常微分方程毕业论文

1、安阳师范学院本科学生毕业论文一阶常微分方程初等解法作 者 田 丰 系（院） 数学与统计学院 专 业 数学与应用数学 年 级 2010级 学号 100801066 指导教师 李 波 论文成绩 日期 2014年5月10日 学生诚信承诺书本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果.尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意.签名： 日期： 论文使用授权说明本人完全了解安阳师范

2、学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文.签名： 导师签名：日期： 一阶常微分方程初等解法田 丰(安阳师范学院 数学与统计学院，河南 安阳 100801066)摘 要: 文章对一阶常微分方程运用变量分离,积分因子,恰当微分方程等各类初等解法进行了归纳与总结,同时结合例题演示了常微分方程的求解问题。关键词: 一阶常微分方程;变量分离;恰当微分方程;积分因子1 引言常微分方程在微积分概念出现后即已出现,对常微分方程的研究也可分为几个阶段.发展初期是对具体的常微分方程希望能用初

3、等函数或超越函数表示其解,属于“求通解”时代.莱布尼茨曾专门研究利用变量变换解决一阶常微分方程的求解问题,而欧拉则试图用积分因子处理.但是求解热潮最终被刘维尔证明里卡蒂方程不存在一般初等解而中断.加上柯西初值问题的提出,常微分方程从“求通解”转向“求定解”时代.在20世纪六七十年代以后,常微分方程由于计算机技术的发展迎来了新的时期,从求“求所有解”转入“求特殊解”时代,发现了具有新性质的特殊的解和方程,如混沌（解）、奇异吸引子及孤立子等. 微分方程里各项的次数，其实说的是方程各项中未知函数（y）及其导数（y'，y''，y'''）的次数但是一般接触

4、到的有解析解的微分方程都不会超过1次，所以齐次一般指的就是方程各项中未知函数（y）及其导数（y'，y''，y'''）的次数为1也就是说方程各项中必须出现且只出现单独的y，y'，y''，y'''，而不出现它们的平方、n次方，也不出现它们互相相乘，也不出现常数项（次数为0）其中的常见的求解一阶微分方程有：一般变量分离；齐次微分方程，；常数变易（伯努利微分方程）；恰当微分方程及积分因子法这些都是常见的解法常微分方程的研究还与其他学科或领域的结合而出现各种新的分支,如控制论、种群分析、种群生态学、分支理论、

5、泛函微分方程、脉冲微分方程等.总之,常微分方程属于数学分析的一支,是数学中与应用密切相关的基础学科,其自身也在不断发展中,学好常微分方程基本理论和实际应用均非常重要.因此本文对一阶常微分方程的初等解法进行了简要的分析,同时结合例题,展示了初等解法在解题过程中的应用.2 一阶常微分方程的初等解法2.1 变量分离法 一般变量分离法, 的方程,称为变量分离方程,分别是,的连续函数.这是一类最简单的一阶函数.如果,我们可将改写成,这样,变量就分离开来了.两边积分,得到 . 这里我们把积分常数明确写出来,而把, 分别理解为,的原函数.常数的取值必须保证有意义,如无特别声明,以后也做这样理解.因式不适合情

6、形.但是如果存在使,则直接验证知也是的解.因此,还必须寻求的解,当不包括在方程的通解中时,必须补上特解 例1 求解方程 解 将变量分离,得到,两边积分,即得 ,因而,通解为.这里是任意正常数,或者解出,写出显函数形式的解 .例2 求解方程 , 的通解,其中的连续函数解 将变量分离,得到 ,两边积分,即.这里是任意常数.由对数定义,有,即,令,得到 , 此外,显然也是方程的解,如果允许中允许则也就包括在中,因而的通解为,其中为任意常数 用变量分离解齐次微分方程.1 用变量分离法解齐次微分方程类型一形如,的方程,称为齐次微分方程,这里是的连续函数.作变量变换,即,于是.代入原方程可得,整理后,得到

7、. 因是一个变量分离方程.则可按照变量分离方法求解,然后代回原来的变量,即可得到原方程的解 例3 求解方程 解 这是齐次微分方程,以代入,则原方程变为即 . 将上式分离变量,既有两边积分,得到.这里是任意常数,整理后,得到=得到 . 此外,方程还有解.如果在中允许,则也就包括在中,这就是说,方程的通解为带回原来的变量,得到方程的通解为 例4 求解方程（） 解 将方程改写为,这是齐次微分方程.以代入,则原方程变为 分离变量,得到两边积分,得到的通解即当时,.这里c时任意常数.此外,方程还有解注意,此解并不包括在通解中.代入原来的变量,即得原方程的通解为 .2用变量分离法解齐次微分方程类型二形如,

8、 的方程不可直接进行变量分离,但是可以经过变量变换后化为变量分离方程,这里,均为常数.可分为三种情况来讨论:(常数)的情形这时方程可化为,有通解,其中为任意常数. 的情形.令,这时有.是变量分离方程及不全为零的情形因为方程右端分子,分母都是的一次多项式,因此代表平面上两条相交的直线,设交点为,若令则方程可化为从而方程变为因此,求解上述变量分离方程,最后代回原方程,即可得到原方程的解.的情形,此时直接变换即可.例5 求解方程.解 令,则有,代入所求方程,整理可得,由变量分离得,故所求方程的解为.例6 求解方程. 解 解方程组得令代入上式方程,则有.再令则上式可化为,两边积分,得,因此,记并带回原

9、变量,得,.此外容易验证,即也是方程的解 ,因此方程的通解为,其中为任意的常数.2.2常数变易法常数变易法类型一一阶线性微分方程其中在考虑的区间上是的连续函数,若,方程变为称其为一阶齐次线性微分方程,若称其为一阶非齐次线性微分方程.变易分离方程,易求得它的通解为这里是任意常数.现在讨论非齐次线性方程的通解的求法.不难看出,是特殊情形,两者既有联系又有差别,因此可以设想它们的解也应该有一定的联系而又有差别,现试图利用方程的通解的形式去求出方程的通解,显然,如果中恒保持为常数,它们不可能是的解.可以设想在中将常数变易为的待定函数,使它满足方程,从而求出为此,令两边同时微分,得到代入原方程,得到即两

10、边同时积分,得到这里是任意常数,求得到就是方程的通解.这种将常数变为待定函数的方法通常被称之为常数变易法.例7 求方程的通解解 原方程可改写为,即 , 首先,求出齐次线性微分方程,的通解为.其次,利用常数变易法求非齐次线性微分方程的通解把看成,将方程两边同时微分得.代入,得到,两边同时积分,即可求得.从而,原方程的通解为,这里是任意常数.常数变易法类型二形如 , 的方程,称为伯努利方程,这里,为的连续函数,是常数.利用变量变换可将伯努利微分方程化为线性微分方程.事实上,对于,用乘的两边,得到,引入变量变换,从而.代入方程,得到,这是线性微分方程,可按照前面介绍的方法来求出它的通解,然后代换原来

11、的变量,便得到方程的通解.此外,当时,方程还有解.例8 求方程的通解解 这是时的伯努利微分方程.令,算得,这是线性微分方程,求得它的通解为.代入原来的变量,得到,或者,这就是原方程的通解.此外,方程还有解2.3 利用恰当微分方程求解法对于一阶微分方程,若有,则该方程必为恰当微分方程.下面讨论如何求得该恰当微分方程的解.把看作只关于自变量的函数,对它积分可得由此式可得,由此可得,又因为,故等式右边只含有,积分可得,进而可得.则恰当微分方程的通解为,这里是任意常数.例10 求解方程. 解 因为,故方程是恰当微分方程.把方程重新分项组合,得到,即,或者写成.于是,方程的通解为,这里是任意常数2.4

12、利用积分因子求解法函数为积分因子的充要条件是,即.假设原方程存在只与有关的积分因子,则,则为原方程的积分因子的充要条件是,即仅是关于的函数.此时可求得原方程的一个积分因子为.同样有只与有关的积分因子的充要条件是是仅为的函数,此时可求得方程的一个积分因子为 例9 求解方程. 解 这里方程不是恰当的.因为只与有关,故方程有只与的积分因子,以乘方程两边,得到,或者写成,因而通解为.3 结束语文章详细介绍了一阶常微分方程的初等解法，即把一阶常微分方程的解通过初等函数或它们的积分表达出来。但一般的微分方程无法求解，只能是对某些类型通过相应的方法求解。文章主要介绍一阶常微分方程的一些可解类型和相应的求解方

13、法，这些方法是在微分方程发展的早起由牛顿等发现的。文章也介绍了求解一阶微分方程的方法和应用一阶微分方程来求解的例子。关于一阶常微分方程的定义和初等解法，前人已经做出了大量的研究和贡献，得出了大量的成果，这里笔者只是进一步总结和归纳了前人的研究成果。The Fundamental methods of the first-order ordinary differential equationTian Feng (School of mathematics and Statistics Anyang Normal University, Anyang, 4

14、55002)Abstract: In this thesis, we summarize the fundamental methods of the first-order ordinary differential equation. At the same time, we analysis the various types of fundamental methods such as the separation of variables, integrating factor and the exact differential equation. Combined with ex

15、amples, we show how the ordinary differential equations solve problems by transforming them into the problems of integration. Key Words: first-order ordinary differential equation; separation of variables; exact differential equation; integrating factor参考文献1 王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松.常微分方程（第三版）M.北京:高等教育出版社;.2 杨继明,常系数线性微分方程