日乘汽车2到乙地；到乙地；从甲地乘火车从甲地乘火车3到丙地再于次日乘汽车到丙地再于次日乘汽车2到乙地到乙地 .问题问题4 4 一个书架共有三层，第一个书架共有三层，第1层放有层放有4本不同的计算机书，第本不同的计算机书，第2层放有层放有3本不同本不同的文艺书，第的文艺书，第3层放有层放有2本不同的体育书本不同的体育书.从书架的第从书架的第1、2、3层各取层各取1本书本书，有多，有多少种不同的取法？少种不同的取法？分析：分三步：分析：分三步： 第一步：从第第一步：从第1层取，有层取，有4种方法；种方法； 第二步：从第第二步：从第2层取

6、，有层取，有3种方法；种方法； 第三步：从第第三步：从第3层取，有层取，有2种方法。种方法。 所以从书架的第所以从书架的第1、2、3层各取层各取1本本书，共有书，共有43 2 =24 种不同的取法种不同的取法一般地，有如下原理：一般地，有如下原理：分步计数原理分步计数原理 完成一件事，需要分完成一件事，需要分n个步骤，个步骤，做第做第1步有步有 种不同方法，做第种不同方法，做第2步有步有 种不同种不同方法，方法，做第做第n步有步有 种不同方法，那么完种不同方法，那么完成这件事共有成这件事共有种不同的方法种不同的方法.nmmmN211mnm2m二、知识新授：二、知识新授：分类计数原理分类计数原理

7、 完成一件事，有完成一件事，有n类办法，在第类办法，在第1类类办法中有办法中有 种不同方法，在第种不同方法，在第2类办法中有类办法中有 种不同种不同方法，方法，在第在第n类办法中有类办法中有 种不同方法，那么完种不同方法，那么完成这件事共有：成这件事共有： 种不同的种不同的方法方法.nmmmN211mnm2m对于分类计数原理，我们应注意以下几点：对于分类计数原理，我们应注意以下几点：（1 1）从分类计数原理中可以看出，各类之间相互独立，都能）从分类计数原理中可以看出，各类之间相互独立，都能完成这件事，且各类方法数相加，所以分类计数原理又称加法原完成这件事，且各类方法数相加，所以分类计数原理又称

8、加法原理；理；（2 2）分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类的标准，）分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类的标准，然后在确定的分类标准下进行分类；然后在确定的分类标准下进行分类；（3 3）完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属）完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的方法于不同两类的两种方法都是不同的方法. .分步计数原理分步计数原理 完成一件事，需要分完成一件事，需要分n个步骤，做第个步骤，做第1步有步有 种不同方法，做第种不同方法，做第2步有步有 种不同方法，种不同方法，做第做第n步有步有 种不同方法，那么完成这件事共有种不同方法，那

9、么完成这件事共有种不同的方法种不同的方法.nmmmN211mnm2m对于分步计数原理，我们也应注意以下几点：对于分步计数原理，我们也应注意以下几点：（1 1）分步计数原理与）分步计数原理与“分步分步”有关，各个步骤相互依存，有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤完成了，这件事才算完成，且各步骤方法数相乘只有各个步骤完成了，这件事才算完成，且各步骤方法数相乘，所以分步计数原理又称乘法原理；，所以分步计数原理又称乘法原理；（2 2）分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准；）分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准；（3 3）分步时还要注意满足完成一件事必须并且只需连续完）分步时还要注意满足

10、完成一件事必须并且只需连续完成成n n个步骤后这件事才算完成个步骤后这件事才算完成. .点评点评: : 我们可以把加法原理看成我们可以把加法原理看成“并联电路并联电路”; ;乘法乘法原理看成原理看成“串联电路串联电路”. . 如图如图: :ABm1m2mn.ABm1m2mn 相同点：相同点：分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数的问题一件事的不同方法的种数的问题. .不同点：不同点：三、例题讲解：三、例题讲解：例例1 书架的第书架的第1层放有层放有4本不同的计算机书，第本不同的计算机书，第2层放有层放有3本不同的本不同的文艺书，第文艺

11、书，第3层放有层放有2本不同的体育书本不同的体育书. 从书架上任取从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？本书，有多少种不同的取法？ 从书架的第从书架的第1、2、3层各取层各取1本书，有多少种不同的取法？本书，有多少种不同的取法？ 解：解： 从从书架上任取从从书架上任取1本书，有本书，有3类办法：第类办法：第1类办法是从第类办法是从第1层取层取1本计算机书，有本计算机书，有4种方法；第种方法；第2类办法是从第类办法是从第2层取层取1本文艺本文艺书，有书，有3种方法；第种方法；第3类办法是从第类办法是从第3层取层取1本体育书，有本体育书，有2种方法种方法 .根据分类计数原理，不同的取法种数是根据

12、分类计数原理，不同的取法种数是)(9234321种mmmN 从书架的第从书架的第1、2、3层各取层各取1本书，可以分本书，可以分3个步骤：第个步骤：第1步从步从第第1层取层取1本计算机书，有本计算机书，有4种方法；第种方法；第2步从第步从第2层取层取1本文艺书，本文艺书，有有3种方法；第种方法；第3步从第步从第3层取层取1本体育书，有本体育书，有2种方法种方法 .根据分步计根据分步计数原理，不同的取法种数是数原理，不同的取法种数是)(24234321种mmmN点评：点评：要正确分类，合理分步要正确分类，合理分步分类用加法，分类用加法，分步用乘法分步用乘法例例2 一种号码锁有一种号码锁有4个拨号

13、盘，每个拨号盘上有个拨号盘，每个拨号盘上有从从0到到9共共10个数字，这个数字，这4个拨号盘可以组成多少个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码？个四位数字的号码？ 解：完成拨号需分解：完成拨号需分4个步骤：第一步从第个步骤：第一步从第1个拨号个拨号盘上拨一个数，共有盘上拨一个数，共有10种拨法；第二步从第种拨法；第二步从第2个拨号个拨号盘上拨一个数，共有盘上拨一个数，共有10种拨法；第三、第四步同第一、种拨法；第三、第四步同第一、第二步也各有第二步也各有10种拨法，由分步计数原理可知共有种拨法，由分步计数原理可知共有)(10000101010104321种mmmmN拨号方法拨号方法.思考： 如果

14、一个密码锁有如果一个密码锁有5个、个、8个、个、10个拨号盘，个拨号盘，可分别组成多少个密码数字？可分别组成多少个密码数字？ 例3、如图如图, ,该电路该电路, ,从从A A到到B B共有多少共有多少条不同的线条不同的线路可通电？路可通电？AB解解: : 从总体上看由从总体上看由A A到到B B的通电线路可分三类的通电线路可分三类 第一类第一类, m, m1 1 = 3 = 3 条；条； 第二类第二类, m, m2 2 = 1 = 1 条；条； 第三类第三类, m, m3 3 = 2 = 22 = 4 2 = 4 条；条； 所以所以, , 根据加法原理根据加法原理, , 从从A A到到B B共

15、有共有 N = 3 + 1 + 4 = 8 N = 3 + 1 + 4 = 8 条不同的线路可通电条不同的线路可通电. .四、课堂练习：四、课堂练习：1、课本、课本 P82 练习练习No.1、2、3、4；2、某中学的一栋、某中学的一栋5层教学楼共有层教学楼共有3处楼梯，问从处楼梯，问从1楼到楼到5楼共有多少种不同的走法？楼共有多少种不同的走法？3、一个口袋内装有、一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同，从两个小球，所有这些小球的颜色互不相同，从两个口袋内任取一个小球，共有个口袋内任取一个小球，共有 种不同的取法种不同的取法.4、由、

16、由1至至5这这5个数字可以组成个数字可以组成 个没有重复数个没有重复数字的三位数字的三位数.433333N960拓展性练习：拓展性练习：1、用、用1，5，9，13中任意一个数作分子，中任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可构造中任意一个数作分母，可构造 个不个不同的真分数？同的真分数？2、从含、从含3个元素的集合到含个元素的集合到含4个元素的集合的映个元素的集合的映射有射有 个个.3、有不同的中文书、有不同的中文书7本，不同的英文书本，不同的英文书5本，不本，不同的日文书同的日文书4本，现要从中取不同文字的书两本，本，现要从中取不同文字的书两本，有有 种不同的取法种不同的取

17、法.N=4+3+2+1=10.10N=444=64.64N=75+74+54=83.83五、课堂小结：五、课堂小结： 完成一件事有多少种不同的方法，完成一件事有多少种不同的方法，先看完成这件事情的一种方法是怎样的，先看完成这件事情的一种方法是怎样的，是要分几类来完成，还是可以分几步来完是要分几类来完成，还是可以分几步来完成，从而判断是用分类计数原理还是用分成，从而判断是用分类计数原理还是用分步计数原理也就不难了；步计数原理也就不难了； 有些较复杂的问题可能不是简单有些较复杂的问题可能不是简单的的“分类分类”或或“分步分步”就可以解决的，而就可以解决的，而要把两者结合起来考虑要把两者结合起来考虑

18、. .1)、分类计数原理、分类计数原理(加法原理加法原理)中的中的“分类分类”要全面要全面, 不能不能遗漏遗漏; 但也不能重复、交叉；但也不能重复、交叉；“类类”与与“类类”之间是并之间是并列的、互斥的、独立的，也就是说，完成一件事，每次列的、互斥的、独立的，也就是说，完成一件事，每次只能选择其中的一类办法中的某一种方法只能选择其中的一类办法中的某一种方法. 3)、在运用、在运用“分类计数原理、分步计数原理分类计数原理、分步计数原理”处理具处理具体应用题时，除要弄清是体应用题时，除要弄清是“分类分类”还是还是“分步分步”外，外，还要搞清楚还要搞清楚“分类分类”或或“分步分步”的具体标准的具体标准. 在在“分分类类”或或“分步分步