2019年浙江省高中数学竞赛卷及评分标准

1、2019 年浙江省高中数学竞赛试卷说明：本试卷分为 A 卷和 B 卷：A 卷由本试卷的 22题组成，即 10 道选择题，7 道填空题、3 道解答题和 2 道附加题；B 卷由本试卷的前 20 题组成，即 10 道选 择题，7道填空题和 3 道解答题。一、选择题（本大题共有 10 小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号 填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5 分，共 50 分）4丄.4丄.221.化简三角有理式cos Xsin6Xsin2XCOS2X的值为(A )sin x+cos x+2sin xcos xA.1 B. sinx cosx C. sin xcosx D. 1+

2、sin xcosx解答为 A。分母=(sin2x cos2x)(sin4x cos4x - sin2x cos2x) 2sin2x cos2x4设 a,b 为两个相互垂直的单位向量。已知OP=a，方Q=b， OR=ra +kb .若厶 PQR 为等边三角形，则 k，r 的取值为（C ）=si nxcSscs2ixi也可以用特殊值法2.若p :（x2xco sq : x：-2，则p是q的（ B ）B. 必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件解答为 B。p 成立=x_-3，所以 P 成立，推不出 q 一定成立。3.集合 P=xx R, x + 3+|x + 6 =3，则集合CRP为( D )A.

3、 xx 6,或B. xxv6,或XA-3C.XX解答：Do画数轴，由绝对值的几何意义可得-6 x-3，P = x 6 兰 x 兰一 3, CRP =x x -6,或 x a -3。1 - . 3解答.C.PQ=| QR P,R即 r2(k -1)2(r -1)2k2、2,5.在正三棱柱 ABC A1B1C1中，若 AB2BB,则 CA 与 GB 所成的角的大小是（C ）解答：C。建立空间直角坐标系，以AB1所在的直线为x轴，在平面AG上垂直于A1B1的直线为y轴，BB1所在的直线为z轴。则AC、,2,0,0), C1( ,0), C( , ,1),2 2 2 2B(0,0,1),CA1=(辽,

4、-,-1)QB =(一辽 GB =0O2 2 2 26.设 a?,IbJ分别为等差数列与等比数列，且=4,ab4=1，则以下结论正确的是（A ）A.a?b?B.83：匕3C. b5D.b6解答：AO设等差数列的公差为 d,等比数列公比为 q,由 a1=4,a4=b4=1,得 d=-1,q=-2= 2,b34; a5=0,b-2;a-1,b4247.若R ,则（1 2x）15的二项式展开式中系数最大的项为（ D ）A.第 8 项 B.第 9 项 C.第 8 项和第 9 项 D.第 11 项2932解答：D. T讥 2，由 T Tr1, Tr八 Tr产三乞心石,r=10，第 11 项最大。33解得

5、r=k=。A. 60B. 75C. 90D. 105得 a-=3,b- =2-;a38. 设f(x)二x=COS-51 1二f (loge),b = f (log二一),c = f (log11-2），则下述关系e解答：xnD。函数f（x） =cos-为偶函数，在（0, ） 上,f（x）二COSX为减式正确的是（ D ）A. a b cB. b c aC. cabD. b a c而loge丄=-loge二,log一1,log14二2loge二，兀e loge兀e兀0： ：归：迥二：二所以 b a c5loge二5549.下面为某一立体的三视图，则该立体的体积为（ C ）10.设有算法如下:A=

6、H如果输入 A=144, B=39,则输出的结果是（B ）A. 144 B. 3C. 0D. 12解答 B（ 1）A=144，B=39，C=27:（ 2）A=39，B=27，C=12：（ 3）A=27，B=12，C=3:（ 4）A=12，B=3，C=0。所以 A=3。二、填空题（本大题共有 7 小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7 分,共 49 分）11. 满足方程 x -2009 - 2 x - 2010，x - 2009 -2 2010 所有实数解为以及高为 1 的矩形俯视图： 半径为 1 的圆A.B.C.D.解答：C.根据题意，该立体图为圆柱和一个1/4 的球的组合体正视图：半径为

7、 1 的半圆以及高为 1 的矩形1侧视图：半径为 1 的1圆4输人井零疋整社九B垛以R的金敌2010 x2011。解答 变形得.、 （x2010 1）2. （ x2010 1）2=2=0 空、 x20101，解得 2010 x2011。xx12.xR,函数f（x）=2sin3cos的最小正周期为12二.23xx解答2sin 的周期为 码 3c0 的周期为 6 兀 所以函数 f x 的周期为 兀。1 22313. 设 P 是圆x2y36上一动点，A 点坐标为 20,0。当 P 在圆上运动时，线段 PA 的中点 M 的轨迹方程为（x-10）2 y2= 9.解答 设 M 的坐标为（x, y），设 P

8、 点坐标为（x0, y0）,则有x = ?20二号 2 2= X。= 2 x - 20, y= 2 y，因为 P 点在圆上，所以（2 x - 20）（2 y） 36所以 P 点轨迹为（x -10）2y2=9。14. 设锐角三角形 ABC 的边 BC 上有一点 D,使得人。把厶 ABC 分成两个等腰三角 形，试求 ABC 的最小内角的取值范围为 30 x45 或 22.5x30.解答女口图，（1）AD=AC=BD（2）DC=AC AD=BD(1)在 （1） 中， 设最小的角为 x， 则 2x90 得 x45 又 x+180-4x30 所以 30 x45；在（2） 中， 设最小的角为 x,则 3x

9、90 得 x30 又 180-4x22.5 所以 22.5x30 xyz = (10_x)(10_y)(10 _z)(*1)(2)由以上分组可以知道，每个奇数组中出现一个1,所以第 2010 个 1 出现在第 4019 组，而第 4019 组中的 1 位于该组第 2010 位，所以第 2010个值为 1 的 项的序号为(1+2+3+- +4018) +2010=809428。19. 设有红、黑、白三种颜色的球各 10 个。现将它们全部放入甲、乙两个袋子 中，要求每个袋子里三种颜色球都有，且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。 问共有多少种放法。解：设甲袋中的红、黑、白三种颜色的球数为x, y,

10、z，则有1_x, y,z_9，且1 115.设z是虚数zZ 且 JW2则z的实部取值范围为解答 设 z = a bi = -1：a bi: 2=b -2=0= b = 0 或 a2b2= 1a2+b2a2+b22 21当b =0，无解；当a2 b2=1 ：一 a：1。216.设f (x) =k(x2-x 1) -x4(1 -x)4。如果对任何x 0,1，都有f(x) _ 0,则 k的最小值为需解答42x (1 -x)27xX 12123312因为x-x(x-2)d，xs 时x%1最小值为1 1分子, X(1X), x1x4(1-x)4取最大值(2)8,所以 k 的最小值为17.设p,qR，f

11、(x) =x2+ p|x|+q。当函数f(x)的零点多于 1 个时，f(x)在 以其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值为0 或 q.解答 因为函数f(x)=x2 p | x| q为偶函数，由对称性以及图象知道，f (x)在 以其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值0 或 q。三、解答题(本大题共有 3 小题，每题 17 分，共 51 分)解(1)将数列分组：入八 2、八 2 312. k、 .所以数列的第 2010 项属于第 63 组倒数第 7 个数，即为577- 10 分- 17 分112 12 312 k18.设数列-,一，,，12 13 2 1 k k -11问：(1)这个

12、数列第 2019 项的值是多少；(2)在这个数列中，第 2010 个值为 1 的项的序号是多少因为 1+2+3+62=1953; 1+2+3+63=2019,-5 分 即有xyz =500 -50(x y z) 5(xy yz zx)。(*2)于是有 5 xyz。因此 x,y,z 中必有一个取 5。不妨设 x = 5，代入(*1 )式，得到y z =10。-10 分此时，y 可取 1, 2,，8, 9 (相应地 z 取 9, 8,，2, 1),共 9 种放法。同 理可得y=5 或者 z=5 时，也各有 9 种放法，但有 x = y =z 时二种放法重复。因此 可得共有9X3-2 = 25 种放

13、法。 - 17 分220.已知椭圆 笃-y2=1(a1), Rt ABC 以 A (0, 1)为直角顶点，边 AB、a27与椭圆交于两点 B、0 若厶 ABC 面积的最大值为一，求a的值。81解：不妨设 AB 的方程y二kx 1 k 0，则 AC 的方程为 y 二一x T。kBC得:=1(1 a2k2)x22a2kx =0 二 xB-2a2k2 2)1 a2k2得:(a2k2)x2-2a2kx = 0= xC=2a2ka2k2(2 2)a2t10O2a4t2a4SLABC -2,2,2八2a t +(a -1)令旦曰=(a3)(8a23a9)4 aUa=3297a -1816-1 2= a .

14、 1 、2,. a =-297(不合题意，舍去)，a = 3.-17 分a16所以，SDEL=SBCSFDSECSE= 口仆丫)仆。)一丫仆_B)SABCSABC=(1 - 1)(1 -：)(1 -)“,等号成立 u:=1 或=1 或 =1。-20 分因此 S.DEF亠 WSABC，等号成立，当且仅当，D 与 C 重合，或 E 与 A 重合，或 F 与 B重合。-25 分322. （ 1 ）设a 0，平面上的点如其坐标都是整数，则称之为格点。今有曲线y=ax过格点（n，m），记1x兰n对应的曲线段上的格点数为 N。证明:进而设 a 是一个正整数，证明:a2-(n -1)n (3n 1)。4（注

15、x表示不超过 x 的最大整数）因为a2t -2 2(a -1)22a(a-1),a2-1时等号成立。因此当t=a2-1,(SABCmaxa2-1- 14 分四、附加题： （本大题共有 2 小题，每题 25 分，共 50 分。）记a = -BD.PBCICE7IAFCA AB证明:SIDEF-证明BD*BFsin BBCBA sin B(1_ ).- 5 分同理- 10 分21.设 D, E, F 分别为 ABC 的三边 BC, CA, AB 上的点。由SBFDS.DECS.ABCan3k =1证明 (1)考虑区域0：x岂n,0：y m,且该区域上的格点为 nm 个。又该区域由区域 E:0：x _ n,0：y _ ax3,以及区域 F：0：y _ m,0：x _3y组成。在区域 E 上，直线段x=k(kN；1_k_ n)上的格点为ak3个,n所以区域 E 上的 格点数为v