人教版九年级数学旋转232中心对称讲义

1、合作探究探究点1(高频考点) 中心对称的概念情景激疑观察课本图23.2-1,你有什么发现?知识讲解(1)像这样,把一个图形绕着某一点旋转180，如果它能够和另一个图形重合，那么我们就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点就叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于对称中心的对称点。(2)中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分；中心对称的两个图形是全等图形。 注意(1)中心对称是旋转的一种特殊情况，是旋转角为180的旋转,所以它具备旋转的所有性质。(2)读法和内容与轴对称相似，读作关于某点对称，或图形某某与图形某某中心对称，理解和应用时结合轴对称知识理解。(3

2、)中心对称的性质与旋转的性质相类似，是旋转性质的变化，主要变化在于对应点在一条直线上，旋转角是固定的180。(4)中心对称的性质是中心对称应用的核心，是作图的基础。典例剖析例1 已知:如图,RtABC与RtABC关于A点中心对称,C=30。(1)指出图中的对称点、对称中心；(2)指出图中相等的线段；(3)求C的度数。解析根据中心对称的概念，确定对称点，而后确定对应线段，再根据性质知道对应线段相等，对应角相等。答案(1)B与B,C与C,A与A是对称点，A是对称中心；(2)相等的线段有：AB=AB，BC=BC，AC=AC；(3)C=C=30.方法指导根据中心对称的定义分析图形，找出对称点，确定对应

3、关系，再根据性质判断各对应量之间的关系。类题突破1已知如下图:四边形ABCD和四边形ABCD关于A点中心对称。(1)指出图中的对应关系；(2)若AB=3cm,能求出哪条线段的长?答案(1)B与B,C与C,D与D,A与A是对称点，A是对称中心，其中线段BC与BC,CD与CD,AD与AD，AB与AB是对应线段，DAB与DAB，D与D，B与B，DCB与DCB是对应角。(2)AB=AB=3cm。点拨关于某一点中心对称的图形，能够重合的点叫对称点；能够重合的角叫对应角；能够重合的线段叫对应线段。探究点2中心对称的作图情景激疑大家根据旋转的性质能作出一个图形，根据中心对称的性质你能作出一个图形的中心对称图

4、形吗？ 知识讲解已知一个图形作它的中心对称图形，关键在于找到它们的对称点，由性质可知，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分，所以只要连接已知点与对称中心并延长，再在延长线上截取相等的线段就可得到对称点，作出所有对称点，顺次连接即可。典例剖析例2如图(1)，四边形ABCD,以D为对称中心，作出它的中心对称图形,并简要写出作法。 解析 画中心对称图形，要确保对称中心是对应点所连线段的中点。答案 作法：（1）延长AD，截取DA=AD。(2)同样可得:BD=BDCD=CD。连接AB、BC,CD、DA,则四边形ABCD为所求的四边形，如图(2)。类题突破2 如下图,已知ABC与ABC是关于某

5、点成中心对称的两个三角形，你能找出它的对称中心吗?答案连接AA,CC，交点就是图形的对称中心(图略)。点拨由中心对称的两个图形的性质(对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分)可知，对称中心一定在对称点的连线上，根据两点确定一条直线，所以连接任意两对对称点，交点即是对称中心。探究点3(高频考点) 中心对称图形及其应用情景激疑观察教材图23.2-6和23.2-7，把这两个图形绕某点旋转180你能有什么发现?知识讲解把一个图形绕着某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。注意中心对称图形和中心对称不同，中心对标是两个圆形

6、之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同。典例剖析例1 如下图所示，其中是中心对称图形的是（ ） 解析判断是否是中心对称图形的关键在于能否找到一点作为旋转中心，再就是旋转180后看能否重合，A图、C图、D图旋转180后不能与自身重合，所以不是中心对称图形。答案B规律总结判新是否是中心对称图形的题较多，并且多和轴对称图形相联系，这就要求我们分清轴对称图形和中心对称图形，它们最大的区别在于中心对称图形是绕一点旋转180后他能与原图形重合，轴对称图形是沿一条直线翻折180后能与原图形重合。类题突破3在英文字母H、I、M、N中，是中心对称图形的英文字

7、母的个数有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案C类题突破4 如下图，点0是平行四边形的对称中心，点A，C关于点0对称，有A0=CO,过0点的直线分别交AD，BC于E，F，那么OE=OF吗?答案 平行四边形是中心对称图形.0是对称中心。EF经过点0,分别交AD,BC于E,F.点E,F是关于点O的对称点，0E=OF。(对称中心平分连接两个对称点的线段)点拨由中心对称图形的概念和性质可知，对称中心平分连接两个对称点的线段，只要说明E,F关于点O中心对称即可，所以用中心对称图形的性质进行证明有时更简单。探究点4中心对称图形和轴对称图形的关系知识讲解(1)联系:中心对称图形和轴对称图形都是指

8、的一个图形的关系，它们翻折后或旋转后都能与自身重合。(2)区别:中心对称图形是绕对称中心旋转180后与原图形重合.轴对称图形是沿对称轴翻转180后与原图形重合，区分的关键在于绕一点旋转还是沿一条直线翻折180后重合。(3)很多图形既是中心对称图形又是轴对称图形，应注意区分。典例剖析例4 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A.角 B.等边三角形 C.线段 D.平行四边形解析关键在于两个条件同时具备，既能找到一点绕这点旋转180后能重合，又能找到一条直线沿着这条直线翻折180能重合。答案 C类题突破5 下列四边形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ）A.平行四边形 B.矩形

9、C.菱形 D.正方形答案A点拨根据中心对称和轴对称的概念求解。探究点5(高频考点) 关于原点对称的点的坐标特点知识讲解(1)两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点是P(-x，-y）。(2)关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质，但它主要是用坐标变化确定图形。注意 运用时要熟练掌握，可以不用画图和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标。典例剖析例5 指出下列各点关于坐标原点中心对称的点的坐标。A(-5,2),B(0,-3),C(-3,-5),D(-，-)，E(6,0),F(-a-2，b)，G

10、（-x,-y-1)。解析 根据关于原点对称的点的坐标的特点知道，纵坐标、横坐标互为相反数，所以只要改变坐标符号即可。A(5,-2),B(0,3),C(3,5),D(，)，E(-6,0),F(a+2,-b),G(x,y+1)。方法指导要充分理解关于原点对称的点的坐标的特点，把握住符号变化，通过改变符号解决此类问题。类题突破6 下列各点中哪些关于坐标原点中心对称?A(-5,0),B(-x，3),C(,-),D(5,0)，E(x，3)，F(，)，G(x，-3）。答案 A与D关于坐标原点中心对称；B与G关于坐标原点中心对称。点拨 如果两个点的横纵坐标均互为相反数，则这两个点关于原点对称。探究点6关于原

11、点对称的图形的作法知识讲解(1)关于原点对称的图形的作法是:先根据规律找出关键点的对称点的坐标，根据坐标描出点，顺次连接即可得到所求图形。(2)坐标系内的中心对称作图有两种方法，一是用中心对称的性质，延长再截取。二是先找对应点的坐标，再描点画图。注意 在平面直角坐标系中的对称较多，有关于x轴、y轴对称的轴对称，而这里指的是中心对称，作图方法都是先确定坐标，再描点作图，但它们找对称点的坐标的方法不同，应注意区分，以免在坐标点较多时弄错。典例剖析例6 如下图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段AB关于原点对称的图形。解析 要作出线段AB关于原点的对称线段，只要找出点A，点B关于原点的对称

12、点A，B的坐标，描出即可。答案 点P(x,y)关于原点的对称点为P(-x，-y)。因此，线段AB的两个端点A(0,1),B(3,0)关于原点的对称点分别为A(0,1),B(-3,0)。连接AB,就可得到与线段AB关于原点对称的线段AB(图略)。方法提示 坐标系中的中心对称作图，要按照关于原点对称的点的坐标的特点，找出图形关键处的点的坐标，作出图形。 另外也可以按作中心对称图形的方法作图，但不如这种方法简单和准确。类题突破7如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平而直角坐标系后,ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为(4,-1)。(1)把ABC向上平移5个单位后得到对应的A1

13、B1C1，画出A1B1C1,并写出C1的坐标；(2)以原点O为对称中心，再画出与A1B1C1关于原点0对称的A2B2C2，并写出点C2的坐标。答案 如下图。(1)C1(4,4).(2)C2(-4,-4)。点拨A,B,C三点的坐标纵坐标加5,横坐标不变即可得到对应点，再顺次连接即可。分别找出A1，B1，C1关于原点对称点的坐标，再顺次连接即可。重点难点重难点1中心对称的应用中心对称是旋转角为180的特殊的旋转，它具备旋转所有的性质，因为它的对应点就在一条直线上，所以具有自己独特的性质，即对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，这也是应用较多的地方。另外对称中心可以是平面上的任一点，两个图形不

14、一定在对称中心的两旁。例1求证:如右图，任何具有对称中心的四边形是平行四边形。解析中心对称图形的对称中心是对应点连线的交点，也是对应点间的线段的中点，因此，直接可得到对角线互相平分。答案如上图,0是四边形ABCD的对称中心，根据中心对称的性质线段AC,BD必过点0,且A0=CO,BO=DO,即四边形ABCD的对角线互相平分,因此，四边形ABCD是平行四边形。规律总结中心对称是等大小等形状的位置变换，所以中心对称中包含着大量的等量关系，可以用来说明或证明线段、角相等.在应用时关键在于找准对应关系。类题突破1 如下图,矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,过点O的直线分别交AD和BC于点E,F

15、,AB=2,BC=3,则图中阴影部分的面积为思路图示0为旋转中心AOE与COF关于O点中心对称得出结果。答案3方法指导这种题目应注意观察图形特点，要善于发现图形内在联系及对应关系，通过旋转、平移或轴对称等图形变换，找出各部分关系，解决问题。重难点2 中心对称作图同其他图形的变换一样，运用性质寻找对应点是画图的关键,由中心对称的性质知道，通过连接已知点和对称中心并延长、再截取等长线段的方法来寻找对应点，顺次连接作出图形。例2如图(1),在矩形ABCD中，作出关于B点的中心对称图形，并写出作法。解析找到点A,C,D关于点B的对称点顺次连接即可。答案 如图（2），做法：（1）延长CD至C，使BC=B

16、C；(2)连接并延长DB至D，使BD=DB，延长AB至A，使BA=BA；(3)连接AD,DC。则四边形ABCD即为所求的图形。类题突破2 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1,格点三角形(顶点是网格线的交点的三角形)ABC的顶点A,C的坐标分别为(-4,2),(-1,0)。 (1)请在如图所示的网格平面内作出平而直角坐标系；(2)请作出ABC关于原点对称的ABC；(3)写出点B的坐标。答案 (1)(2)如图。 (3)B（2,2）。点拨(1)根据点A及点C的坐标，易得y轴在点C的右边一个单位，x轴在点C所在的水平线，建立直角坐标系即可。(2)根据关于原点对称的点的特征作出图形即可。(

17、3)结合(2)的图形,即可得出B的坐标。重难点3中心对称图形的应用 中心对称图形是一个图形自身所具备的特点，是指一个图形绕一点旋转180后能与自身重合。中心对称是两个图形之间的关系，这是区别中心对称和中心对称图形的核心。对中心对称图形和中心对称的理解，与对轴对称和轴对称图形的理解一样，既有区别又有联系,这点应注意体会。 中心对称图形中最典型的是平行四边形，它包括菱形、矩形、正方形,这些应用较多，另外线段、圆也是常见的中心对称图形。 中心对称图形与轴对称图形是两种不同的图形变换，相同点在于它们在变换后图形仍全等,不同点在于轴对称图形是沿-条直线翻转180而中心对称图形是绕一点旋转180。在应用过

18、程中,轴对称图形和中心对称图形不同，辨别的关键在于轴对称图形是沿一条直线翻折看能否重合，中心对称图形是绕某一点旋转180看能否重合。例3 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）解析轴对称图形是沿一条直线翻转180后与自身重合，中心对称图形是绕一点旋转180后与自身重合，所以符合题意的图形既要有对称轴又要有对称中心，翻折或旋转后还要重合。答案B点拨要准确把握轴对称图形和中心对称图形的概念，把握它们的区别与联系。另外在标准图形中，一般奇数个角、边的图形不会是中心对称图形，如正三角形、正五边形等。类题买破3 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A.等边三角形 B.平行四

19、边形 C.梯形 D.矩形答案 D点拨 根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对标图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形沿对称中心旋转180度后与原图重合，从而有A是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；C不一定是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选D。重难点4关于原点对称的点的坐标的应用关于原点对称的点的坐标特点:两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，是这部分内容的核心，它与平面直角坐标系相结合，是坐标系中的中心对称，所以它的作图应用可以用中心对称(不常用)，但它有自己的特点，即先确

20、定点的坐标再作图。 关于原点对称的点的坐标的应用和坐标系中的平移、轴对称联系密切，研究方法相同，所以经常结合在一起运用，这在近几年的中考题中经常出现。例4已知点O是坐标原点，B，C两点的坐标分别是(3，-1),(2,1)。 (1)分别写出B,C两点关于原点对称的对应点B，C的坐标；(2) 作出OBC关于0点的对称图形； (3)如果OBC内部一点M的坐标是(x.y).写出M点关于O点中心对称的点M的坐标。解析一 (1)关于原点对称的两点，它们的横坐标和纵坐标互为相反数。 (2)找出对应点B,C后，顺次连接得到OBC即为所求。(3) M与M关于原点对称，所以它们的坐标也互为相反数。答案(1)B(-

21、3,1),C(-2,-1)。(2)分别在坐标系中描出点B(-3,1),C(-2,-1).顺次连接OB,BC,0C,得到的OBC即为所求(图略)。(3)M(-x,-y)。解析二第(2)问中的作图也可以采用中心对称作图的方法。答案 连接BO并延长,在延长线上截取OB=OB,同理截取0C=0C,连接BC，得到的OBC即为所求(图略)。方法指导要熟记关于原点对称的点的坐标的特点，直接写出坐标，这与关于x轴、y轴对称一样,若不是作图题，可以不借助坚标系就能写出，关键在于把握规律，熟练掌握。类题突破4 如图，矩形OABC的顶点O为坐标原点,点A在x轴上,点B的坐标为(2,1).如果将矩形OABC绕点O旋转180,旋转后的图形为矩形OA1B1C1,那么点B1的坐标为( )A.(2,1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2，-1)答案C点拨 特图形绕某一点旋转180，所得图形与原图都关于这一点中心对称。易错指导易错点1 混淆轴对称图形与中心对称图形例1 下列图形中、不是中心对称图形的是（ ）A.等边可角形 B.两条相交直线 C.线段 D.长方形错解 B错因分析 轴对称图形和中心对称图形都是对称图形，因此很容易混淆，要区别它