特征函数与矩函数的关系

1、1)()(0XjEdxjxxfddXXdxexfxfXxjXXX)()(:),(其特征函数为的概率密度为设随机变量dxejxxfdxeddxfddxjXxjXX)()()(2)()(0nnnXnXnXEjdxjxxfdd)(0XjEddX0)(ddjXEX0)()(nXnnnddjXEdxejxxfddxjnXnXn)()(3nnxxxfnxxxfxxxfxfxf)(!1)( 21)( )()(00)(200000nnxfnxfxffxf)0(!1)0( 21)0( )0()()(200 xnnXXXXXn)0(!1)0(21)0()0()()(2 !)(!)()(000njXEnddnnnn

2、nXnnX400)(ln)()()(XnnnXnnnnddjddjc阶累积量的nX!)()(0njXEnnnX000!)(!)()(ln)(nnnnnXnnXXnjcndd5.22 . 1和各阶累积量的各阶矩变量求数学期望为零的高斯例X22221)(xXexf2222222eeFTt0)()(022022ejddjXEX202222202222)()()(2222eeddjXEX222222221)()(eexfFTXX)(X6为奇数为偶数nnnXEnn0) 1(5310)()(Xnnnnddjc2)(ln)(22XX222)(eX0)(0201jddjcX20202222)()(Xddjc)

3、2(0ncn7.,01)(的随机变量区间内均匀分布为在则称其它的概率密度满足如果随机变量baXbxaabxfXX8bxbxaabaxaxxF10)(:概率分布函数为12)(,222abbam其它01)(bxaabxfX9222)(21)(:mxXexfX的概率密度为变量一维高斯分布的随机10mXY:处理对高斯变量进行归一化222)(21)(mxXexf11之间的相关系数与是为其数学期望和方差分别也是高斯变量则和其数学期望和方差为为高斯变量若jiijjijiijniiYniiYniiiiiXXrrmmYXYmX2:,122112niiYiX122:,则上面的方差应修正为之间是互相独立的若1222

4、)(:eYY的特征函数为归一化高斯变量222)()(mjYmjXeemYXmXY13)()(2)()1(21221212221212122222212211212112121),(:,mxmxmxrmxrXerxxfmmXX它们的联合概率密度为和为方差分别和数学期望分别为和两个高斯变量)()(212121212122222212112121)()(),(:,mxmxXXXexfxfxxfXX则上式简化为是互相独立的和若142212222111221222212121,nnnnnnnnCCCCCCCsmmmmXXXX)()(211)2(1)(mxCmxnXTeCxf15三、 分布2.:,2122

5、21分布个自由度的服从则其平方和方差均为个互相独立的高斯变量nXYXXXnniin.,2分布为中心称均为零个高斯变量的数学期望若Yn0)2()2(1)(221222yeynyfynnY164222nnmYYY的数学期望和方差为:01)(dtetxtx1) 1 (22221)(,2yYeyfYn为指数分布时0)2()2(1)(221222yeynyfynnY17.,122称做非中心分布参量分布非中心为称不为零而是个高斯变量的数学期望若niiimYmn0)()(21)(21224222yyIeyyfnynY阶修正贝塞尔函数nmnmxxImmnn02) 1(!)2()(242242nnmYY18 分

6、布的一条重要的性质2.,;,)()(21212212122分布参量为其和的非中心和心分布参量分别为若非中分布对于非中心为其和的自由度和们的自由度分别为若它分布中心非随机变量之和仍为分布的中心非两个互相独立的具有nnnnn19.,; 0)(:,222222122122称为广义瑞利分布则分布自由度的中心个为若其概率密度为服从瑞利分布则的高斯变量且互相独立方差为是数学期望为零若RnYrerrfXXYRXXrR分布即指数分布服从两个自由度的中心2Y20.,), 2 , 1(212则是莱斯分布而分布是非中心不为零时的数学期望当高斯变量YRXYmniXniiii0)()(212222222rrIerrfn

7、rnnR2113 . 1表37P2223chi2statchi2cdfchi2pdfchi2rnd 分布分布raylstatraylcdfraylpdfraylrnd瑞利分布瑞利分布normstatnormcdfnormpdfnormrnd正态分布正态分布expstatexpcdfexppdfexprnd指数分布指数分布unifstatunifcdfunifpdfunifrnd均匀分布均匀分布unidstatunidcdfunidpdfunidrnd离散均匀分布离散均匀分布poissstatpoisscdfpoisspdfpoissrnd泊松分布泊松分布binostatbinocdfbinop

8、dfbinornd二项分布二项分布均值与方差均值与方差概率分布函数值概率分布函数值概率密度函数值概率密度函数值产生随机数产生随机数分布名称分布名称218196表P24clearx=randn(1,6); y=normrnd(2,sqrt(0.5),1,6); mx=mean(x); my=mean(y); vx=cov(x); vy=cov(y); sdx=std(x); sdy=std(y); r=corrcoef(x,y); disp(N(0,1)随机数随机数x,均值均值,方差方差,标准差标准差)disp(x),disp(mx),disp(vx),disp(sdx)disp(N(2,0.5)随机数随机数y,均值均