2024-2025学年新教材高中数学第12章复数12.2.2复数的乘除运算课时素养评价含解析苏教版必修第二册

PAGE课时素养评价二十复数的乘除运算(20分钟35分)1.(2024·全国Ⅲ卷)复数QUOTE的虚部是 ()A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.因为QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTEi,所以复数QUOTE的虚部为QUOTE.【补偿训练】(2024·沈阳高二检测)已知复数z满意z(1+i)=1-i(i为虚数单位),则z的虚部为 ()A.-iB.iC.1D.-1【解析】选D.因为复数z满意z(1+i)=1-i,所以z=QUOTE=QUOTE=-i,所以z的虚部为-1.2.(2024·全国Ⅲ卷)复数QUOTE·(1+i)=1-i,则z= ()A.1-i B.1+i C.-i D.i【解析】选D.因为QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-i,所以z=i.3.复数QUOTE= ()A.-QUOTE-QUOTEi B.-QUOTE+QUOTEiC.QUOTE-QUOTEi D.QUOTE+QUOTEi【解析】选C.因为i2=-1,i3=-i,i4=1,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTEi.4.(2024·天津高二检测)设复数z=QUOTE(i是虚数单位),则z的共轭复数QUOTE=________.

【解析】因为复数z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2-3i,所以z的共轭复数QUOTE=2+3i.答案:2+3i5.(2024·上海高二检测)若2+i(i是虚数单位)是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根,则m+n等于________.

【解析】因为2+i是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根,所以(2+i)2+m(2+i)+n=0,所以2m+n+3+(4+m)i=0,所以QUOTE所以QUOTEm+n=1.答案:16.(2024·咸阳高二检测)计算:(1)(2+i)(2-i);(2)(1+2i)2;(3)QUOTE+QUOTE.【解析】(1)(2+i)(2-i)=4-i2=4-(-1)=5.(2)(1+2i)2=1+4i+(2i)2=1+4i+4i2=-3+4i.(3)原式=QUOTE+QUOTE=i6+i=-1+i.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.满意QUOTE=i(i为虚数单位)的复数z= ()A.QUOTE+QUOTEi B.QUOTE-QUOTEiC.-QUOTE+QUOTEi D.-QUOTE-QUOTEi【解析】选B.因为QUOTE=i,所以z+i=zi,所以i=z(i-1).所以z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTEi.2.已知复数z=QUOTE,QUOTE是z的共轭复数,则z·QUOTE等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.2【解析】选A.方法一:因为z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE+QUOTE,所以QUOTE=-QUOTE-QUOTE,所以z·QUOTE=QUOTE.方法二:因为z=QUOTE,所以|z|=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以z·QUOTE=QUOTE.3.(2024·长春高二检测)若复数QUOTE(a∈R,i是虚数单位)是纯虚数,则a的值为 ()A.-2 B.2 C.1 D.-1【解析】选B.QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTEi,依据复数为纯虚数故有QUOTE=0,QUOTE≠0,即a=2.【补偿训练】(2024·郑州高二检测)已知复数z满意(1+i)z=1-3i(i是虚数单位),若复数(1+ai)z是纯虚数,则实数a的值为________;若复数z的共轭复数为QUOTE,则复数QUOTE=________.

【解析】解得z=-1-2i,因为复数(1+ai)z是纯虚数,则(1+ai)(-1-2i)=-1+2a+(-a-2)i,所以-1+2a=0,且-a-2≠0,所以实数a的值为QUOTE.因为z的共轭复数为QUOTE=-1+2i,所以复数QUOTE=-1-QUOTEi.答案:QUOTE-1-QUOTEi4.若一个复数的实部与虚部互为相反数,则称此复数为“志向复数”.已知z=QUOTE+bi(a,b∈R)为“志向复数”,则 ()A.a-5b=0 B.3a-5b=0C.a+5b=0 D.3a+5b=0【解析】选D.因为z=QUOTE+bi=QUOTE+bi=QUOTE+QUOTEi.由题意知,QUOTE=-QUOTE-b,则3a+5b=0.【误区警示】解此题时,肯定要特殊留意“志向复数”与共轭复数的区分,留意共轭复数的思维定式.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.(2024·济南高一检测)下面是关于复数z=QUOTE的四个命题,其中的真命题为 ()A.|z|=2 B.z2=2iC.z的共轭复数为1+i D.z的虚部为-1【解析】选BD.因为z=QUOTE=QUOTE=-1-i,所以A:|z|=QUOTE,B:z2=2i,C:z的共轭复数为-1+i,D:z的虚部为-1.【光速解题】把复数z化简后,逐项验证,即可得到正确答案.6.(2024·济南高二检测)下面关于复数的四个说法中,结论正确的是 ()A.若复数z∈R,则QUOTE∈RB.若复数z满意z2∈R,则z∈RC.若复数z满意QUOTE∈R,则z∈RD.若复数z1,z2满意z1z2∈R,则z1=QUOTE【解析】选AC.A选项,设复数z=a+bi(a,b∈R),则QUOTE=a-bi(a,b∈R),因为z∈R,所以b=0,因此QUOTE=a∈R,即A正确;B选项,设复数z=a+bi(a,b∈R)则z2=QUOTE=a2-b2+2abi,因为z2∈R,所以ab=0,若a=0,b≠0,则z∉R,故B错;C选项,设复数z=a+bi(a,b∈R),则QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTEi,因为QUOTE∈R,所以QUOTE=0,即b=0,所以z=a∈R,故C正确;D选项,设复数z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R),则z1z2=QUOTE=QUOTE+QUOTEi,因为z1z2∈R,所以ad+bc=0,若QUOTE能满意ad+bc=0,但z1≠QUOTE,故D错误.三、填空题(每小题5分,共10分)7.(2024·成都高二检测)已知i2020(m+ni)=QUOTE(m∈R,n∈R),则复数z=m+ni的虚部是________.

【解析】因为i2020(m+ni)=QUOTE(m∈R,n∈R),所以m+ni=-QUOTE+QUOTEi,所以z=-QUOTE+QUOTEi,所以复数z的虚部是QUOTE.答案:QUOTE【补偿训练】(2024·济南高二检测)(多选题)已知集合M=QUOTE,其中i为虚数单位,则下列元素属于集合M的是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选BC.依据题意M=QUOTE中n=4kQUOTE时,in=1;n=4k+1QUOTE时,in=i;n=4k+2QUOTE时,in=-1;n=4k+3QUOTE时,in=-i,所以M=QUOTE.选项A中QUOTE=2∉M;选项B中,QUOTE=QUOTE=-i∈M;选项C中,QUOTE=QUOTE=i∈M;选项D中QUOTE=-2i∉M.8.(2024·郑州高二检测)已知:复数z=QUOTE+QUOTE,其中i为虚数单位.若z2+aQUOTE+b=2+3i,则实数a=________,b=________.

【解析】z=QUOTE+QUOTE=2i+iQUOTE=-1+3i,由z2+aQUOTE+b=2+3i得QUOTE+aQUOTE+b=2+3i,即QUOTE+QUOTEi=2+3i所以QUOTE解得QUOTE答案:-37四、解答题(每小题10分,共20分)9.(2024·杭州高二检测)已知z=-QUOTE+QUOTE.(1)QUOTE是z的共轭复数,求QUOTE+QUOTE+1的值;(2)求QUOTE的值.【解析】(1)由题知QUOTE=-QUOTE-QUOTE,所以QUOTE+QUOTE+1=QUOTE-QUOTE-QUOTE+1=0.(2)因为z3=QUOTE=1,所以1-z2019=1-QUOTE=1-1=0.所以QUOTE=1.10.(2024·上海高二检测)设z是虚数,ω=z+QUOTE是实数,且-1<ω<2.(1)求z的实部的取值范围.(2)设μ=QUOTE,求证:μ为纯虚数;(3)求ω-μ2的最小值.【解析】(1)因为z是虚数,所以可设z=x+yi,x,y∈R,且y≠0,所以ω=z+QUOTE=x+yi+QUOTE=x+yi+QUOTE=x+QUOTE+QUOTEi,可得QUOTE⇒x2+y2=1,此时,ω=2x⇒-QUOTE<x<1;(2)因为μ=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTEi,因为y≠0,-QUOTE<x<1,所以μ为纯虚数;(3)ω-μ2=2x-QUOTE,然后化简和计算得到ω-μ2=2(x+1)+QUOTE-3≥2QUOTE-3=1.当且仅当x=0时等号成立,所以ω-μ2的最小值为1.1.(多选题)对随意复数ω1,ω2,定义ω1*ω2=ω1QUOTE,其中QUOTE是ω2的共轭复数,对随意复数z1,z2,z3,有如下四个命题:①QUOTE*z3=QUOTE+QUOTE;②z1*QUOTE=QUOTE+QUOTE;③QUOTE*z3=z1*QUOTE;④z1*z2=z2*z1.则真命题是 ()A.① B.② C.③ D.④【解析】选AB.由题意QUOTE*z3=QUOTE=z1QUOTE+z2QUOTE=QUOTE+QUOTE,故①正确;z1*QUOTE=z1QUOTE=z1(QUOTE+QUOTE)=z1QUOTE+z1QUOTE=QUOTE+QUOTE,故②正确;QUOTE*z3=QUOTE=z1QUOTE,z1*QUOTE=z1*QUOTE=z1QUOTE=z1QUOTEz3,故