寒假指导二次根式及性质_练习

1、学习必备欢迎下载寒假指导 - 二次根式及性质.知识要点：（ 1）平方根与立方根a. 平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a 的平方根。用a 表示。例如：因为 (5)225，所以的平方根为255。25b. 算术平方根的概念：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根。 0 的算术平方根为 0。用a 表示 a 的算术平方根。例如： 3 的平方根为3 ，其中3 为 3 的算术平方根。c. 立方根的概念：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根，用3 a 表示。例如：因为 3327 ，所以 27的立方根为 3 273 。d. 平方根的特征：一个正数有两个平方根，它们互为相反数

2、。 0 有一个平方根，就是 0 本身。负数没有平方根。e. 立方根的特征：正数有一个正的立方根。负数有一个负的立方根。 0 的立方根为0。3a3 a 。立方根等于其本身的数有三个：1， 0， 1。（ 2）二次根式a. 二次根式的概念：形如a （ a 0）的式子叫做二次根式（二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义，并且根式a 0）。b. 二次根式的基本性质： a 0（ a0） ( a) 2 a（ a 0）a（ a0）a2|a|0（ a0）a（a0）abab（ a0， b0）bbaa学习必备欢迎下载（a0，b0）c. 二次根式的乘除法abab（ a0， b0）bb （ a0，b0）aad

3、. 最简二次根式的标准：被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号） 。被开方数中不含开得尽方的因数或因式。e. 同类二次根式的识别：几个二次根式化简到不能再化简为止后，被开方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式。例如：822与 2是同类二次根式， 3a与5a 是同类二次根式。f.二次根式的加减法运算法则：在加减运算中，一般把二次根式化简后再运算，运算时只有同类二次根式才能合并（合并时，只合并根号外的因式，被开方数不变），合并同类二次根式之后的式子作为最后的结果（注意：最后结果要尽可能最简）。h. 使分母不带根号（分母有理化）常用方法：化去分母中的根号关键是确定与分母相乘后，其结果不再

4、含根号的因式。bi.形如a 的式子，利用 ( a ) 2a ，分子、分母同乘以a 得bbabaa (a )2ac或cab或（ a xb y ）ii.形如aba x b y的式子利用平方差公式，分子、分母同时乘以得cc(ab ) 或cc(ax by )aba 2ba x b ya 2 x b2 y注意：分子、分母同时所乘以的式子必须不为0。xy( xy)(xy )xyxy( xy )(xy )xy 有可能为即如：，这样运算不一定正确，因为0。化去分母中的根号，有时通过约分来解决xy（ xy且 x0， y0）如：xy(xy)(xy )x yx y学习必备欢迎下载（ 3）实数与数轴：a. 无理数的概

5、念：无限不循环小数叫做无理数。b. 实数的概念：有理数与无理数统称为实数。c. 实数的分类：按实数的定义分类正整数整数0自然数有理数负整数实数正分数有限小数或无限循环小数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数按正负分类正 整 数正有理数正实 数正 分 数正无理数实 数 零负 整 数负有理数负实 数负 分 数负无理数d. 实数与数轴上的点之间的关系：实数与数轴上的点是一一对应的。数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数。数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来每一个实数都可以用数轴上的点来表示。e. 常见的几种无理数：根号型：如2、 3 4 等开方开不尽的数。构造型：如1.21121

6、112 等无限不循环小数。化简后含有（圆周率）的数。在今后学习中还会遇到三角函数型等。f. 实数比较大小的几种常用方法：数轴比较法：将两实数分别表示在数轴上，右边的数总比左边的数大，表示在同一点上的两个数相等。差值比较法： 设 a、b 是任意两实数， 若 a b0 ，则 ab ；若 a b0 ，则 ab；若 a b0，则 a b 。商值比较法：设a、 b 是两个正实数ab1，则 a若 b；ab1，则 a若 b；ab1，则 a若 b。学习必备欢迎下载注：除此以外还有平方法等方法。【典型例题】例 1. 判断下列说法是否正确：（ 1）4 的平方根是 2（ 2） 25 的平方根是 5（ 3） ( 8)

7、 2 的算术平方根是 8（ 4） 0.027 的立方根是 0.382（ 5） 27 的立方根是3解析： 要作出正确判断，必须弄清平方根、算术平方根的概念和立方根的概念。例 2. 要使下列各式有意义，字母x 的取值必须分别满足什么条件？（ 1） 3 4x（2）x23x（ 3） x 12 x（4） x 1解析： 二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，分式有意义的条件是分母不为0，对于含有多个表达式的式子需同时让每一个式子有意义，此表达式才有意义。例 3. 已知 ab 3与 |a b5|互为相反数，求 a 2b2 的值。例 4. 计算下列各式：（1） (223 )（2） (7 5)2（3） 236

8、4x2 y1xy 2（4）3(1 2 )56 3012.48（ 5）354（ 6）(1241) (3140.5)（ 7）83解析：（1）由公式 (a )2a（ a0） 可以直接得到。（ 2）根据积的乘方法则(ab) na n bn可以求解。（ 3）利用abab （ a0， b0）进行乘法计算。（ 4）利用abab （ a0， b0） 进行乘法计算，但应知道y 0， x 0 。（ 5）利用学习必备欢迎下载aa （a0，b0）bb进行计算。（ 6）和（ 7）应先对式子中的每个二次根式进行化简，然后对同类二次根式进行合并。例 5. 化简下列各式：（ 1）( 2)2（2）(x 2) 2 （ x2）（

9、3）x 28x 16（4）12a 4b4 c1 2b （a 0， b0）（5）3（6）aa2|a|（a）a0解析：（1）（ 2）（ 3）都是形如a2a（）的化简，关键是正确理解和使用a0（ 4）运用 aba b（ a0， b0） 对二次根式进行化简时尽可能将被开方数的因式写成平方的形式。a 22（ 5）（6）去掉分母中的根号，常用的方法是使分母化为（或a ）的形式。523 a3a 2b例 6. 已知 a、 b 均为有理数，并且满足等式：3，求 a、b 的值。53a2b2a3解析： 因为3(a 2b5) (a20) 3所以3因为 a、 b 均是有理数5 a 2b与 a23 都是有理数所以5 a2

10、b02a0所以有32a313b解得6例 7. 比较32与21的大小。学习必备欢迎下载分析： 比较32与21 的大小，可先将各数的近似值求出来321732.1414.0.318211414.10.414再比较大小，本题还有一种方法“分子有理化”32(32 )(32 )13232解： 21(21)(21)1(21)2111又32213221例 8. 观察下列各式及其验证过程：222233223(2 32)22(221)22232212 212验证：33333388333( 333)33(321)33383213213验证：8844（ 1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路猜想15 的变形结果并

11、进行验证。（ 2）针对上述各式反映的规律，写出用n（ n 为任意自然数，且 n2 ）表示的等式，并给出证明。学习必备欢迎下载【模拟试题】（答题时间： 80 分钟）一. 填空题1.计算 |2|=_ ；327 =_。12.若代数式12x 有意义，则x 的取值范围是 _ 。118213.计算：=_ 。4.在实数范围内分解因式： x22 3x 3_。5.若 x5，则(x5)2_。6.绝对值不超过3 的无理数有 _（只需写出 3 个即可）。a11， b2 ，则 a 2b 27.已知5257 的值为 _。8. 实数 a、 b、 c 在数轴上的对应点如图。化简： a|ab|c2|bc|_ 。9. 已知 (a

12、b1)22ab40，计算 ab=_。10.3的整数部分为a，小数部分为b，则 a=_， b=_ 。二. 选择题5a ， 8a ， c ， a 2b2 ， a 311.在二次根式9中，最简二次根式共有（）A.1 个B.2个C.3个D.4 个212.在二次根式：（ 1）12 ；（2）23；（ 3）3 ；（4）27 中，与3 是同类二次根式的是（）A. （ 1）和（ 3）B. （2）和（ 3）C. （1）和（ 4）D. （ 3）和（ 4）13.下列实数中，无理数是（）1A. 3.14B.2C. 0D.314.下列各组数中，互为相反数的是（）2和1B. | 2|与22与 (2)2D. 2和38A.2C

13、.15.若 a 为实数，下列代数式中，一定是负数的是（）A.a2B.(a1) 2C.a 2D. (| a| 1)学习必备欢迎下载16. 如图，数轴上表示1，2 的对应点分别为A 、B，点 B 关于 A 对称点为 C，则点 C 所表示的数是 （）A.2 1B. 12C. 22D.2 217. 下列命题中正确的是（）A. 如果 a、 b 同号，则ababB. 如果 a、 b 异号，则ababC. 如果 a、 b 异号，则ab 有意义D. 如果 a、 b 同号，则ab 无意义18. 下列计算正确的是（）a1aaba bA.aB.C. (ab )2a b3 a23aD.419. 若 x 为任意实数，下

14、列各式一定有意义的是（）1A.x 23B.( x1) 2C.x22xD.x211x20. 把x根号外的因式移入根号内等于（）A.xB.xC.xD.x三、解答题21. 在实数范围内分解因式（ 1） x 310x；（ 2） 9x416。22. 计算：学习必备欢迎下载24152232（ 1）332 ；(3 2x)28xx （ 0x3 ）（ 2）92223. 比较两数的大小：（ 1）76和 67；（2） 365和3 56。24. 化简求值：a bb a (b1)b5， b 35 。abab baba b ，其中 a 325. 解不等式或方程：（ 1）3x 1 222x ；2x25x（ 2）53。26.

15、 某公司向银行贷款20万元资金，约定两年到期时一次性还本付息，利息是本金的12%，该公司利用这笔贷款经营，两年到期时除还清贷款的本金和利息外，还盈余6.4 万元，若在经营期间每年比上一年资金增长百分数相同，试求这个百分数。27. 阅读（ 1），解答（ 2）、（ 3）。（ 1）举例说明“两个无理数的和有可能为有理数。”解：如 2、2 都是无理数，而2 ( 2) 0，0就是有理数。（ 2）有没有不相等的两个无理数的差为有理数？如果有，请用与2、3、5 相关的数举例说明。（ 3）有没有绝对值不相等的两个无理数的平方差为有理数？如果有，请用与例说明。28. 先观察下列等式，再回答问题：2、3、5 相关

16、的数举1111111 112221112 ；1111111 12 2322216 ；11111113242331112 。11152（ 1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想42的结果，并进行验证；（ 2）请按照上面各等式反映的规律，试写出用n（n 为正整数）表示的等式，并加以验证。学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载【试题答案】一 .2，3x11.2.23.4214.(x3) 25.5x6.2、3、5（答案不唯一）7. 58.2c9. 610. 1，31二 .11. B12. C13. D14. C15. D16. C17. C18. A19. D20. D三 .21. （ 1） x310xx(

17、 x 210)x( x10)( x10)（ 2） 9x416(3x24)(3x24)(3x 24)( 3x 2)( 3x 2)2415223222. （ 1）332261526( 32)( 32)3(32)( 32)261526526236155343 x（ 2）323.（1）7667（2）36535624. 化简得 2 ab ，计算得 425. （ 1） (32) x2212 21x3 2x 234226（ 2）5x(53) x2学习必备欢迎下载3x22 3x326. 设每年比上年资金增长百分数为x%，则有20 (1x%) 220 (12% 1) 6.4(1x%) 2288.144.201

18、x%12.x20或x220（舍去）答：这个百分数为20% 。27. （ 2）有 (32)(52 )2（3）有 (2 3 3 2)2(6 32) 280111111152128. （ 1）424520111111441211 1证：4 25216251625202011111111n2(n 1) 2n n 1n2n（ 2）111(n 2n1) 2n 2(n1) 2n2 (n1) 2证：n 2n1n(n1)n 2n1n 2nn 2n1n 2nn 2n11nn21、判断下列代数式中哪些是二次根式？学习必备欢迎下载1 ， 16 ， a9 ， x21 ， a 22a2 ，2x （ x0）， m3 2。答： _2、求下列二次根式中字母 x的取值范围：2x 1 ，x 23 ，2，x5 2 x2 x ， x1 ，2x.x12x3、计算255， 1 321 3221222，55 ，55，2，10.321.394、化简： 0.01 0.16 ， 6 1， 2533 ，452122，8.1，41.9165、写出下列各式成立的条件（即x 的取值范围）：4x22x ，x2 2 x 2 ，x2x x29x 3 x 3 ，xx.x5x56、若代数式2 a 2a41x2 ，则化简x27、若222的值是常数2，则 a 的取值范围是 _ 。2 x1 =_ 。、若x、y都为实数，且 y2