有心力场中圆形轨道稳定性的线性分析

1、有心力场中圆形轨道稳定性非线性近似分析摘 要本文利用微扰法研究质点在有心力作用下圆形轨道的稳定性问题。通过对比分析了一阶与二阶两种微扰近似条件下质点运动轨道的相图。在引力与距离n次方成反比的有心力场中,影响圆形轨道稳定性的因素有幂次n、轨道初始半径及微扰强度。当n趋近于2时,圆形轨道抗扰动能力比较强; 当n确定时,轨道半径越大的圆形轨道,所能承受的微扰越小。并从粒子的运动方程出发,利用非线性动力学的方法分析了行星在有心力场中运行轨道的稳定性。并指出，当粒子在与位置矢量n次方成反比的有心力的作用下，其运行轨道的稳定条件是n小于三。关键词：稳定性；微扰法；相图；运行轨道NONLINEAR ANAL

2、YSIS ON STABILITY OF A CIRCULAR ORBIT IN THE CENTRAL FORCE FIELDABSTRACTIn this paper，the perturbation method is used to study the stability problem of a mass particle forced by a central force in a circular orbit. By comparative analysis, phase diagram of the perturbation orbit of mass is performed

3、 under the conditions for the first-order and second-order perturbation approximations. In the central force field where the gravity is in inverse proportion to nth power of the modulus of situation vector, Influence factors on the stability of circular orbit are power index n，initial orbit radius a

4、nd the strength of the perturbation. When power index n tends to 2, the anti-disturbance capability of the circular orbit is strong. The larger the circular orbit radius is, for the same power index, the smaller perturbation the orbit can endure. Based on the basic motion equation, the stability of

5、the planet orbits in central force field is studied by using nonlinear dynamics method. It is indicated that the stability condition of planet orbits in the central force field is that n is smaller than three when particle is forced by the central force which is in inverse proportion to nth power of

6、 situation vector. Key words: stability; perturbation method; phase diagram; orbit stability目 录1前言-12线性稳定性分析和奇点的分类-221非线性方程的线性化和线性稳定性定理-2 22线性方程的解及其稳定性-3 23奇点（定点）的分类-43圆形轨道的稳定性-5 31圆形轨道的微扰微分方程-5 311取一阶微扰近似-5 312取二阶微扰近似-6 32有心力场中圆形轨道的稳定性分析-7 321当时的稳定性分析-7 322当时的稳定性分析-74行星轨道的稳定性分析-125结论-15参考文献-16致谢-17

7、1 前 言对于现行通用的理论力学教材中关于有心力场中圆形轨道稳定性的讨论，方法一般分为两类：第一类用有效势能法；第二类用比耐公式，然后归结为用线性近似方程判别稳定性。不管方法如何，这些文献都未涉及微扰大小对稳定性的影响。一般认为，当初始扰动过大，轨道不可能保持稳定。如果当圆形轨道取一阶微扰近似时的稳定性条件是什么？若当存在二阶微扰时，情况又如何呢？有心力场中圆形轨道稳定性又与哪些因素有关呢？这些结论又是否适用于行星轨道呢？本文将利用微扰法研究有心力场中圆形轨道稳定性的基础上，采用非线性近似，结合微扰相图，讨论了微扰大小对稳定性的影响，并从运动方程出发验证了此结论适用于行星轨道。弥补了其他文献讨

8、论上的不足。2 线性稳定性分析和奇点分类2.1 非线性方程的线性化和线性稳定性定理设为非线性方程的一个解。为研究此解的稳定性，令表示此解附近的另一解： （2.1） 称为参考点或参考解，相应的状态称为参考态，就是状态对参考态的偏离。为了分析定点（定态）的稳定性及在其邻域解的表现，通常都是取定点为参考点。 将式（2.1）代入方程 （2.2）并实行泰勒展开： （2.3）表示的二次和二次以上无穷小项，下标0表示在参考点处取值。由此得： （2.4）方程（2.4）也可写成矢量形式： （2.5）式（2.4）中： （2.6）式（2.5）中的系数矩阵（雅克比矩阵）是： （2.7）方程（2.4）或（2.5）就是非

9、线性方程（2.2）在参考点邻域的线性化方程。 线性稳定性定：如果非线性方程（2.2）的线性化方程（2.4）的定点是渐进稳定的，则参考点（态)是非线性方程的渐进稳定解；如果线性化方程的定点是不稳定的，则参考态也是非线性方程的不稳定解。2.2 线性方程的解及其稳定性为求线性方程（2.4）并分析其解的稳定性，先就简单而形象的n=2情形进行研究其结果不能推广到多变量的情形。当n=2时，方程（2.4）简化为： （2.8）通常方程（2.8）有如下形式的解： （2.9）是下述特征值方程的解： = 0 （2.10）或 T + = 0 （2.11）用和T分别表示方程(2.8)系数矩阵的行列式和迹 （2.12）T

10、 = + （2.13）方程（2.10）有两个解： = ， = （2.14）2.3 奇点（定点）的分类还可以根据和T取值不同从而特征跟取值也不同进一步对线性方程（2.4）的解和非线性方程的参考态定态或定点（奇点）进行分类：（1）情形 这时两个特征根和都是实的，而且符号相同。这样的定点（奇点）称为结点。T>0时它是不稳定结点，T<0时是稳定结点。凡是和小于零的奇点，因为指数为负的，导致趋于零（t），都是稳定的，反之是不稳定的。（2） 情形 这时两个特征根都是复数（），其虚部表示振荡过程（），实部（）则表示振荡的振幅。 时， ，振幅按指数形式增长，解或定点（奇点）便是不稳定的； 时， ，

11、振幅按指数形式衰减，解或定点便是稳定的。这样的定点称为焦点或螺线极点。因此焦点也有不稳定焦点和稳定焦点之分：（从而）时是不稳定焦点，（从而 ）时是稳定焦点.（3）情形 这时两特征根都是虚的，从而解是振荡的，其在相平面上的轨线是一些闭曲线，这时的定点（奇点）称为中心。（4）情形 这时两特征根都是实的，其中之一是正的，另一是负的，从而这种奇点在相平面上一个方向是不稳定的，另一方向是稳定的，相应的定点（奇点）称为鞍点。3 圆轨道的稳定性3.1 圆形轨道的微扰微分方程3.1.1 取一阶微扰近似地球绕太阳运行的轨道是接近于圆形的椭圆。我们知道，对圆形轨道来讲，r或为常数。由比耐公示可知，在有心力作用下，

12、对任何质点（或星体）来讲，如投掷（起始）速度的方向垂直于位矢，且满足 （3.1）的关系，则不论其半径为何，都将作圆形轨道的运动，式中为单位质量上所受的吸引力。现在我们要问，这种圆形轨道是稳定的还是不稳定的？这个问题在物理上是很重要的。因为自然界中微小扰动是经常存在的，它将破坏不稳定的圆形轨道，只有稳定的圆形轨道，才有机会继续下去。令及为某一圆形轨道的之值，显然 （3.2）为了研究扰动，我们令，式中及其微商均认为是很小的微量，把代入比耐公示中，得+ = （3.3）即引入微扰后轨道偏差的微分方程把式（3.3）的右边展为的幂级数，得= = = （3.4）又因为，即，则整理后为 （3.5）式中，下标0

13、表示当时所算出来的值。令，则 （3.6）取一阶微扰近似决定稳定性的方法，线性部分的特征方程 （3.7）当即时，解得为纯虚数，这表明奇点为中心。所以取一阶微扰近似可以得出时轨道是稳定的。3.1.2 取二阶微扰近似现对式（3.5）取二阶微扰近似，考虑引力与距离次方成反比的情况，即，则。则式（3.3）变为+=0 （3.8）式中，3.2 有心力场中圆形轨道的稳定性分析根据方程（3.8）进行如下两种情况的分析讨论.3.2.1 当时的稳定性分析当时，或.方程（3.8）退化为一阶微量下的方程.由第求解可知当时给出稳定轨道，当时给出不稳定轨道.若仅考虑在平方反比引力作用下，即，则时，微扰偏差的微分方程变为 +

14、=0 （3.9）做出此时的相图，如图1所示. 从相图可以看到每条轨线都是封闭的，这表明相应的运动具有周而复始的周期性，即在平方反比引力作用下，圆形轨道具有很强的稳定性.（图1） 微扰相图3.2.2 当时的稳定性分析当时，令，式（3.8）可化为 （3.10）令，则有,代入上式，有 （3.11）其中. 对式（3.11）积分，得 （3.12）其中为积分常数. 对式（3.12）分离变量，可得到通积分 （3.13）原则上通过对式（3.13）的分析可以得到轨道稳定性条件. 考虑引力与距离次方成反比的情况，即. 令 （3.14）则由 （3.15）得的驻点为，由 （3.16）得，. （1）当2时的微扰相图分析

15、当2时，0，0，根据极值的判定法则知在处取得极大值，在处取得极小值. 作出此时式（3.12）的相图如图2所示. （图2） 的相图图中A点所在的临界封闭轨道满足，则；由得A点坐标. 可以看到，在该轨线内部的轨线是封闭的，对应稳定轨道；而该轨线以外的轨线都是开放的，对应不稳定轨道. 即只有当时轨道才可能是稳定的，由此得到.（2） 当23时的微扰相图分析当23时，0，0，根据极值的判定法则知在处取得极大值，在处取得极小值.作出此时式（3.12）的相图如图3所示 （图3）时的相图图中点所在的临界封闭轨道满足，;由得点坐标. 可以看到，在该封闭轨线内部，轨道一直是稳定的，而该封闭轨线以外的轨道都不再稳定

16、. 即只有当时轨道才可能是稳定的，由此得到.（3）当3时的微扰相图分析当3时，0，0，根据极值的判定法则知在处取得极小值，在处取得极大值.作出式（3.12）的相图如图4所示. （图4）的相图图中点所在的临界封闭轨线满足，则；由得点坐标. 可以看到，在该封闭轨线内部，轨道一直是稳定的，而该封闭轨线以外的轨道都不再稳定. 即只有当时轨道才可能是稳定的，由此得到0综合考虑时的情况，可以定量的得出微扰大小对圆形轨道稳定性的影响. 即当 （3.19）时轨道才可能是稳定的.根据式(3.19)可以作出微扰临界值与圆形轨道初始半径和n的关系大致如图5所示,图中上下两曲线间的微扰值范围即是该圆形轨道稳定的必要条

17、件. 从图中可以很容易的看出,当n2时,圆形轨道抗扰动能力比较强;当n背离2时,圆形轨道抗扰动能力逐渐减弱,但在n = 3时轨道稳定性存在突变;对一定的有心力场,即n确定时,一般轨道半径越大的圆形轨道,所能承受的微扰越小. （图5）微扰与值关系曲线4 行星轨道的稳定性分析行星在有心力的作用下绕太阳作稳定的轨道运动. 所谓轨道的稳定性是指系统的初始条件发生微小变化或系统受到一个短暂扰动时,使系统偏离原轨道 变为r ,如果r 始终保持在 附近作微小振动,则这种轨道是稳定的.也可从数学上证明行星轨道的稳定性。接着我们将从粒子的基本运动方程出发,利用非线性动力学的方法,证明行星在有心力的作用下运行轨道

18、的稳定性.设质量为m 的粒子,在有心力场中所受的力为F = F( r) ,其中F 的大小只依赖于r ,它的方向与矢径 的方向一致或相反. 若取平面极坐标, 粒子的运动方程为 （4.1） （4.2）其中（4.2）式可以写为 （4.3）因粒子的质量m 为常量,故上式积分得 （4.4）式中h 为积分常数. 将式(4.4) 代入式(3.1) 得 （4.5）显然, 式(4.5) 是一个二阶非线性方程. 令, 则式(4.5) 可化为 ， （4.6）若令 ，则系统的平衡点为 ， （4.7）所谓系统的平衡点是相图上的一些特殊点, 在数学上称为奇点. 通过对奇点性质的讨论,可以了解系统在奇点附近相轨线的结构.

19、在平衡点,系统方程的雅可比矩阵是 （4.8） 式中设雅可比矩阵的本征值和本征函数分别为和，则有 （4.9） 即 （4.10）由此可解得 （4.11）根据平衡点稳定性的定义,只有当 时,与平衡点对应的相轨道才是结构稳定的, 对应的运动才是实际可观测的. 结构稳定的相空间轨道对初值和参量的扰动是不敏感的. 这样的平衡点称为中心点,系统将绕中心点作周期运动。设，由此可得 （4.12）我们考虑引力与距离的次方成反比的情况，即设 （4.13）由式（4.12）得 （4.14）在平衡点处满足，于是得 （4.15）将（4.15）代入（4.14）得时才是稳定的。故粒子在引力式(4.13)的作用下作轨道运动,只有当n < 3 时才是稳定的. 这与本文第二部分的结果是一致的.万有引力是平方反比引力( n = 2) , 因此, 行星在万有引力作用下的轨道运动是稳定的. 5 结 论通过上述分析讨论,可得出：(1) 在引力与距离n次方成反比的有心力场中,影响圆形轨道稳定性的因素有n、轨道初始半径及微扰大小；(2) 当n2时,圆形轨道抗扰动能力比较强; n确定时,一般轨道半径越大的圆形轨道,所能承受的微扰越小；(3)有心力场中行星