曲线积分与曲面积分解题方法归纳

1、第十一章解题方法归纳一、曲线积分与曲面积分的计算方法1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下：(1) 利用性质计算曲线积分和曲面积分.(2) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分(3) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分.(4) 利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分.(5) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分.(6) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分.2. 在具体计算时，常用到如下一些结论：（1）若积分曲线关于轴对称，则其中是在右半平面部分.若积分曲线关于轴对称，则其中是在上半平面部分.（2）若空间积分曲线关于平面对称，则 .（3）若积分曲面关于面对称，则其中是在面上方部

2、分.若积分曲面关于面对称，则其中是在面前方部分.若积分曲面关于面对称，则其中是在面右方部分.（4）若曲线弧，则若曲线弧（极坐标），则若空间曲线弧，则（5）若有向曲线弧，则若空间有向曲线弧，则（6）若曲面，则 其中为曲面在面上的投影域.若曲面，则其中为曲面在面上的投影域.若曲面，则其中为曲面在面上的投影域.（7）若有向曲面，则（上“+”下“-”）其中为在面上的投影区域.若有向曲面，则（前“+”后“-”）其中为在面上的投影区域.若有向曲面，则（右“+”左“-”）其中为在面上的投影区域. （8）与路径无关（为内任一闭曲线）（存在）其中是单连通区域，在内有一阶连续偏导数.（9）格林公式其中为有界闭区域

3、的边界曲线的正向，在上具有一阶连续偏导数.（10）高斯公式或 其中为空间有界闭区域的边界曲面的外侧，在上具有一阶连续偏导数，为曲面在点处的法向量的方向余弦. （11）斯托克斯公式其中为曲面的边界曲线，且的方向与的侧（法向量的指向）符合右手螺旋法则，在包含在内的空间区域内有一阶连续偏导数.1. 计算曲线积分或曲面积分的步骤：（1）计算曲线积分的步骤： 1）判定所求曲线积分的类型（对弧长的曲线积分或对坐标的曲线积分）； 2）对弧长的曲线积分，一般将其化为定积分直接计算；对坐标的曲线积分： 判断积分是否与路径无关，若积分与路径无关，重新选取特殊路径积分； 判断是否满足或添加辅助线后满足格林公式的条件

4、，若满足条件，利用格林公式计算（添加的辅助线要减掉）； 将其化为定积分直接计算. 对空间曲线上的曲线积分，判断是否满足斯托克斯公式的条件，若满足条件，利用斯托克斯公式计算；若不满足，将其化为定积分直接计算.（2）计算曲面积分的步骤：1）判定所求曲线积分的类型（对面积的曲面积分或对坐标的曲面积分）； 2）对面积的曲面积分，一般将其化为二重积分直接计算；对坐标的曲面积分： 判断是否满足或添加辅助面后满足高斯公式的条件，若满足条件，利用高斯公式计算（添加的辅助面要减掉）； 将其投影到相应的坐标面上，化为二重积分直接计算.例1 计算曲线积分，其中为取逆时针方向. 解 由于积分曲线关于轴、轴均对称，被积

5、函数对、均为偶函数，因此故 方法技巧 对坐标的曲线积分的对称性与对弧长的曲线积分对称性不同，记清楚后再使用.事实上，本题还可应用格林公式计算.例2 计算曲面积分，其中为球面. 解 由积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性知又由轮换对称性知故 方法技巧 对面积的曲面积分的对称性与对坐标的曲面积分的对称性不同，理解起来更容易些.若碰到积分曲面是对称曲面，做题时可先考虑一下对称性.例3 计算曲面积分，其中为球面.解 方法技巧 积分曲面是关于对称的，被积函数是的奇函数，因此例4 计算曲线积分，其中为圆周的逆时针方向. 解法1 直接计算. 将积分曲线表示为参数方程形式代入被积函数中得 解法2 利用格林公式其

6、中，故方法技巧 本题解法1用到了定积分的积分公式： 解法2中，一定要先将积分曲线代入被积函数的分母中，才能应用格林公式，否则不满足在内有一阶连续偏导数的条件.例5 计算曲线积分，其中为沿由点到点的曲线弧. 解 直接计算比较困难.由于 ，因此在不包含原点的单连通区域内，积分与路径无关.取圆周上从到点的弧段代替原弧段，其参数方程为：，代入被积函数中得 方法技巧 本题的关键是选取积分弧段，既要保证简单，又要保证不经过坐标原点.例6 计算曲面积分，其中为的法向量与各坐标轴正向夹锐角的侧面.解 由于曲面具有轮换对称性，投影到面的区域，故方法技巧 由于积分曲面具有轮换对称性，因此可以将直接转换为，只要投影

7、到面即可.例7 计算曲面积分，其中为锥面在部分的上侧. 解 利用高斯公式. 添加辅助面，取下侧，则 其中为和围成的空间圆锥区域，为投影到面的区域，即，由的轮换对称性，有故 方法技巧 添加辅助面时，既要满足封闭性，又要满足对侧的要求.本题由于积分锥面取上侧（内侧），因此添加的平面要取下侧，这样才能保证封闭曲面取内侧，使用高斯公式转化为三重积分时，前面要添加负号.例8 计算曲线积分，其中从轴的正向往负向看，的方向是顺时针方向. 解 应用斯托克斯公式计算. 令取下侧，在面的投影区域为，则方法技巧 本题用斯托克斯公式计算比直接写出曲线的参数方程代入要简单，所有应用斯托克斯公式的题目，曲面的选取都是关键

8、，既要简单，又要满足斯托克斯的条件，需要大家多加练习.二、曲线积分与曲面积分的物理应用1.曲线积分与曲面积分的物理应用归纳如下：(1) 曲线或曲面形物体的质量.(2) 曲线或曲面的质心（形心）.(3) 曲线或曲面的转动惯量.(4) 变力沿曲线所作的功.(5) 矢量场沿有向曲面的通量.(6) 散度和旋度.2. 在具体计算时，常用到如下一些结论：（1）平面曲线形物体 空间曲线形物体 曲面形构件 （2） 质心坐标平面曲线形物体的质心坐标： 空间曲线形物体的质心坐标： 曲面形物体的质心坐标：当密度均匀时，质心也称为形心.（3） 转动惯量平面曲线形物体的转动惯量： 空间曲线形物体的转动惯量： 曲面形物体

9、的转动惯量：其中和分别为平面物体的密度和空间物体的密度.（4） 变力沿曲线所作的功 平面上质点在力+作用下，沿有向曲线弧从点运动到点，所做的功空间质点在力+作用下，沿有向曲线弧从点运动到点，所做的功（2） 矢量场沿有向曲面的通量矢量场+通过有向曲面指定侧的通量（3） 散度和旋度 矢量场+的散度矢量场+的旋度+1. 曲线积分或曲面积分应用题的计算步骤： （1）根据所求物理量，代入相应的公式中； （2）计算曲线积分或曲面积分.例9 设质点在场力的作用下，沿曲线由图11.7移动到，求场力所做的功.（其中为常数）解 积分曲线如图11.7所示. 场力所做的功为令，则即在不含原点的单连通区域内，积分与路径无关. 另取由到的路径：方法技巧 本题的关键是另取路径，一般而言，最简单的路径为折线路径，比如，但不可以选取此路径，因为在原点处不连续. 换句话说，所取路径不能经过坐标原点，当然路径的取法不是唯一的.例10 设密度为1的流体的流速，曲面是由曲线饶轴旋转而成的