几何图形折叠问题

1、 几何图形折叠问题【疑难点拨】1. 折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系2. 折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解3. 矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图)，从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数4. 凡是在几

2、何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量1.常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆.2.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等【基础篇】一、选择题：1. .（2018四川凉州3分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C处，BC交AD于点E，则下到结论不一定成立的是（） A AD=BCBEBD=EDBCABECBDDsinABE=2. （2017山东烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB已知OA=6，取OA的中点C，过点C作CDOA交于点D，点F是上一点若

3、将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合，用剪刀沿着线段BD，DF，FA依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（ ）A36-108B108-32C2D3. （2017浙江衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（）ABCD4. （2018·山东青岛·3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，BAC=90°，点E为AB中点沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F已知EF=，则BC的长是（）AB3C3D3 5. （2017乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在

4、AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4且AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（）A1BC2D二、填空题：6. （2018·辽宁省盘锦市）如图，已知RtABC中，B=90°，A=60°，AC=2+4，点M、N分别在线段AC.AB上，将ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当DCM为直角三角形时，折痕MN的长为7. （2018·山东威海·8分）如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C与AD边上的点K重合，FH为折痕已知

5、1=67.5°，2=75°，EF=+1，则BC的长 8. （2018·湖南省常德·3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已知DGH=30°，连接BG，则AGB= 三、解答与计算题：9. （2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，ABAD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE（1）求证：ADECED；（2）求证：DEF是等腰三角形10. （2018山东枣庄10分）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EGCD交A

6、F于点G，连接DG（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若AG=6，EG=2，求BE的长【能力篇】一、选择题：11. （2018·辽宁省阜新市）如图，将等腰直角三角形ABC（B=90°）沿EF折叠，使点A落在BC边的中点A1处，BC=8，那么线段AE的长度为( )A4B5C6D712. （2018·四川省攀枝花·3分）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点给出以下结论：四边形A

7、ECF为平行四边形；PBA=APQ；FPC为等腰三角形；APBEPC其中正确结论的个数为（）A1B2C3D413. （2018·湖北省武汉·3分）如图，在O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D若O的半径为，AB=4，则BC的长是（）A             B             C  

8、;             D二、填空题：14. (2018·辽宁省葫芦岛市) 如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将BCE沿BE折叠后得到BEF、且点F在矩形ABCD的内部，将BF延长交AD于点G若=，则= 15. （2018·四川宜宾·3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，点E为线段AB上的动点，将CBE沿CE折叠，使点B落在矩形内点F处，下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号）当E为线段AB中点时，AFCE；当E为线段

9、AB中点时，AF=；当A、F、C三点共线时，AE=；当A、F、C三点共线时，CEFAEF三、解答与计算题：16.（2018·湖北省宜昌·11分）在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BECG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：AEBDEC；（2）如图2，求证：BP=BF；当AD=25，且AEDE时，求cosPCB的值；当BP=9时，求BEEF的值17. （2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，ABAD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在

10、点E处，AE交CD于点F，连接DE（1）求证：ADECED；（2）求证：DEF是等腰三角形18. （2018江苏盐城10分）如图，在以线段 为直径的 上取一点，连接 、 .将 沿 翻折后得到 .（1）试说明点 在 上； （2）在线段 的延长线上取一点 ，使 .求证： 为 的切线； （3）在（2）的条件下，分别延长线段 、 相交于点 ，若 ， ，求线段 的长. 【探究篇】19. （2018年江苏省泰州市12分）对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上（如图），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图）（1）根据以上操作和发现，求的值；（2）将该矩形纸片展开

11、如图，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开求证：HPC=90°；不借助工具，利用图探索一种新的折叠方法，找出与图中位置相同的P点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法（不需说明理由）20. （2018年江苏省宿迁）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE=x，（1）当AM= 时，求x的值； （2）随着点M在边AD上位置的变化，PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如

12、不变，请求出该定值； （3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值. 几何图形折叠问题【疑难点拨】1. 折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系2. 折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解3. 矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度矩形中的两次或多次折叠通

13、常出现“一线三直角”的模型(如图)，从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数4. 凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量1.常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆.2.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等【基础篇】一、选择题：1. .（2018四川凉州3分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C处，BC交AD于点E，则下到结论不一定成立的是（） AAD=BCBEBD=EDBCABECBDDsinABE=【分析】主要根据折叠前后角和边相等找到相等的边之间的关系，即可选

14、出正确答案【解答】解：A、BC=BC，AD=BC，AD=BC，所以正确B、CBD=EDB，CBD=EBD，EBD=EDB正确D、sinABE=，EBD=EDBBE=DEsinABE=故选：C【点评】本题主要用排除法，证明A，B，D都正确，所以不正确的就是C，排除法也是数学中一种常用的解题方法2. （2017山东烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB已知OA=6，取OA的中点C，过点C作CDOA交于点D，点F是上一点若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合，用剪刀沿着线段BD，DF，FA依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（ ）A36-108B

15、108-32C2D【考点】MO：扇形面积的计算；P9：剪纸问题【分析】先求出ODC=BOD=30°，作DEOB可得DE=OD=3，先根据S弓形BD=S扇形BODSBOD求得弓形的面积，再利用折叠的性质求得所有阴影部分面积【解答】解：如图，CDOA，DCO=AOB=90°，OA=OD=OB=6，OC=OA=OD，ODC=BOD=30°，作DEOB于点E，则DE=OD=3，S弓形BD=S扇形BODSBOD=×6×3=39，则剪下的纸片面积之和为12×（39）=36108，故答案为：36108故选A3. （2017浙江衢州）如图，矩形纸片A

16、BCD中，AB=4，BC=6，将ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（）ABCD【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质【分析】根据折叠的性质得到AE=AB，E=B=90°，易证RtAEFRtCDF，即可得到结论EF=DF；易得FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6x，在RtCDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2=42+（6x）2，解方程求出x【解答】解：矩形ABCD沿对角线AC对折，使ABC落在ACE的位置，AE=AB，E=B=90°，又四边形ABCD为矩形，AB=CD，AE=DC，而AFE=DFC，在AEF与CDF中，

17、AEFCDF（AAS），EF=DF；四边形ABCD为矩形，AD=BC=6，CD=AB=4，RtAEFRtCDF，FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6x，在RtCDF中，CF2=CD2+DF2，即x2=42+（6x）2，解得x=，则FD=6x=故选：B4. （2018·山东青岛·3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，BAC=90°，点E为AB中点沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F已知EF=，则BC的长是（）AB3C3D3 【分析】由折叠的性质可知B=EAF=45°，所以可求出AFB=90°，再直角三角形的性质可知EF

18、=AB，所以AB=AC的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长【解答】解：沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，B=EAF=45°，AFB=90°，点E为AB中点，EF= AB，EF= ，AB=AC=3，BAC=90°，BC=3，故选：B【点评】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出AFB=90°是解题的关键5. （2017乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4且AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（）A1B

19、C2D【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质【分析】由折叠的性质可知，DF=GF、HE=CE、GH=DC、DFE=GFE，结合AFG=60°即可得出GFE=60°，进而可得出GEF为等边三角形，在RtGHE中，通过解含30度角的直角三角形及勾股定理即可得出GE=2EC、DC=EC，再由GE=2BG结合矩形面积为4，即可求出EC的长度，根据EF=GE=2EC即可求出结论【解答】解：由折叠的性质可知，DF=GF，HE=CE，GH=DC，DFE=GFEGFE+DFE=180°AFG=120°，GFE=60°AFGE，AFG=60

20、6;，FGE=AFG=60°，GEF为等边三角形，EF=GEFGE=60°，FGE+HGE=90°，HGE=30°在RtGHE中，HGE=30°，GE=2HE=CE，GH=HE=CEGE=2BG，BC=BG+GE+EC=4EC矩形ABCD的面积为4，4ECEC=4，EC=1，EF=GE=2故选C二、填空题：6. （2018·辽宁省盘锦市）如图，已知RtABC中，B=90°，A=60°，AC=2+4，点M、N分别在线段AC.AB上，将ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当DCM为直角三角形时，折

21、痕MN的长为【解答】解：分两种情况：如图，当CDM=90°时，CDM是直角三角形，在RtABC中，B=90°，A=60°，AC=2+4，C=30°，AB=AC=，由折叠可得：MDN=A=60°，BDN=30°，BN=DN=AN，BN=AB=，AN=2BN=DNB=60°，ANM=DNM=60°，AMN=60°，AN=MN=；如图，当CMD=90°时，CDM是直角三角形，由题可得：CDM=60°，A=MDN=60°，BDN=60°，BND=30°，BD=DN

22、=AN，BN=BD1AB=，AN=2，BN=，过N作NHAM于H，则ANH=30°，AH=AN=1，HN=，由折叠可得：AMN=DMN=45°，MNH是等腰直角三角形，HM=HN=，MN= 故答案为：或7. （2018·山东威海·8分）如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C与AD边上的点K重合，FH为折痕已知1=67.5°，2=75°，EF=+1，求BC的长【分析】由题意知3=180°21=45°、4=180°22=30°、BE=KE、KF=FC

23、，作KMBC，设KM=x，知EM=x、MF=x，根据EF的长求得x=1，再进一步求解可得【解答】解：由题意，得：3=180°21=45°，4=180°22=30°，BE=KE、KF=FC，如图，过点K作KMBC于点M，设KM=x，则EM=x、MF=x，x+x=+1，解得：x=1，EK=、KF=2，BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3+，BC的长为3+【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等8. （2018·湖南省常德·3分）如图，将矩形ABCD沿E

24、F折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已知DGH=30°，连接BG，则AGB=75°【分析】由折叠的性质可知：GE=BE，EGH=ABC=90°，从而可证明EBG=EGB，然后再根据EGHEGB=EBCEBG，即：GBC=BGH，由平行线的性质可知AGB=GBC，从而易证AGB=BGH，据此可得答案【解答】解：由折叠的性质可知：GE=BE，EGH=ABC=90°，EBG=EGBEGHEGB=EBCEBG，即：GBC=BGH又ADBC，AGB=GBCAGB=BGHDGH=30°，AGH=150°，AGB=AGH=75

25、76;，故答案为：75°【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等三、解答与计算题：9. （2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，ABAD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE（1）求证：ADECED；（2）求证：DEF是等腰三角形【分析】（1）根据矩形的性质可得出AD=BC、AB=CD，结合折叠的性质可得出AD=CE、AE=CD，进而即可证出ADECED（SSS）；（2）根据全等三角形的性质可得出DEF=EDF，利用等边对等角可得出EF

26、=DF，由此即可证出DEF是等腰三角形【解答】证明：（1）四边形ABCD是矩形，AD=BC，AB=CD由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，AD=CE，AE=CD在ADE和CED中，ADECED（SSS）（2）由（1）得ADECED，DEA=EDC，即DEF=EDF，EF=DF，DEF是等腰三角形【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是：（1）根据矩形的性质结合折叠的性质找出AD=CE、AE=CD；（2）利用全等三角形的性质找出DEF=EDF10. （2018山东枣庄10分）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EGCD交A

27、F于点G，连接DG（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若AG=6，EG=2，求BE的长【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明DGF=DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；（2）连接DE，交AF于点O由菱形的性质可知GFDE，OG=OF=GF，接下来，证明DOFADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FOAF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；（3）过点G作GHDC，垂足为H利用（2）的结论可求得FG=4，然后再ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明FGHFAD，利用相似三

28、角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=ADGH求解即可【解答】解：（1）证明：GEDF，EGF=DFG由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，DGF=EGF，DGF=DFGGD=DFDG=GE=DF=EF四边形EFDG为菱形（2）EG2=GFAF理由：如图1所示：连接DE，交AF于点O四边形EFDG为菱形，GFDE，OG=OF=GFDOF=ADF=90°，OFD=DFA，DOFADF，即DF2=FOAFFO=GF，DF=EG，EG2=GFAF（3）如图2所示：过点G作GHDC，垂足为HEG2=GFAF，AG=6，EG=2，20=FG（FG+6），整理得：FG2+6FG40=0解得

29、：FG=4，FG=10（舍去）DF=GE=2，AF=10，AD=4GHDC，ADDC，GHADFGHFAD，即=GH=BE=ADGH=4=【点评】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FOAF是解题答问题（2）的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题（3）的关键【能力篇】一、选择题：11. （2018·辽宁省阜新市）如图，将等腰直角三角形ABC（B=90°）沿EF折叠，使点A落在BC边的中点A1处，BC=8，那么线段AE的长度为( )A4B5

30、C6D7【解答】解：由折叠的性质可得AE=A1EABC为等腰直角三角形，BC=8，AB=8A1为BC的中点，A1B=4，设AE=A1E=x，则BE=8x在RtA1BE中，由勾股定理可得42+（8x）2=x2，解得x=5 故答案为：5故选B12. （2018·四川省攀枝花·3分）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点给出以下结论：四边形AECF为平行四边形；PBA=APQ；FPC为等腰三角形；APBEPC其中正确结论的个数为（）A1B2C3D4解：如图，EC

31、，BP交于点G；点P是点B关于直线EC的对称点，EC垂直平分BP，EP=EB，EBP=EPB点E为AB中点，AE=EB，AE=EP，PAB=PBAPAB+PBA+APB=180°，即PAB+PBA+APE+BPE=2（PAB+PBA）=180°，PAB+PBA=90°，APBP，AFEC；AECF，四边形AECF是平行四边形，故正确；APB=90°，APQ+BPC=90°，由折叠得：BC=PC，BPC=PBC四边形ABCD是正方形，ABC=ABP+PBC=90°，ABP=APQ，故正确；AFEC，FPC=PCE=BCEPFC是钝角，当

32、BPC是等边三角形，即BCE=30°时，才有FPC=FCP，如右图，PCF不一定是等腰三角形，故不正确；AF=EC，AD=BC=PC，ADF=EPC=90°，RtEPCFDA（HL）ADF=APB=90°，FAD=ABP，当BP=AD或BPC是等边三角形时，APBFDA，APBEPC，故不正确；其中正确结论有，2个 故选B13. （2018·湖北省武汉·3分）如图，在O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D若O的半径为，AB=4，则BC的长是（）A       

33、;      B             C               D【分析】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CEAB于E，OFCE于F，如图，利用垂径定理得到ODAB，则AD=BD=AB=2，于是根据勾股定理可计算出OD=1，再利用折叠的性质可判断弧AC和弧CD所在的

34、圆为等圆，则根据圆周角定理得到=，所以AC=DC，利用等腰三角形的性质得AE=DE=1，接着证明四边形ODEF为正方形得到OF=EF=1，然后计算出CF后得到CE=BE=3，于是得到BC=3 【解答】解：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CEAB于E，OFCE于F，如图，D为AB的中点，ODAB，AD=BD=AB=2，在RtOBD中，OD= =1，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D弧AC和弧CD所在的圆为等圆，=，AC=DC，AE=DE=1，易得四边形ODEF为正方形，OF=EF=1，在RtOCF中，CF= =2，CE=CF+EF=2+1=3，而BE=BD+DE=2+1=3，BC=3故选：

35、B【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系也考查了圆周角定理和垂径定理二、填空题：14. (2018·辽宁省葫芦岛市) 如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将BCE沿BE折叠后得到BEF、且点F在矩形ABCD的内部，将BF延长交AD于点G若=，则= 【解答】解：连接GE点E是CD的中点，EC=DE将BCE沿BE折叠后得到BEF、且点F在矩形ABCD的内部，EF=DE，BFE=90°在RtEDG和RtEFG中，RtEDGRtEFG（HL），FG=DG=，设DG=FG=a，则AG=7a，故AD=B

36、C=8a，则BG=BF+FG=9a，AB=4a，故=故答案为： 15. （2018·四川宜宾·3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，点E为线段AB上的动点，将CBE沿CE折叠，使点B落在矩形内点F处，下列结论正确的是（写出所有正确结论的序号）当E为线段AB中点时，AFCE；当E为线段AB中点时，AF=；当A、F、C三点共线时，AE=；当A、F、C三点共线时，CEFAEF【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KB：全等三角形的判定；LB：矩形的性质【分析】分两种情形分别求解即可解决问题；【解答】解：如图1中，当AE=EB时，AE=EB=EF，EAF=EFA，CEF=

37、CEB，BEF=EAF+EFA，BEC=EAF，AFEC，故正确，作EMAF，则AM=FM，在RtECB中，EC= =，AME=B=90°，EAM=CEB，CEBEAM，=，=，AM= ，AF=2AM= ，故正确，如图2中，当A、F、C共线时，设AE=x则EB=EF=3x，AF= 2，在RtAEF中，AE2=AF2+EF2，x2=（2）2+（3x）2，x= ，AE= ，故正确，如果，CEFAEF，则EAF=ECF=ECB=30°，显然不符合题意，故错误，故答案为【点评】本题考查翻折变换、全等三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运

38、用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题三、解答与计算题：16.（2018·湖北省宜昌·11分）在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BECG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：AEBDEC；（2）如图2，求证：BP=BF；当AD=25，且AEDE时，求cosPCB的值；当BP=9时，求BEEF的值【分析】（1）先判断出A=D=90°，AB=DC再判断出AE=DE，即可得出结论；（2）利用折叠的性质，得出PGC=PBC=90°，BPC=GPC，进

39、而判断出GPF=PFB即可得出结论；判断出ABEDEC，得出比例式建立方程求解即可得出AE=9，DE=16，再判断出ECFGCP，进而求出PC，即可得出结论；判断出GEFEAB，即可得出结论【解答】解：（1）在矩形ABCD中，A=D=90°，AB=DC，E是AD中点，AE=DE，在ABE和DCE中，ABEDCE（SAS）；（2）在矩形ABCD，ABC=90°，BPC沿PC折叠得到GPC，PGC=PBC=90°，BPC=GPC，BECG，BEPG，GPF=PFB，BPF=BFP，BP=BF；当AD=25时，BEC=90°，AEB+CED=90°，

40、AEB+ABE=90°，CED=ABE，A=D=90°，ABEDEC，设AE=x，DE=25x，x=9或x=16，AEDE，AE=9，DE=16，CE=20，BE=15，由折叠得，BP=PG，BP=BF=PG，BEPG，ECFGCP，设BP=BF=PG=y，y=，BP=，在RtPBC中，PC=，cosPCB=；如图，连接FG，GEF=BAE=90°，BFPG，BF=PG，BPGF是菱形，BPGF，GFE=ABE，GEFEAB，BEEF=ABGF=12×9=108【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性

41、质，折叠的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键17. （2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，ABAD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE（1）求证：ADECED；（2）求证：DEF是等腰三角形【分析】（1）根据矩形的性质可得出AD=BC、AB=CD，结合折叠的性质可得出AD=CE、AE=CD，进而即可证出ADECED（SSS）；（2）根据全等三角形的性质可得出DEF=EDF，利用等边对等角可得出EF=DF，由此即可证出DEF是等腰三角形【解答】证明：（1）四边形ABCD是矩形，AD=BC，AB=CD由折叠的性质可得：B

42、C=CE，AB=AE，AD=CE，AE=CD在ADE和CED中，ADECED（SSS）（2）由（1）得ADECED，DEA=EDC，即DEF=EDF，EF=DF，DEF是等腰三角形【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是：（1）根据矩形的性质结合折叠的性质找出AD=CE、AE=CD；（2）利用全等三角形的性质找出DEF=EDF18. （2018江苏盐城10分）如图，在以线段 为直径的 上取一点，连接 、 .将 沿 翻折后得到 .（1）试说明点 在 上； （2）在线段 的延长线上取一点 ，使 .求证： 为 的切线； （3）在（2）的条件下，分别延长线段 、

43、相交于点 ，若 ， ，求线段 的长. 【答案】（1）解：连接OC，OD，由翻折可得OD=OC，OC是O的半径，点D在O上。（2）证明：点D在O上，ADB=90°，由翻折可得AC=AD，AB2=AC·AE，AB2=AD·AE， ，又BAE=DAB，ABEADB，ABE=ADB=90°，OB是半径，BE为的O切线。（3）解：设EF=x，AB2=AC2+BC2=AC·AE，AE=5，DE=AE-AD=5-4=1，BDF=C=90°，BFD=AFC，BDFACF， 即 则BF= ，在RtBDF中，由勾股定理得BD2+DF2=BF2 ， 则22

44、+（1+x）2=( )2 ， 解得x1= ,x2=-1（舍去）,则EF= 【考点】点与圆的位置关系，切线的判定，相似三角形的判定与性质 【解析】【分析】（1）要证明点D在O上，则需要证明点D到圆心的距离OD要等于半径，由折叠易知OD=OC；（2）证明BE为的O切线，由切线判定定理可得需要证明ABE=90°；易知ADB=90°，由公共角BAE=DAB，则需要ABEADB，由AB2=AC·AE和AC=AD可证明；（3）易知BDF=ADB=90°，则BDF是一个直角三角形，由勾股定理可得BD2+DF2=BF2 ， 而BD=BC=2，DF=DE+EF，EF就是要

45、求的，不妨先设EF=x，看能否求出DE或都BF，求不出的话可用x表示出来，再代入BD2+DF2=BF2解得即可。【探究篇】19. （2018年江苏省泰州市12分）对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上（如图），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图）（1）根据以上操作和发现，求的值；（2）将该矩形纸片展开如图，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开求证：HPC=90°；不借助工具，利用图探索一种新的折叠方法，找出与图中位置相同的P点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法（不需说明理由）【分

46、析】（1）依据BCE是等腰直角三角形，即可得到CE=BC，由图，可得CE=CD，而AD=BC，即可得到CD=AD，即=；（2）由翻折可得，PH=PC，即PH2=PC2，依据勾股定理可得AH2+AP2=BP2+BC2，进而得出AP=BC，再根据PH=CP，A=B=90°，即可得到RtAPHRtBCP（HL），进而得到CPH=90°；由AP=BC=AD，可得ADP是等腰直角三角形，PD平分ADC，故沿着过D的直线翻折，使点A落在CD边上，此时折痕与AB的交点即为P；由BCE=PCH=45°，可得BCP=ECH，由DCE=PCH=45°，可得PCE=DCH，进

47、而得到CP平分BCE，故沿着过点C的直线折叠，使点B落在CE上，此时，折痕与AB的交点即为P【解答】解：（1）由图，可得BCE=BCD=45°，又B=90°，BCE是等腰直角三角形，=cos45°=，即CE=BC，由图，可得CE=CD，而AD=BC，CD=AD，=；（2）设AD=BC=a，则AB=CD=a，BE=a，AE=（1）a，如图，连接EH，则CEH=CDH=90°，BEC=45°，A=90°，AEH=45°=AHE，AH=AE=（1）a，设AP=x，则BP=ax，由翻折可得，PH=PC，即PH2=PC2，AH2+AP

48、2=BP2+BC2，即（1）a2+x2=（ax）2+a2，解得x=a，即AP=BC，又PH=CP，A=B=90°，RtAPHRtBCP（HL），APH=BCP，又RtBCP中，BCP+BPC=90°，APH+BPC=90°，CPH=90°；折法：如图，由AP=BC=AD，可得ADP是等腰直角三角形，PD平分ADC，故沿着过D的直线翻折，使点A落在CD边上，此时折痕与AB的交点即为P；折法：如图，由BCE=PCH=45°，可得BCP=ECH，由DCE=PCH=45°，可得PCE=DCH，又DCH=ECH，BCP=PCE，即CP平分BCE

49、，故沿着过点C的直线折叠，使点B落在CE上，此时，折痕与AB的交点即为P【点评】本题属于折叠问题，主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质的综合运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案20. （2018年江苏省宿迁）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设B