311-312空间向量及其加减与数乘运算张兴山

1、aABABaaABaAB平面向量平面向量空间向量空间向量具有大小和方向的量具有大小和方向的量具有大小和方向的量具有大小和方向的量 几何表示法几何表示法几何表示法几何表示法字母表示法字母表示法 字母表示法字母表示法 向量的大小向量的大小 向量的大小向量的大小 长度为零的向量长度为零的向量 长度为零的向量长度为零的向量模为模为1的向量的向量模为模为1的向量的向量长度相等且方向长度相等且方向相反的向量相反的向量长度相等且方向长度相等且方向相反的向量相反的向量长度相等且方向相同长度相等且方向相同 的向量的向量长度相等且方向相同的长度相等且方向相同的向量向量定义定义表示法表示法向量的模向量的模零向量零向

2、量单位向量单位向量相反向量相反向量相等向量相等向量一：空间向量的基本概念一：空间向量的基本概念ababOABb结论结论：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，内，成为同一平面内的两个向量。内，成为同一平面内的两个向量。思考：思考：空间任意两个向量是否都可以平移到空间任意两个向量是否都可以平移到同一平面内？为什么？同一平面内？为什么？O说明空间向量的运算就是平面向量运算的推广空间向量的运算就是平面向量运算的推广2.凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平面向量凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。中有关结论仍适用于它们。平面

3、向量概念加法减法数乘运算运算律定义 表示法 相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量及其加减与数乘运算空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零bkakbak )()()(cbacbaabba加法交换律加法结合律数乘分配律abba加法交换律bkakbak )(数乘分配律加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则数乘:ka,k为正数,负数,零加法结合律成立吗？例如例如: :a3a3a三、空间向量的数乘运算四、空间向量加法与数乘向量运算律加法交换律：加法交换律：a + b = b + a；加法结合律：加法结合律：(a + b) + c =a + (b +

4、 c)；abca + b + c abca + b + c a + b b + c （3）.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律空间向量的数乘运算满足分配律及结合律()( )()ababaaaaa 即： （）五、共线向量五、共线向量: :零零向量与任意向量共线向量与任意向量共线. .1.1.空间共线向量空间共线向量: :如果表示空间向量的如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合有向线段所在直线互相平行或重合, ,则这些则这些向量叫做共线向量向量叫做共线向量( (或平行向量或平行向量),),记作记作ba/2.2.空间共线向量定理空间共线向量定理: :对空间任意两个对空间任意两个向量向量

5、的充要条件是存在实的充要条件是存在实数使数使baobba/),(,ba由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题中点公式：中点公式： 若若P P为为ABAB中点中点, , 则则12 OPOAOBOABP3.A、B、P三点共线的充要条件三点共线的充要条件A、B、P三点共线三点共线APt AB A(1)OP xOyOB x y 六、共面向量六、共面向量: :1.1.共面向量共面向量: :平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量, ,叫做共面向量叫做共面向量. .注意：注意：空间任意两个向量是共面的，但空间空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量任意三个向量

6、既可能共面，也可能不共面既可能共面，也可能不共面dbacOAabBCPp C3.空间四点空间四点P、A、B、C共面共面例例1、给出以下命题：、给出以下命题：（1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；（2）若空间向量）若空间向量 满足满足 ，则，则 ；（3）在正方体）在正方体 中，必有中，必有 ；（4）若空间向量）若空间向量 满足满足 ，则，则 ；（5）空间中任意两个单位向量必相等。）空间中任意两个单位向量必相等。其中不正确命题的个数是（其中不正确命题的个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4a b 、ab| |ab1111ABCDABC D1

7、1ACACm n p 、 、,mn np mp C化简结果的向量：列向量表达式，并标出，化简下已知平行六面体DCBAABCD ；BCAB ；AAADAB21CCADAB) (31AAADABABCDABCD例2ABCDA B C D例2已知平行六面体，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：；BCAB 解：ABCDABCDBCAB AC；AAADABAAADABAAAC CCAC ACABCDA B C D例2已知平行六面体，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：21CCADAB设M是线段CC的中点，则解：21CCADABCMAC AMABCDABCDM) (31AAADAB设G是线段A

8、C靠近点A的 三等分点，则GABCDA B C D例2已知平行六面体，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：) (31AAADABABCDABCDM解：31ACAG例3：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1111111 )3(2 )2(ACxADABACACxBDADACxCCDAAB1111 ) 1 (例3：已知平行六面体ABCD- -A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1CCDAAB1111 ) 1 (解. 1 1111xACCCCBABACxCCDAAB1111 ) 1 (例3：已知平行六面体ABC

9、D- -A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1112 )2(BDAD 111BDADAD)(111BDBCAD111CDAD 1AC1112 )2(ACxBDAD. 1x解：例3：已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D111 ) 3 (ADABAC)()()(11ADAAABAAABAD)( 21AAABAD12AC. 2x111ACxADABAC解：题型题型二二向量共线问题向量共线问题【例例4】例例5.如图，已知平行四边形如图，已知平行四边形ABCD，过平，过平面面AC外一点外一点O作射线作射线OA、OB、O

10、C、OD，在四条射线上分别取点在四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使，并且使求证：求证：四点四点E、F、G、H共面；共面；平面平面EG/平面平面AC.,OEOFOGOHkOAOBOCODOBAHGFECD例例5 (课本例课本例)已知已知 ABCD ，从平面从平面AC外一点外一点O引向量引向量 A,OEkOA OFkOB OGkOC OHkOD 求证：求证：四点四点E、F、G、H共共面；面；平面平面AC/平面平面EG.BCDOEFGH证明：证明：四边形四边形ABCD为为 ACABAD （）EGOGOE kOCkOA ()k OCOA kAC （）代）代入入()k ABAD ()k OBOAO

11、DOA OFOEOHOE 所以所以 E、F、G、H共面。共面。EFEH 例例5 已知已知 ABCD ，从平面从平面AC外一点外一点O引向量引向量 ,OEkOA OFkOB OGkOC OHkOD 求证：求证：四点四点E、F、G、H共共面；面；平面平面AC/平面平面EG。证明：证明：由面面平行判定定理的推论得：由面面平行判定定理的推论得：EFOFOE kOBkOA ()k OBOA kAB 由知由知EGkAC /EGAC/EFAB/EGAC面面面面ABCDOEFGH 共线向量共线向量 共面向量共面向量定义定义向量所在直线互相平向量所在直线互相平行或重合行或重合平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量,