恒成立问题题型分析及经典习题

1、恒成立题型及解题方法一 一次函数型：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a0),若y=f(x)在m,n内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于）或）亦可合并定成同理，若在m,n内恒有f(x)<0，则有nmoxynmoxy例、对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围。二次函数型1、由二次函数的性质求参数的取值范围例、若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围.2、转化为二次函数的最值求参数的取值范围例1、已知二次函数满足，而且，请解决下列问题（1）求二次函数的解析式。（2）若在区间上恒成立 ，求的取值范围。例2、

2、设f(x)=x2-2ax+2,当x-1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。三.变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。例、已知当xR时，不等式a+cos2x<5-4sinx+恒成立，求实数a的取值范围。四.根据函数的奇偶性、周期性等性质若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x ,f(-x)=-f(x)，(f(-x)=f(x)恒成立若函数y=f(x)的周期为T，则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。例、若f(

3、x)=sin(x+)+cos(x-)为偶函数，求的值。五.直接根据图象判断若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。例1、当x(1,2)时，不等式(x-1)2<logax恒成立，求a的取值范围。例2、已知关于x的方程lg(x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0有唯一解，求实数a的取值范围。训练题组1、在ABC中，已知恒成立，求实数m的范围。2、若当P(m,n)为圆上任意一点时，不等式恒成立，则c的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、3、设其中，如果时，恒有意义，求的取值

4、范围。4、 设函数是定义在上的增函数，如果不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围。5、 已知当xR时，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立，求实数a的取值范围。6、已知不等式： 对一切大于1的自然数n恒成立，求实数a的范围。7、设 , ,若恒有成立,求实数的取值范围.8、已知向量=(x2,x+1), =(1-x,t) 若函数f(x)·在区间(1，1)上是增函数，求t的取值范围。9、设函数（）若，求的单调区间；（）若当0时0，求的取值范围10、已知函数.()当时，讨论的单调性；（）设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.11、已知函数。（I）讨论函数的单调性；（II）设

5、.如果对任意，求的取值范围。12、设函数，其中（1）当时，求曲线在点处的切线的斜率（2）求函数的单调区间与极值（3）已知函数有三个互不相同的零点，且，若对任意的恒成立，求的取值范围13、设函数。（）求函数的单调区间； （）已知对任意成立，求实数的取值范围。14、已知实数，且满足以下条件：、，有解；、，；求实数的取值范围课后作业1、 已知时，不等式恒成立，求的取值范围。2、 若时，不等式恒成立，求的取值范围。3、 若不等式对满足的所有都成立，求x的范围。4、 若不等式对满足的所有都成立，求的取值范围。6、若不等式在内恒成立，求实数的取值范围。7、已知函数的值域为R，则实数的取值范围是 。8、已知

6、函数时恒成立，求实数的取值范围。9、已知函数的值域，函数，使得成立，则实数的取值范围是 。10、对任意，不等式恒成立，求的取值范围。函数上为增函数，则实数m的取值范围是 .11、若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_.12、若函数的定义域为R，则的取值范围是 。13、在R上定义运算：xyx(1y)若不等式(xa)(xa)<1对任意实数x成立，则 ( )(A)1<a<1 (B)0<a<2 (C) (D) 14、设函数，其中若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围部分答案：训练9、解：（）时，。当时;当时，;当时，。故在，单调增加，在（-1，0）单调减少。（

7、）。令，则。若，则当时，为减函数，而，从而当x0时0，即0.若，则当时，为减函数，而，从而当时0，即0. 综合得的取值范围为训练10：解析：()，令（1）当时，当,函数单调递减；当，函数单调递增.(2)当时，由，即，解得.当时，恒成立，此时，函数单调递减；当时，时，函数单调递减；时，函数单调递增；时，函数单调递减.当时，当,函数单调递减；当，函数单调递增.综上所述：当时，函数在单调递减，单调递增；当时，恒成立，此时，函数在单调递减；当时，函数在单调递减，单调递增，单调递减.（）当时，在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意，有，又已知存在，使，所以，（）又当时，与（）矛盾；当

8、时，也与（）矛盾；当时，.11：解：（）的定义域为（0，+）. .当时，0，故在（0，+）单调增加；当时，0，故在（0，+）单调减少；当-10时，令=0，解得.则当时，0；时，0.故在单调增加，在单调减少.（）不妨假设，而-1，由（）知在（0，+）单调减少，从而 ，等价于， 令，则等价于在（0，+）单调减少，即 . 从而 故a的取值范围为（-，-2. 12：【答案】（1）1（2）在和内减函数，在内增函数。函数在处取得极大值，且=函数在处取得极小值，且=【解析】解：当所以曲线处的切线斜率为1.（2）解：，令，得到因为当x变化时，的变化情况如下表：+0-0+极小值极大值在和内减函数，在内增函数。函数在处取得极大值，且=函数在处取得极小值，且=（3）解：由题设， 所以方程=0由两个相异的实根，故，且，解得因为若，而，不合题意若则对任意的有则又