数论板块浅析整除更新

1、第一讲 浅析数论【引入】一个三位数除以发现商是一个整数，且没有余数。经过尝试，发现由、这三个数字组成的其它三位数、分别除以得到的商均是整数，且都没有余数。这些除以商是整数且没有余数的数虽然排列顺序，但组成的数字都是相同。那么判断一个数除以有没有余数，我们其实只要看其组成的数字，而和这些数字的排列顺序无关。今天我们就探索这样的一些列问题。【整除的概念】当两个整数和（），被除的余数为时（商为整数），则称被整除或整除，记作：；如果被除所得的余数不为，则称不能被整除，或不整除，记作：。【整除的性质】末位分析法：如果一个数的末位能被2或5整除，那么这个数就能被2或5整除；如果一个数的末两位能被4或25整

2、除，那么这个数就能被4或25整除；如果一个数的末三位能被8或125整除，那么这个数就能被8或125整除；数字之和分析法：如果一个数各位数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除；如果一个数各位数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。【例题1】一个四位数能被整除，那么中应该填什么数字？一个四位数能被整除，那么中应该填什么数字？一个四位数能被整除，那么中应该填什么数字？一个四位数能被整除，那么中应该填什么数字？【分析】这是一道考查第一类整除特点的基础题目。同学只要能熟知第一类整除特点就可以解决此类题目。能被整除的数看末位；能整除的数看末两位；能被整除的数看末三位；能被整除的数看末两位。【解】因

3、为；所以；所以，或。因为；所以；所以，或。因为；所以；所以，或。因为；所以；所以或。【例题2】一个五位数能被整除，那么中应该填什么数字？一个四位数能被整除，那么代表的数字是多少？【分析】这是一道考查第二类整除特点的基础题目。同学只要能熟知第二类整除特点就可以解决此类题目。能被（或）整除的数的特点是各位数字之和是（或）的倍数。【解】因为；所以；所以，或。因为；所以；所以或；因为在首位，所以；所以。【总结】整除是数论中最基础的知识点之一，而在整除中，整除的特点尤为关键。例1和例2分别考察了四年级学生需要掌握的两个整数方法：末位分析法和数字之和分析法。同学们在学习的时候要注意这两个方法的分别适用于哪

4、些数的整除。第一类：、使用的是末位分析法；第二类：、使用的是数字之和分析法。【例题3】四位数能同时被和整除，求出所有满足要求的四位数。【分析】先根据能被整除的特点，求出个位数字；然后根据能被整除的特点求出百位。【解】设四位数为；因为，所以，或；因为，所以，；当时，或或；当时，或或；综上所述，所有满足要求的四位数为、。【例题4】一个三位数的十位数字未知。请分别根据下列要求找出“”中合适的取值；如果要求这个三位数能被整除，“”可能等于多少？如果要求这个三位数能被整除，“”可能等于多少？这个三位数有没有可能整除，如果有可能，“”可能等于多少？【分析】根据能被整除的特点可以求出的答案。根据能被整除的特

5、点可以求出的答案。既满足有满足的数即为的答案。【解】因为，所以，或或；如果要求三位数能被整除，“”可能等于或或。因为，所以，或或或或；如果要求三位数能被整除，“”可能等于或或或或。三位数有可能同时被和整除，“”可能等于或。【例题5】在所有个位数字互不相同的五位数中，能被整除的数最小是多少？【分析】一个数能被整除，那么一定能同时被和整除。因为要使这个五位数尽可能的小，所以不妨假设万位是，千位是，百位是。通过、的整除特点分别判断出个位和十位。【解】因为这个五位数能被整除，；所以这个五位数能分别被和整除。因为这个五位数能被整除；所以这个五位数的个位数字是或。要使这个五位数最小，令这个五位数的万位是、

6、千位是，则这个五位数的个位是；若这个五位数的百位是，因为这个五位数能被整除，所以这个五位数的十位是，与千位相同；若这个五位数的百位是，因为这个五位数能被整除，所以这个五位数的十位是；综上所述，在所有个位数字互不相同的五位数中，能被整除的数最小是。【总结】在初步掌握末位分析法和数字之和分析法之后，我们会学习其它有关整除的题目。这些数往往不属于第一类和第二类中的数，但缺能拆成两个或几个第一类或第二类中数的乘积。所以解决这种题目的做法是：第一步，把数写成两个或几个第一类或第二类中数的乘积的形式；第二部，按照“先末位分析法，再数字之和分析法”的顺序分析题目。【例题6】一个四位数能被整除，求这个四位数。

7、一个五位数能被整除，求这个五位数。【分析】一个数如果能被整除那么，从右向左，两位两位的和能被整除。一个数如果能被整除那么，从右向左，三位三位的和能被整除。【解】设这个四位数是，因为；所以，；所以这个四位数是。设这个五位数是；因为；所以，；所以这个五位数是。【总结】能被整除的数的特点是各位数字之和能被整除。由此，我们可以把这种性质推广到、解题的步骤和注意的事项有以下4点：有个就每位截取；截取的时候必须从右向左，最后一段可以不足位；相加时，对于每一段，其本身的顺序不改变；若和能被整除，那么这个数能被整除。【实战演练1】（年第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第试第题）若位数能够被整除，则里的数

8、是。【解】一个数能被整除，则这个数各个数位上的数字之和能被整除；因为，所以，即；因为，所以的余数为，所以里的数是或或。【实战演练2】牛叔叔给名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上。但是记账的那张纸被香烟烧了两个洞，上面只剩下“”，其中方框表示被烧出的洞。牛叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元。请问：这名工人的总工资有可能是多少元呢？【分析】因为每名工人的工资都一样；所以总钱数每名工人的工资，即总钱数是的倍数；而【解】设这名工人的总工资是元；因为每名工人的工资都一样，并且都是整数元；所以；因为；所以且；因为，所以，或；因为，所以，；当时，；当时，；这名工人的总工资有可能是或元。【实战演练3】（年第六届“走进美妙的数学花园”决赛第题），首位是，个位是，中间数字全部是的数中，能整除而不被整除的最小数是。【解】因为；所以；所以，所以是的倍数；当时，；而符合题意；所以最小是。【练习1】设有一个四位数，它能被整除，则代表的数字是多少？【答案】。【练习2】若四位数能被整除，则代表的数字是多少？【答案】。【练习3】在的方框里填入合适的数字，使这个四位数能被整除，这样的四位数中最大的是多少？【答案】最大是。【练习4】若三位数加上等于另一个三位数，若能被整除，则的值是多少？【答案】。【练习5】一位马虎的采购员买了只桶，洗衣服时将采购货发票洗烂了