广东省揭阳市4月高三第二次模拟考试理科数学试题

1、广东省揭阳市2014年4月高三第二次模拟考试理科数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分1设全集，则A B C D 2.已知是虚数单位），则实数的值为A. B.1 C. 2 D. 3已知等差数列中,前7项和,则等于A.18 B. 20 C.24 D. 324运行如图1的程序框图，则输出s的结果是A. B. C. D. 5已知命题：函数是最小正周期为的周期函数，命题：函数在上单调递减，则下列命题为真命题的是A. B. C. D. 6某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：x681012y2356根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程

2、中的的值为，则记忆力为14的同学的判断力约为（附：线性回归方程中，其中，为样本平均值)A7 B C8 D7 若，则A B C D8已知点、的坐标满足不等式组，若，则 的取值范围是A. B. C. D. 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（913题）9不等式的解集为 图 210的展开式中的系数为 11过点(2，1)作圆的弦，其中最短的弦长为 12已知一棱锥的三视图如图2所示，其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则该棱锥的体积为 13已知函数为偶函数，且若函数，则= 图 3（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）14(坐标系与

3、参数方程选做题)在极坐标系中，过点引圆的一条切线，则切线长为 15（几何证明选讲选做题）如图（3），是圆O的切线，切点为，交圆于两点，且则的长为 .三解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）在中，已知且（1）求角B和的值；（2）若的边，求边AC的长17. （本小题满分12分）下表是某市从3月份中随机抽取的10天空气质量指数（AQI）和“PM2.5”（直径小于等于2.5微米的颗粒物）24小时平均浓度的数据，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良日期编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10空气质量指数（AQI）17940981

4、24291332414249589“PM2.5”24小时平均浓度（）13558094801001903877066（1）根据上表数据，估计该市当月某日空气质量优良的概率；（2）在上表数据中，在表示空气质量优良的日期中，随机抽取两个对其当天的数据作进一步的分析，设事件M为“抽取的两个日期中，当天PM2.5的24小时平均浓度不超过75”，求事件M发生的概率；（3）在上表数据中，在表示空气质量优良的日期中，随机抽取3天，记为“PM2.5”24小时平均浓度不超过75的天数，求的分布列和数学期望18（本小题满分14分）已知等比数列满足：公比，数列的前项和为，且（）.（1）求数列和数列的通项和；（2）设，

5、证明：.19（本小题满分14分）如图4，已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，且ACB90°，BAC30°，BC1，AA1，点P、M、N分别为BC1、CC1、AB1的中点（1）求证：PN/平面ABC；（2）求证：AB1A1M；（3）求二面角C1A B1A1的余弦值 20（本小题满分14分） 图4已知抛物线的方程为，直线的方程为，点A关于直线的对称点在抛物线上（1）求抛物线的方程；（2）已知，点是抛物线的焦点，M是抛物线上的动点，求的最小值及此时点M的坐标；（3）设点B、C是抛物线上的动点，点D是抛物线与轴正半轴交点，BCD是以D为直角顶点的直角三角形试探究直线BC是

6、否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由 21（本小题满分14分）已知函数（为常数）（1）函数的图象在点（）处的切线与函数的图象相切，求实数的值；（2）若，、使得成立，求满足上述条件的最大整数；（3）当时，若对于区间1,2内的任意两个不相等的实数，都有成立，求的取值范围一、选择题：CDAB DBAD解析：7.因，而，故，所以选A.8.设，由条件知：、，、，则，当且仅当点时上式取得最小值-7，当且仅当点点时，上式取最大值7.故选D.二、填空题：9;10-120 ；11；1216，132014，14，15. .解析： 12. 该几何体是底面为直角梯形的四棱锥，依题意得.13.由函数

7、为偶函数得，则，故.14把A点和圆化为直角坐标系下的坐标和方程得，圆，A点到圆心的距离为6，半径为2，所以切线长为15由可得: ,由已知,可解得,所以圆直径为3,又由可解得三.解答题：16.解（1）由，得且-1分可得-2分-3分-5分 -6分在ABC中，-7分-9分（2）在ABC中，由正弦定理得：，-10分-12分17.解：（1）由上表数据知，10天中空气质量指数（AQI）小于100的日期有：A2 、A3 、A5 、A9 、A10共5天，-1分故可估计该市当月某日空气质量优良的概率.-3分（2）由（1）知10天中表示空气质量为优良的天数为5，当天“PM2.5”的24小时平均浓度不超过75有编号

8、为A2 、A9 、A10，共3天，-4分故事件M发生的概率.-6分（3）由（1）知，的可能取值为1,2,3. -7分且-8分-9分，-10分故的分布列为：123-11分的数学期望-12分18.(1) 解法一：由得，-2分由上式结合得，则当时， -4分-5分，-7分，-8分数列是首项为，公比为4的等比数列，-9分，.-10分【解法二：由得，-2分由上式结合得，则当时，-4分-5分， -6分，-8分，-9分.-10分 (2) 由得，-11分-13分【或】-14分19（1）证明：连结CB1，P是BC1的中点 ，CB1过点P，-1分N为AB1的中点，PN/AC,-2分又面，面,PN/平面ABC. -3

9、分（2）证法一：在直角ABC中，BC1，BAC30°， ACA1C1-4分棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，且，以点C1为原点，以C1B1所在的直线为x轴建立如图所示空间直角坐标系如图示，则，, , -6分,-7分-8分 A1MAB1-9分【证法二：连结AC1，在直角ABC中，BC1，BAC30°， ACA1C1=,-4分-5分，即AC1A1M. -6分B1C1C1A1，CC1B1C1，且B1C1平面AA1CC1，-7分B1C1A1M，又，故A1MA B1C1，-8分面A B1C1， A1MAB1. -9分】【证法三：连结AC1，在直角ABC中，BC1，BAC30&#

10、176;， ACA1C1-4分设AC1A1，MA1C1,-5分+90° 即AC1A1M. -6分B1C1C1A1，CC1B1C1，且B1C1平面AA1CC1，-7分B1C1A1M，又故A1M面A B1C1，-8分面A B1C1， A1MAB1. -9分】（3）解法一：棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，且，以点C1为原点，以C1B1所在的直线为x轴建立如图所示空间直角坐标系，依题意得，,-11分设面的一个法向量为由得,令得.-12分同理可得面的一个法向量为-13分故二面角的平面角的余弦值为-14分【解法二：过C1作C1EA1B1交A1B1于点E，过E作EFAB1交AB1于F，连结

11、C1 F，平面AA1BB1底面A1B1C1， C1E平面AA1BB1， C1EAB1， AB1平面C1EF， AB1C1F，故为二面角C1A B1A1的平面角，-11分在中，,-12分又故-13分-14分】20.解：(1)设点A(3,-1)关于直线的对称点为坐标为(x,y),则解得-3分把点（1，3）代入，解得a = 4，所以抛物线的方程为-4分（2）是抛物线的焦点，抛物线的顶点为（0，-1），抛物线的准线为，-5分过点M作准线的垂线，垂足为A,由抛物线的定义知,=,当且仅当P、M、A三点共线时“=”成立， -7分即当点M为过点P所作的抛物线准线的垂线与抛物线的交点时，取最小值，这时点M的坐标为-9分（3）BC所在的直线经过定点，该定点坐标为，令，可得D点的坐标为设，显然，则-10分-11分，即直线BC的方程为即-13分所以直线BC经过定点.-14分21.解：（1），函数的图象在点（）处的切线方程为，-2