小升初数学衔接班——一元一次方程的解法一

1、小升初数学衔接班一元一次方程的解法（一）一、学习目标1、了解方程、一元一次方程以及方程的解等基本概念，掌握等式的基本性质；2、会解一元一次方程，了解一元一次方程解法的一般步骤，并经历和体会解方程时运用的“转化”的过程和思想。二、学习重点掌握去分母、去括号、合并、系数化为1的方法的使用及其依据。三、课程精讲1、引入古代诗歌曰：“我问开店李三公，多少客人在店中？一房七客多七客，一房九客一房空。请你仔细算一算，多少房间多少客。”2、知识回顾（1）什么是方程我们在小学就学习过方程，所谓方程，就是含有未知数的等式。（2）去括号法则在本讲中，我们要用到上一讲学习过的去括号法则，请同学们提前复习一下。例1、

2、化简下列式子（1）（2）思路导航：回忆去括号法则，并严格遵循这一法则。解答：（1）（2）点津：去括号是解一元一次方程过程中很容易出现错误的地方，请同学们在做题过程中引起重视，多检查。3、新知探秘知识点一 方程的解与解方程使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。例如，当时，在方程中左边=右边=所以，左边=右边，故是方程的解。例2、检验下列括号里的数是不是它前面方程的解。（1）（）（2）（）思路导航：回忆方程的解的定义，并运用它解题。解答：（1）当时，右边所以，左边右边，不是方程的解。当时，右边所以，左边=右边，是方程的解。（2）当时，左边，右边=0所以，左边右边，不是方程的解。当时，左边，

3、右边=0所以，左边=右边，是方程的解。点津：求方程的解的过程，叫做解方程。我们在小学已经学习过简易方程，比如，等，像这样只含有一个未知数，且未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程。知识点二 等式的性质既然方程是一种特殊的等式，那么在解方程之前，我们先来研究等式的性质。如上图，从左到右，我们在保持平衡状态的天平两边加上相同的重量，天平仍保持平衡；从右到左，我们在保持平衡状态的天平两边减去相同的重量，天平仍保持平衡。等式与天平的平衡类似，于是有：等式的性质1 等式的两边加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等。类似的，在上图中，观察从左到右和从右到左天平两边的变化，可以类比得到等式的又一性质

4、：等式的性质2 等式两边乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。例3、填空（1）若，那么_；（2）若，那么_；（3）若，那么_；（4）若，那么_。思路导航：利用等式的性质达到使等式变形的目的。解答：（1）1；（2）y；（3）；（4）8。点津：养成言之有据的习惯，即培养自己的理性思维。例4、判断（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，那么。思路导航：为题目中给定的变形式找依据。解答：（1）错，若，则不能用等式的性质2；（2）错，利用等式的性质1，可得，而并非题目所给结果；（3）错，利用等式的性质1，得，再利用等式的性质2，得；（4）对，利用等式的性质1，得，即。点津：此题与

5、上题在逻辑上正好相反，上题是按依据来变形，此题是为变形找依据，带有逆向思维的成分，属于更高层次的要求。知识点三 解一元一次方程（一）系数化为1（其中为常数，）是比较简单的一元一次方程。解这类方程时，可以利用等式的性质2，将未知数的系数化为1即可。例5、解下列方程（1）（2）（3）（4）思路导航：将系数化为1其实是利用等式的性质2。解答：（1）方程两边同时除以15，得即（2）方程两边同时除以，得即（3）方程两边同时除以2.5，得即（4）方程两边同时除以3.1，得即点津：将系数化为1实际上是将此类方程化为形如的最简单的方程。知识点四 解一元一次方程（二）移项我们来研究方程（1）的解法。如果我们能把

6、这个方程变形为上述简单方程就能很容易求出解。上述简单方程的一边只含有的项而没有常数项，而另一边只有常数项而没有含的项。所以，根据等式的性质1，方程（1）两边同时加上2，即于是，得到一个新的方程（2）这个方程与原方程的解是相同的，称其为原方程的同解方程。再根据等式的性质1，方程（2）两边同时减去，即于是，得到与原方程同解的方程（3）将这个方程中未知数的系数化为1，得。将方程（1）与方程（2）作比较这个变形可以看作是把方程左边的常数项改变符号后，移到方程的右边。同样，将方程（2）与方程（3）作比较这个变形又可以看作是把方程右边的含的项改变符号后，移到方程的左边。这种变形叫做移项。移项法则：把方程一

7、边的项改变符号后移到方程的另一边，方程的解不变。求方程（1）的解的过程可以写为解：移项，得合并，得方程两边同除以2，把的系数化为1，得。例6、解下列方程（1）（2）（3）（4）思路导航：在计算的过程中，一定要依据移项的法则求解。解答：（1）移项，得合并，得，即系数化为1，得（2）移项，得合并，得系数化为1，得（3）移项，得合并，得，即系数化为1，得（4）移项，得合并，得系数化为1，得点津：移项的本质是利用了等式的性质1。通过移项和合并，我们把较复杂的一元一次方程变形为形如的简单方程。这种将复杂问题转化为简单问题的数学思想值得我们加以总结。知识点五 解一元一次方程（三）去括号和去分母如果一元一次

8、方程中含有括号，我们需要利用上一讲学习的去括号法则，将括号去掉，再将其转化为较简单的形式，利用移项和合并，最终化为最简单的方程，从而求出方程的解。例7、解下列一元一次方程（1）（2）思路导航：当方程中含有括号时，将括号去掉，转化为较为简单的方程。解答：（1）去括号，得移项，得合并，得系数化为1，得（2）去括号，得再去括号，得移项，得合并，得系数化为1，得点津：此例题比上一例题更为复杂，但是通过去括号可以将其转化为类似上一例题中较为简单的形式，这也是利用了转化的方式。另外，在对形如的式子进行去括号时，其实还是一个运用分配律的过程。有的方程未知数的系数是分数，而整数的运算比分数的运算简单、不容易出

9、错。因此，我们自然会想，有没有什么办法可以将分数化为整数？这个办法就是利用等式的性质2，在方程的左右两边同时乘以所有分母的公分母。我们以方程为例。这里有三个分母，其最小公倍数为12，在这个方程的左右两边同时乘以12，得利用乘法分配律，得即得到的这个方程就是上述我们能够解的简单方程了，解答过程如下：去括号，得移项，得合并，得例8、解下列一元一次方程（1） （2）思路导航：要清楚去分母的依据和步骤。解答：（1）方程两边同时乘以4，得去括号，得移项，得合并，得，即系数化为1，得（2）方程两边同时乘以12，得去括号，得移项，得合并，得系数化为1，得点津：去分母的过程，实际上就是将带分数的方程化为上述整

10、数系数方程的过程。大家一定要总结其中的“转化”思想。大家熟悉去分母的过程后就不必这样详细书写，只需写“去分母，得”即可。知识点六 解一元一次方程的一般步骤为更全面地讨论问题，我们以为例，看看解有分数系数的一元一次方程的步骤。这个方程各分母的最小公倍数为10，方程两边同时乘以10，于是方程变形为需要注意的是，方程左右两边的每一项都要乘以10，谨防漏乘；分数线本身具有括号的作用，所以去分母后先把括号添上。我们用下列流程图表示具体解答过程：这个流程图显示了解一元一次方程的一般步骤。解方程就是要求出其中的未知数（比如），通过去分母、去括号、移项、合并、系数化为1等步骤，就可以使一元一次方程逐步向着的简

11、单形式转化，这个过程主要依据了等式的性质和运算律等方法。例9、解方程思路导航：依据上述解一元一次方程的步骤即可解决。解答：去分母，得去括号，得移项，得合并，得系数化为1，得点津：一定要清楚每一步的依据是什么；每一步都是将复杂的方程转化为简单方程的过程。四、知识提炼导图五、目标期望通过本讲的学习，希望同学们了解什么叫方程的解，掌握解一元一次方程的步骤，包括去分母、去括号、合并、系数化为1，不但要会算，而且还要知道为什么可以这样算。另一方面，希望同学们在解一元一次方程的过程中，体会由繁杂到简单的转化思想，这种转化思想将会一直伴随在我们的学习中。六、下讲预告虽然同学们在本讲学习了一元一次方程的解法，

12、从理论上大家可以解任意的一元一次方程了。但是，大家一方面可能由于运算不熟练而在解题过程中出现很多错误；另一方面有的方程的结构决定了其可以简便计算，大家很可能由于没有见到过而解得比较繁琐。这就是我们下一讲需要解决的主要问题。【同步练习】（答题时间：45分钟）1、火眼金睛：（1）对于成立的等式来说，下列说法错误的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则（2）方程的解为（ ）A. B. 3C. D. 9（3）与方程同解的方程是（ ）A. B. C. D. （4）若与的和为0，则的值应为（ ）A. 7B. 2C. 1D. 0（5）一个个位是4的三位数，如果把这个数4换到最左边，所得的数

13、比原数的3倍还多98，则原数是（ ）A. 544B. 144C. 104D. 4042、对号入座：（1）已知是方程的解，则_；（2）已知，则代数式的值是_；（3）当时，方程中的的值为_；（4）当_时，代数式与代数式的值相等；（5）如果关于的方程与同解，那么_；3、牛刀小试：（1）解下列方程（2）如果方程与关于的方程的解相同，求的值。【试题答案】1、火眼金睛（1）D A项和B项中变形的依据都是利用了等式性质1；C项中变形的依据是利用了等式性质2，由于出现在条件的分母上，所以；而D项中的可能会等于0，所以不能两边同时除以。（2）D 去分母，得；去括号，得；移项，得；合并，得。（3）B 方法一是将题干和选项中的方程都解出来，看看哪个选项方程的解与题干方程的解相同。方法二是将题干方程解出来，得，然后将其代入选项中，看它是哪个选项方程的解。方法三是利用等式性质1（在这里是移项法则），看题干方程能变形为哪个选项方程。（4）A 由题意，得。去分母，得；去括号，得；移项，得；合并，得。（5）C 方法一是将选项中的数一一进行验证。方法二是设原数去掉个位数字得到的两位数为，则依据题意，得，解得，所以原数为。2、对号入座：（1） 将代入方程两边，应该相等，即，解这个关于的方程，得。（2）36 由，得；将代入，得。（3） 因为，所以；将代入方程，得，解得。（4） 由题意，得