趣味数学第6周

1、 趣味数学 尺规作图如图：L表示一条公路，、表示两个村庄，在公路L上建一个车站，使其到A、B两个村庄距离之和最近。L 比如扯个电网，修个公路、埋个管道，建个地铁等等，都是寸米寸金，为了节约资金，都要考虑尽量是总距离最短A AB BC CE ED DP P以以ABAB、ACAC为边作等边三角形，则为边作等边三角形，则ADCADCABEABE，ABE=ADCABE=ADC，所以所以A A、D D、B B、P P四点共园，四点共园，又又ABD=DAB=60ABD=DAB=60。APB=120APB=120同理同理APC=120APC=120以以P P为圆心为圆心PAPA为半径作弧交为半径作弧交PDP

2、D与与F F， 则则ABPABPADFADF，BP=DFBP=DF PA+PB+PC=PF+DF+PC=CD PA+PB+PC=PF+DF+PC=CDF FP P如果点P不在CA 上，将ABP绕点B旋转60到APB处，则PA=PA， PP=PB，显然PA+PP+PCAC小张和老王的性格相近，都很活泼，特别爱动，手不住脚不停。两人看见小张和老王的性格相近，都很活泼，特别爱动，手不住脚不停。两人看见身边有什么小物件，就喜欢拿来摆弄。身边有什么小物件，就喜欢拿来摆弄。 此刻小张手里拿着一个绳圈，老王手里拿着一个圆塑料瓶盖，正在忙得热此刻小张手里拿着一个绳圈，老王手里拿着一个圆塑料瓶盖，正在忙得热闹。

3、小张用三个指头轻轻一拨，绳圈就变了一个模样。老王用三个指头捏闹。小张用三个指头轻轻一拨，绳圈就变了一个模样。老王用三个指头捏住瓶盖迅速送到绳圈上方，手指松开，瓶盖落下，恰好将绳圈完全盖住。住瓶盖迅速送到绳圈上方，手指松开，瓶盖落下，恰好将绳圈完全盖住。小张移开瓶盖，将绳圈摆成另外一种花样，老王又拿瓶盖遮上去。如此继小张移开瓶盖，将绳圈摆成另外一种花样，老王又拿瓶盖遮上去。如此继续，不厌其烦。每次总能盖得严严实实，不留半点绳圈在外。这使老王感续，不厌其烦。每次总能盖得严严实实，不留半点绳圈在外。这使老王感到非常得意。到非常得意。 小张不服，说老王的瓶盖太大，肯定能每次都完全盖住绳圈。如果有一次小

4、张不服，说老王的瓶盖太大，肯定能每次都完全盖住绳圈。如果有一次盖不全，一定是手脚太笨。如果换一个小些的瓶盖，就未必能成功了。盖不全，一定是手脚太笨。如果换一个小些的瓶盖，就未必能成功了。 老王逗小张说，每次都能盖住绳圈，是因为我的感觉好，目光准，出手快，老王逗小张说，每次都能盖住绳圈，是因为我的感觉好，目光准，出手快，一次到位。你说瓶盖太大，有什么根据？一次到位。你说瓶盖太大，有什么根据？ 小张将绳圈抹平拉紧，放在桌上，成为两条首尾相接的重合线段，然后拿小张将绳圈抹平拉紧，放在桌上，成为两条首尾相接的重合线段，然后拿瓶盖来比试，重合线段的长度恰好能被瓶盖最宽处遮没。这就是证据，你瓶盖来比试，重

5、合线段的长度恰好能被瓶盖最宽处遮没。这就是证据，你那圆盘的直径都已经等于绳圈周长的一半了，还说不大？那圆盘的直径都已经等于绳圈周长的一半了，还说不大？ 老王先是点头，说，不错，这是一个证据；紧接着又摇头，说，但是，这老王先是点头，说，不错，这是一个证据；紧接着又摇头，说，但是，这个证据的说服力不强。如果你能证明，不管你的绳圈摆弄成什么形状，这个证据的说服力不强。如果你能证明，不管你的绳圈摆弄成什么形状，这瓶盖都能将绳圈完全盖没，我就改用一只小盖子。瓶盖都能将绳圈完全盖没，我就改用一只小盖子。 小张如何来证明它呢？小张如何来证明它呢？ 如图示，设绳圈的周长为如图示，设绳圈的周长为2d2d，那么瓶

6、盖的直径是，那么瓶盖的直径是d d。又。又设设A A和和B B是绳圈上相对的两点，它们将绳圈分成长度相等是绳圈上相对的两点，它们将绳圈分成长度相等的两部分。设的两部分。设O O是是ABAB的中点。那么，如果将瓶盖的中心的中点。那么，如果将瓶盖的中心放在放在O O点，就一定能将绳圈完全盖住。点，就一定能将绳圈完全盖住。 老王听到这里，忍不住问道：有这等好事？为什么？老王听到这里，忍不住问道：有这等好事？为什么？ 小张继续说，设小张继续说，设P P是绳圈上任意一点，连结是绳圈上任意一点，连结APAP、BPBP、OPOP。如果如果 A A、B B、P P三点不在一直线上，那么三点不在一直线上，那么

7、OPOP是是ABPABP的中的中线。线。 利用一道常见几何题的结论，在三角形利用一道常见几何题的结论，在三角形ABPABP中，一边上中，一边上的中线的中线OPOP与另外两边与另外两边APAP、BPBP之间，成立不等式之间，成立不等式 。 如果三点如果三点A、B、P在一直线上在一直线上，P与点与点A或或B重重合则合则 。 另一方面，因为半个绳圈另一方面，因为半个绳圈APBAPB的长度是的长度是d d，其中从，其中从A A到到P P的绳长大于或等于直线距离的绳长大于或等于直线距离APAP，从，从P P到到B B的绳长大于或的绳长大于或等于直线距离等于直线距离BPBP，所以，所以 APAPBPdBP

8、d。 综合以上结果，得到综合以上结果，得到 OPd. OPd. 这就表明，绳圈上任意一点这就表明，绳圈上任意一点P P到圆心到圆心O O的距离都小于或的距离都小于或等于圆半径，因而一定能被圆瓶盖遮没。等于圆半径，因而一定能被圆瓶盖遮没。 星期天，起床后发现闹钟停了，我估计了一下时间，星期天，起床后发现闹钟停了，我估计了一下时间，就将闹钟的时针拨到就将闹钟的时针拨到7 7时整。然后，我离家步行到博时整。然后，我离家步行到博物馆，这时看到博物馆楼顶上的电子钟在物馆，这时看到博物馆楼顶上的电子钟在8 8时时5050分。分。我又游玩了一个半小时后从博物馆以同样的速度返我又游玩了一个半小时后从博物馆以同

9、样的速度返回家中。到家后，看到闹钟指在回家中。到家后，看到闹钟指在1111时时5050分。请问，分。请问，这时我应将闹钟拨到何时才是准确的？这时我应将闹钟拨到何时才是准确的？我总共用去的时间为我总共用去的时间为4 4小时小时5050分（分（70070011501150），除去游玩的时间一个半小时，走路的），除去游玩的时间一个半小时，走路的时间应为时间应为3 3小时小时2020分钟。因为来去时的步行时间相分钟。因为来去时的步行时间相等，都为等，都为1 1小时小时4040分钟，并且离开博物馆开始往家分钟，并且离开博物馆开始往家走的准确时间应为走的准确时间应为850+130 = 1020850+13

10、0 = 1020，所以，所以回到家里的时间应为回到家里的时间应为1020+140 = 121020+140 = 12。这时，。这时，应将闹钟拨到应将闹钟拨到1212时才是准确的。时才是准确的。一天，班上决定组织春游，班主任张老师叫班长小明去买一天，班上决定组织春游，班主任张老师叫班长小明去买一些水果分给大家。小明买回来苹果和梨各一些水果分给大家。小明买回来苹果和梨各1515千克，苹果千克，苹果1 1元元1 1千克，梨千克，梨1 1元元1.51.5千克，一共用去千克，一共用去2525元。小明把苹果和元。小明把苹果和梨混在一起后分给大家，凡是交梨混在一起后分给大家，凡是交1 1元钱的就给元钱的就给

11、1.251.25千克，千克，凡是交凡是交2 2元钱的就给元钱的就给2.52.5千克。分完水果后，小明一数钱，千克。分完水果后，小明一数钱，发现少了发现少了1 1元，只有元，只有2424元。为什么少了元。为什么少了1 1元？请你帮小明找元？请你帮小明找出原因。出原因。苹果每千克苹果每千克1 1元，梨每千克元，梨每千克2/3 2/3 元，混合后每千克元，混合后每千克（1+2/3 1+2/3 ）2=5/6 2=5/6 元，而小明元，而小明2.52.5千克只收千克只收2 2元，元，即每千克只收即每千克只收 4/54/5元。这样，每千克少收元。这样，每千克少收 5/65/64/5 4/5 =1/30 =

12、1/30 元。苹果和梨一共元。苹果和梨一共3030千克，就少收了千克，就少收了1 1元。元。海伦和她的丈夫赫尔穆特举行晚餐会，邀请的客人有：她的海伦和她的丈夫赫尔穆特举行晚餐会，邀请的客人有：她的弟弟布莱尔和布莱尔的妻子布兰奇；她的姐姐希拉和希拉的弟弟布莱尔和布莱尔的妻子布兰奇；她的姐姐希拉和希拉的丈夫舍曼；邻居诺拉和诺拉的丈夫诺顿。八人之中有一人是丈夫舍曼；邻居诺拉和诺拉的丈夫诺顿。八人之中有一人是勒索者，其他七人之中有一人是勒索者的受害者。勒索者，其他七人之中有一人是勒索者的受害者。 当他们全部在桌旁就坐的时候，受害者试图用切牛排的餐刀当他们全部在桌旁就坐的时候，受害者试图用切牛排的餐刀去

13、刺勒索者，但没有成功。围绕桌子的坐位安排，如下图所去刺勒索者，但没有成功。围绕桌子的坐位安排，如下图所示：示： (1)(1)勒索者坐在坐位勒索者坐在坐位E E。 (2)(2)受害者坐在坐位受害者坐在坐位V V。 (3)(3)每位男士坐在一位女士的对面。每位男士坐在一位女士的对面。 (4)(4)每位男士坐在一位男士和一位女士之间。每位男士坐在一位男士和一位女士之间。 (5)(5)勒索者的配偶与受害者的配偶相邻而坐。勒索者的配偶与受害者的配偶相邻而坐。 (6)(6)男主人坐在受害者与女主人之间。男主人坐在受害者与女主人之间。 (7)(7)布莱尔坐在希拉与诺顿之间。布莱尔坐在希拉与诺顿之间。 ( (

14、提示：在不考虑具体人物的情况下，判定人们坐位的各种可能安排；提示：在不考虑具体人物的情况下，判定人们坐位的各种可能安排；然后，通过逐步判定各个具体人物的坐位，把这些可能的安排减少然后，通过逐步判定各个具体人物的坐位，把这些可能的安排减少到剩下唯一的一种。到剩下唯一的一种。) )(3)(3)每位男士坐在一位女士的对面。每位男士坐在一位女士的对面。 (4)(4)每位男士坐在一位男士和一位女士之间每位男士坐在一位男士和一位女士之间。 (1)(1)勒索者坐在坐位勒索者坐在坐位E E。 (2)(2)受害者坐在坐位受害者坐在坐位V V。 (3)(3)每位男士坐在一位女士的对面。每位男士坐在一位女士的对面。

15、 (4)(4)每位男士坐在一位男士和一位女士之间。每位男士坐在一位男士和一位女士之间。 (5)(5)勒索者的配偶与受害者的配偶相邻而坐。勒索者的配偶与受害者的配偶相邻而坐。 (6)(6)男主人坐在受害者与女主人之间。男主人坐在受害者与女主人之间。 (7)(7)布莱尔坐在希拉与诺顿之间。布莱尔坐在希拉与诺顿之间。 接着，根据接着，根据(1)和和(5)，可排除，这样部分坐位的安排情况必可排除，这样部分坐位的安排情况必定如下定如下(每条曲线连接着一对夫妇每条曲线连接着一对夫妇)： (1)(1)勒索者坐在坐位勒索者坐在坐位E E。 (2)(2)受害者坐在坐位受害者坐在坐位V V。 (3)(3)每位男士

16、坐在一位女士的对面。每位男士坐在一位女士的对面。 (4)(4)每位男士坐在一位男士和一位每位男士坐在一位男士和一位 女士之间。女士之间。 (5)(5)勒索者的配偶与受害者的配偶勒索者的配偶与受害者的配偶相邻而坐。相邻而坐。 (6)(6)男主人坐在受害者与女主人之男主人坐在受害者与女主人之间。间。 (7)(7)布莱尔坐在希拉与诺顿之间。布莱尔坐在希拉与诺顿之间。 最后，根据最后，根据(7)(7)，布莱尔必定是勒索者的配偶；因此布兰奇是，布莱尔必定是勒索者的配偶；因此布兰奇是勒索者。全部的坐位安排如下图：勒索者。全部的坐位安排如下图： (1)(1)勒索者坐在坐位勒索者坐在坐位E E。 (2)(2)

17、受害者坐在坐位受害者坐在坐位V V。 (3)(3)每位男士坐在一位女士的对面。每位男士坐在一位女士的对面。 (4)(4)每位男士坐在一位男士和一位每位男士坐在一位男士和一位 女士之间。女士之间。 (5)(5)勒索者的配偶与受害者的配偶相邻而坐。勒索者的配偶与受害者的配偶相邻而坐。 (6)(6)男主人坐在受害者与女主人之间。男主人坐在受害者与女主人之间。 (7)(7)布莱尔坐在希拉与诺顿之间布莱尔坐在希拉与诺顿之间首先看到，在图的右边醒目位置，画了一个女孩。她正站首先看到，在图的右边醒目位置，画了一个女孩。她正站在画板前面，神采奕奕，提笔作画（这是第一个女孩）。在画板前面，神采奕奕，提笔作画（这

18、是第一个女孩）。 其次看到，女孩在画中所表现的，是她自己正在绘画的情形。其次看到，女孩在画中所表现的，是她自己正在绘画的情形。所以她的画中有一位和她一模一样的女孩，正在摆着与她同所以她的画中有一位和她一模一样的女孩，正在摆着与她同样的姿势，站在画板前面，提笔作画（这是第二个女孩）。样的姿势，站在画板前面，提笔作画（这是第二个女孩）。 画中女孩画中的女孩，画的还是同样的画。所以，在画中女画中女孩画中的女孩，画的还是同样的画。所以，在画中女孩画中女孩的画里，同样有一个一模一样的女孩，以同样的孩画中女孩的画里，同样有一个一模一样的女孩，以同样的姿势，正在作同样的画（这是第四个女孩）。姿势，正在作同样

19、的画（这是第四个女孩）。 女孩画中的女孩，所画的当然也是她自己正在绘画的情形。女孩画中的女孩，所画的当然也是她自己正在绘画的情形。所以，在画中女孩的画里，也有一位一模一样的女孩，以所以，在画中女孩的画里，也有一位一模一样的女孩，以同样的姿势，正在作画（这是第三个女孩）。同样的姿势，正在作画（这是第三个女孩）。 在绘制同一幅图形的过程中，如果下一步产生的图形总是与上一步在绘制同一幅图形的过程中，如果下一步产生的图形总是与上一步的图形相似，那么这种现象叫做自相似的图形相似，那么这种现象叫做自相似。 上图就是一幅自相似的图形。只要有足够细的笔，这种自相上图就是一幅自相似的图形。只要有足够细的笔，这种

20、自相似的过程可以任意继续表现下去似的过程可以任意继续表现下去。 起初，自相似现象偶尔被应用于广告或宣传画，用来吸引起初，自相似现象偶尔被应用于广告或宣传画，用来吸引行人停足观看。后来发现，自然界中其实存在很多自相似行人停足观看。后来发现，自然界中其实存在很多自相似现象。例如雪花的形成、树木的生长、土地干旱形成的地现象。例如雪花的形成、树木的生长、土地干旱形成的地面裂纹等等。有一门新兴的数学分支，叫做分形几何学，面裂纹等等。有一门新兴的数学分支，叫做分形几何学，对自相似图形进行了富有成效的研究。对自相似图形进行了富有成效的研究。 分形分形(Fractal)(Fractal)是它的创始人是它的创始

21、人, ,美国数学家曼德勃美国数学家曼德勃罗教授罗教授(Professor Benoit Mandelbrot)(Professor Benoit Mandelbrot)于于19751975年夏天一个寂静的夜晚年夏天一个寂静的夜晚, ,在冥思苦想之余翻看儿在冥思苦想之余翻看儿子的拉丁文字典时想到的子的拉丁文字典时想到的, ,其拉丁文的原意是其拉丁文的原意是 产产生无规则的碎片生无规则的碎片.分形几何的一个性质叫做自相分形几何的一个性质叫做自相似性似性. .请看如下的几个图形请看如下的几个图形, ,他叫做科赫雪花曲线他叫做科赫雪花曲线, ,从它的任何一个局部经过放大从它的任何一个局部经过放大, ,都可以得到一个都可以得到一个和整体全等的图形和整体全等的图形. . 分形几何欣赏分形几何欣赏另一种较复杂的分形图形称为朱利亚集另一种较复杂的分形图形称为朱利亚集, ,它是按照一定的数学它是按照一定的数学原理在平面上构造的点集原理在平面上构造的点集. .朱利亚集具有异常美丽的形状朱利亚集具有异常美丽的形状, ,并并且利用他可以模拟出山峰且利用他可以模拟出山峰, ,云彩云彩, ,湖泊等等自然景观湖泊等等自然景观, ,以下四个以下四个图形都是朱利亚集的图形图形都是