椭圆和双曲线综合

1、椭圆和双曲线综合练习卷1. 设椭圆，双曲线，（其中）的离心率分别为 ，则（ ）A B C D与1大小不确定【答案】，所以，故选B.2. 已知双曲线的左焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（ ）A B C D【答案】C 设在渐近线上，直线方程为，由，得，即，由，得，因为在双曲线上，所以，化简得，故选C3. 已知，若圆与双曲线有公共点，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A B C D【答案】A 由圆及双曲线的对称性可知，当，即时，圆与双曲线有公共点，则离心率，故选A4. 为双曲线的渐近线位于第一象限上的一点，若点到该双曲线左焦点的距离为，则点到其右焦

2、点的距离为（ ）A B C D【答案】A 由题意，知，渐近线方程为，所以不妨令，则有，解得，所以，所以点到其右焦点的距离为，故选A5. 设分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值为（ ）A. B. C. D.【答案】B 由椭圆与双曲线的定理，可知，所以，因为，所以，即，即，因为，所以，故选B6. 若圆与双曲线的一条渐近线相切，则此双曲线的离心率为（ ）A B C2 D【答案】A 由题意得，选A.7. 已知双曲线的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为，若以为直径的圆内切于菱形，则双曲线的离心率为（ ）A B C D【答案】C 直线方程为，即，由题意

3、，变形为，故选C8. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支相交于两点，且点的横坐标为2，则的周长为（ ）A B C D【答案】D易知，所以轴，又，所以周长为9. 若点F1、F2分别为椭圆C:的左、右焦点,点P为椭圆C上的动点,则PF1F2的重心G的轨迹方程为（）A B C D【答案】C10. 过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|4，则满足条件的直线l有（ ）A4条 B3条 C2条 D无数条【答案】B 双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4，当直线与实轴垂直时，有，直线AB的长度是4，综上可知有三条直线满

4、足|AB|=4，故选B11. 在区间和内分别取一个数，记为和，则方程表示离心率小于的双曲线的概率为（ ）A B C D【答案】B 因为方程表示离心率小于的双曲线，.它对应的平面区域如图中阴影部分所示，则方程表示离心率小于的双曲线的概率为：,故选B.12. 已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的离心率为，若双曲线上一点使，则的值为（ ）A B C D【答案】B 由双曲线方程得，由双曲线定义得，因为，所以由正弦定理得，可解得，由知，根据余弦定理可知，故选B.13. 已知点，是椭圆上的动点，且，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】C 设，则，由题意有，所以所以，当时，有最大值，当时，有最小值，

5、故选C.14. 椭圆的左、右顶点分别为,点在上且直线的斜率的取值范围是,那么直线斜率的取值范围是（）ABCD【答案】B 15. 已知分别是双曲线的左、右焦点,过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点,若是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是（）A B C D答案：C16. 过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为，则的最小值为（ ）A10 B13 C16 D19【答案】B【解析】如图所示，根据切线，可有，所以最小值为.17. 过点作直线与双曲线交于A，B两点，使点P为AB中点，则这样的直线（）A存在一条,且方程为B存在无数条 C存在两条,方程为D不存在答案：D18. 已知双曲线的右焦

6、点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是_【答案】2，)19. 已知双曲线：的左、右焦点分别是，正三角形的一边与双曲线左支交于点，且，则双曲线的离心率为 【答案】【解析】设，则，所以20. 已知双曲线的左、右焦点分别为，是圆与位于轴上方的两个交点，且，则双曲线的离心率为_【答案】【解析】由双曲线定义得，因为，所以，再利用余弦定理得，化简得21. 已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线右支上一点，点的坐标为，则的最小值为_.【答案】【解析】由双曲线定义可知，故，可知当三点共线时，最小，且最小值为.22. 如图，已知双曲线上有一点,它关于原点的

7、对称点为，点为双曲线的右焦点，且满足,设,且,则该双曲线离心率的取值范围为 【答案】【解析】设是左焦点，由对称性得，设，则，又，因为，又，则又，再由，得，即23. 以下四个关于圆锥曲线的命题中：设A、B为两个定点，k为正常数，则动点P的轨迹为椭圆；双曲线与椭圆有相同的焦点；方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；和定点及定直线的距离之比为的点的轨迹方程为其中真命题的序号为 _【答案】【解析】中需要对的取值范围加以限定；中有公式可知两个曲线的焦点分别是；中方程的两个根分别是和；中直线的方程应该是；故答案为.24. 已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为.设线段的中点为，若，则该椭圆离心率的取值

8、范围为 【答案】25. 过点作一直线与椭圆相交于AB两点，若点恰好为弦的中点，则所在直线的方程为 【答案】【解析】设，分别代入椭圆的方程中，可得：，由-可得，因为点是弦的中点，=，又因为直线过点（1,1），所以直线的方程为，即.26. 设F1，F2分别为椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60，F1到直线l的距离为2.（1）求椭圆C的焦距；（2）如果2，求椭圆C的方程解：(1)设焦距为2c，则F1(c,0)F2(c,0)kltan60 l的方程为y(xc) 即：xyc0f1到直线l的距离为2 c2c2 椭圆C的焦距为4(2)设A(x1，y1

9、)B(x2，y)由题可知y10，y20直线l的方程为y(x2)得(3a2b2)y24b2y3b2(a24)0由韦达定理可得2y12y2，代入得得又a2b24 由解得a29b25 椭圆C的方程为127. 已知双曲线的中心在坐标原点,焦点在轴上,离心率,虚轴长为.（1）求双曲线的标准方程；（2）若直线与曲线相交于两点（均异于左、右顶点），且以为直径的圆过双曲线的左顶点,求证：直线过定点,并求出定点的坐标.【答案】（1）（2）试题解析：（1）设双曲线的标准方程为,由已知得又,解得,所以双曲线的标准方程为.（2） 设,联立,得,有,以为直径的圆过双曲线的左顶点,即,解得或.当时,的方程为,直线过定点,

10、与已知矛盾；当时,的方程为,直线过定点,经检验符合已知条件,所以直线过定点,定点坐标为.28. 已知椭圆y21上两个不同的点A，B关于直线ymx对称（1）求实数m的取值范围；（2）求AOB面积的最大值(O为坐标原点)解(1)由题意知m0，可设直线AB的方程为yxb.由消去y，得x2xb210.因为直线yxb与椭圆y21有两个不同的交点，所以2b220，设M为AB的中点，则M，代入直线方程ymx 解得b. 由得m. (2)令t，则|AB|，且O到直线AB的距离d.设AOB的面积为S(t)，所以 S(t)|AB|d ，当且仅当t2时，等号成立故AOB面积的最大值为.29. 已知椭圆的左焦点为,离心

11、率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为c，（1）求直线的斜率；（2）求椭圆的方程；（3）设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线（为原点）的斜率的取值范围.【答案】(I) ； (II) ；(III) .【解析】(I) 由已知有，又由，可得，设直线的斜率为，则直线的方程为，由已知有，解得.(II)由(I)得椭圆方程为，直线的方程为，两个方程联立，消去，整理得，解得或，因为点在第一象限，可得的坐标为，由，解得，所以椭圆方程为(III)设点的坐标为，直线的斜率为，得，即,与椭圆方程联立，消去，整理得，又由已知，得，解得或，设直线的斜率为，得，即，与椭圆方程联立，整理可得.当时，有，因此，于是，得当时，有，因此，于是，得综上，直线的斜率的取值范围是30. 已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为（1）求椭圆的离心率；（2）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程【答案】（I）；（II）【解析】试题分析：（I）先写过点，的直线方程，再计算原点到该直线的距离，进而可得椭圆的离心率；（II）先由（I