平面向量复习提纲

1、平面向量全章复习【教学目标】复习平面向量的概念，向量的加法、减法、数乘、向量共线定理、平面向量基本定理，平面向量坐标表示向量的数量积、数量积的坐标表示，向量的应用。本章知识框架向量的定义符号表示几何表示向量的表示基底表示相等向量坐标表示向向量间的关系相反向量量加法减法共线向量向量的运算数乘平行与共线数量 积垂直向量的应用长度一基本知识点回顾夹角1向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量2向量的表示：用有向线段表示；用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向用字母a、 b（黑体，印刷用）等表示；用有向线段的起点与终点字母：AB ；3向量的长度：向量的大小称为向量的长度（或称为

2、模），记作AB 说明： (1)不能说向量就是有向线段；向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段(2)向量不同于数量数量之间可以比较大小，向量由模、方向来确定，由于方向不能比较大小，因此“大于”、“小于”对向量来说是没有意义的(3)向量的模（是正数或零）可以比较大小4几组特殊的向量：零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0或0说明： 零向量的方向不确定，是任意的，有无穷多个规定所有的零向量都相等单位向量 ：长度等于1 个单位长度的向量叫做单位向量平行向量（即共线向量

3、）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量记作ab 说明：（ 1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系（3）规定：零向量与任意向量平行相等向量 ：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量若a 与 b 相等，记作 ab 相反向量 ：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量向量a 的相反向量记为a5向量加法的概念： 已知向量 a 和 b ，在平面内任取一点O ，作 OA a ， AB b ，则向量 OB 叫做 a与 b 的和，记作 a b ，即 a bOAABOB 求两个向量和的运算叫做 向量的加法 规定： 0 a a ， a

4、aaa0，即 ABBA 0 ；向量加法的三角形法则：在使用三角形法则求和时，必须要求向量首位相连，和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的有向线段所表示的向量；向量加法的平行四边形法则：说明： (1)求和向量必须共起点 (2)向量加法的平行四边形法则，只适合于对两个不共线向量相加，两个共线向量相加，仍用三角形法则6向量加法的运算律：交换律： abba ；结合律：a bc abc 向量减法的有关概念:若 bx a ，则向量 x 叫做 a 与 b 的差，记作 ab ，求两个向量差的运算，7叫做向量的减法8向量减法的作图方法:在平面内任取一点O ，作 OA a ， OBb ，则 BA BO

5、OAOB OA a b ，即 a b 表示从向量 b 的终点指向被减向量a 的终点的向量9向量的数乘的定义：一般的，实数与向量 a 的积是一个向量，记作a ，它的长度和方向规定如下：（ 1） aa ；(2 ) 当0 时，a 与 a 方向相同，当0 时，a 与 a ，方向相反，当 0时， a 0 实数与向量 a 相乘，叫做向量的 数乘10向量数乘的运算律： （ ）( )a ()a(结合律)；1（2） () aaa(分配律 )；（ 3）(ab)ab(分配律 )11a（a0），b，如果有一个实数，使得 ba(a0) ，向量共线定理： 一般地，对于两个向量那么 b 与 a 是共线向量， 反之，如果 b

6、 与 a（ a0 ）是共线向量， 那么有且只有一个实数，使得 ba 12平面向量基本定理：如果 e1 ， e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数1 ，2 ，使 a =1 e1 +2e2 我们把不共线的向量e1 ， e2 叫做表示这个平面内所有向量的一组基底13向量的坐标表示：在直角坐标系内，分别取与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i、 j 作为基底，任取一个向量a，有且只有一对实数x、 y，使得 a=xi+yj ， 则把（ x，y）叫做向量的直角坐标，记作：a=(x， y) 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标， y 叫做 a 在 y

7、轴上的坐标，式为向量的坐标表示14 向量坐 标运算 ：已知 a(x1, y1) ， b(x2 , y2 ) ， ab (x1x2,y1 y2) ， ab (x1x2, y1y2 ) ，a( x1 , y1 ) 两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差），实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标15共线向量坐标表示的一般性结论：设a( x1 , y1 ) ， b(x2 , y2 ) （ a ），如果a b，那么x1 y2 x2 y1 0 ；反过来，如果 x1 y2x2 y10 ，那么 a b结论（简单表示） ：向量 a 与 b 共线 b0abx1 y2x2 y10

8、16.向量的夹角： 对于两个 非零向量 a 和 b，作 OA = a ， OB = b ，则AOB（ 0 180 ）叫做向量 a 和 b 的夹角 特别地，当=0 时， a 与 b 同向；当=180 时， a 与 b 反向；当=90 时，则称向量a 与 b 垂直，记作a b17. 平面向量数量积： 已知两个 非零 向量 a 和 b，它们的夹角是 ，我们把数量 |a|b|cos叫做向量 a 和 b的数量积（或内积）（ scalar product of vectors ），记作 ab，即： a b=|a|b|cos我们规定 ：零向量与任一向量的数量积为0向量数量积模的性质：当 a 与 b 同向时，

9、 a b=|a|b|；当 a 与 b 反向时， a b= |a|b|2特别地， a a=|a| 或 |a|=a a向量数量积的运算律：设向量 a， b， c 和实数 ，则向量的数量积满足下列运算律：（ 1） a b=b a；（交换律）； （ 2）（ a）b=a（ b） =（ ab） =ab；（结合律）；（ 3）（a+b） c=a c+b c（分配律）。18.平面向量数量积的坐标表示：若两个向量为a= (x1,y1)， b= (x2,y2 )，则 a b=x1x2+y1y2 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和推论及公式：22222设 a=（x， y），则 a =x +y ，即 |a|=

10、x+y 两点 A（ x1， y1）， B（x2， y2）间的距离公式为 AB =1xa=(x1 1，2 2 ，它们的夹角为，则有 cosa b,y )b= ( x ,y )a b221y22 xyx1x2y1 y2x12y12x22y22aba b0x1 x2y1 y2 =019.请写出向量有关运算（加、减、数乘、数量积等）的几何意义与物理学原型：向量运算 /定理 /定义几何意义物理学原型相反向量： a作用力与反作用力加法： a + b三角形法则（平行四边形法则）位移的合成、力的合成减法： a b三角形法则 （减法是加法的逆运算）数乘： a共线向量（ b = a (a 0)b/a）位移 =速度

11、时间平面向量基本定理力的分解数量积：功a b = |a| |b| cos二典型例题分析例 1. 在四边形 ABCD 中 , 已知 ACAB AD , 试判断四边形ABCD 是什么样的四边形 ?例 2.化简：（1） ABBC CD _；（ 2） AB AD DC_；（ 3） ( AB CD)( ACBD) _例 3.若 AB=3e11 且，判断四边形ABCD的形状,CD =5e ,|AD |=|BC|例 4.若 2( x11c 3x) b 0 ，则 x_ a)(b32例 5.已知向量a 、 b不 共 线 ， 实 数 x 、 y满足向量等式3xa+(10 y)b=2 xb+(4y+4)a, 则x=

12、_, y=_ 例 6.向量 a (1,1)，且与 a2b 的方向相同，则ab 的取值范围是(1, )例 7. 已知 OA =(-1 ， 2)， OB =(3 ，m)，若 OA OB ，则 m 的值为 _ 例 8. 已知 | OA| 1,|OB|2,OA OB0, 点 C 在AOB内，且AOC 450 ，设 OC mOA nOB，其中 m,nR ，则 m 等于 _. n例 9. 已知向量 a(3,1), b( 1,2), 则3a2b 的坐标是 _例 10.已知平面内三点A(2,2), B(1,3), C(7, x)满足 BAAC ，则 x 的值为 _例 11.设 向 量 OA (3,1),OB(

13、 1,2)，向量OC 垂直于向量OB ，向量 BC 平行于OA，试求ODOAOC时, OD 的坐标例 12.已知 a(1,2), b(3,2), kab与a3b 垂直，求实数k 的值例 13.已知 |p|= 22 ， |q|=3， p、 q 的夹角为45，求以 a=5p+2q， b=p3q 为邻边的平行四边形过a、 b起点的对角线长例 14.设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知（ DBDC2DA) (AB AC)0, 试判断 ABC的形状例15.已知a|=3，b，(且 a 与 b 不共线， 当且仅当k为何值时， 向量 a+kb 与 a kb 互相垂|=4)直 ?例 16.已知向量 a、

14、b 满足 a3，ab5 , ab5求 b例 17.若向量 a ， b 满足 a1，b2 且 a 与 b 的夹角为3，则 ab _例 18.已知 A, B, C 为平面上不共线的三点，若向量 AB =（ 1，1），n =（ 1， 1），且 n AC =2，则 n BC等于 _例 19.ABC 中， | AB |3，|AC| 4，|BC|5，则 AB BC_（答： 9）例 20. 已知点 A(2,3), B(5,4) ， C(7,10) ，若 APABAC (R) ，则当 _时，点 P 在第一、三象限的角平分线上（答：1 ）；2例 21. 已知 a(1,1),b(4, x) ， ua2b ， v2

15、ab ，且 u / v ，则 x_（答： 4）；例 22.已知 ABC 中， A（2， 1），B（ 3，2），C（ 3， 1）， BC 边上的高为 AD ，求点 D 和向量 AD的坐标例 23.已知 a、 b 都是非零向量，且a 3b 与 7a 5b 垂直， a4b 与 7a2b 垂直，求 a 与 b 的夹角例 24.把一个函数图像按向量a(,2)平移后，得到的图象的表达式为y sin( x)2，则原函数36的解析式为（ ycos x）例 25.设向量 a 与 b 的夹角为， a(3，3) ， 2b a (11)， ，则 cos_(310)10例26.设 向 量O A( 3, 1)O, B(，向量OC 垂直于向量 OB ，向量BC 平行于OA ，试求1, 2O DO AO时C,O的D坐标例 27.已知 a( 3,1),b (13), 若存在不为零的实数k 和角 ，使得,22c asin3 b,dkasinb ，且 cd ，试求实数 k 的取值范围例 28.已知 M (1+cos2x，1)，N (1，3 sin2x+a)(x，aR，a 是常数 )，且 y= OM ON(O 是坐标原点 )求 y 关于 x 的函数关系式y=f(x)；若 x 0， ，f(x) 的最大值为4，求 a 的值，并说明此时 f(x