高三数学试题

1、高三数学试卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A.B.C.D.3.已知抛物线：的焦点为，点是抛物线上的一点，且，则抛物线的方程是（ ）A.B.C.D.4.随着社会的发展

2、与进步，传播和存储状态已全面进入数字时代以数字格式存储，以互联网为平台进行传输的音乐数字音乐已然融入了我们的日常生活.虽然我国音乐相关市场仍处在起步阶段，但政策利好使音乐产业逐渐得到资本市场更多的关注.对比如下两幅统计图，下列说法正确的是（ ）20112018年中国音乐产业投融资事件数量统计图 20132021年中国录制音乐营收变化及趋势预测统计图A.20112018年我国音乐产业投融资事件数量逐年增长B.20132018年我国录制音乐营收与音乐产业投融资事件数量呈正相关关系C.2016年我国音乐产业投融资事件的平均营收约为1.27亿美元D.20132019年我国录制音乐营收年增长率最大的是2

3、018年5.已知等比数列的前项和，若，则（ ）A.2B.C.1D.6.在中，点在线段上，且，为的中点，则（ ）A.B.C.D.7.用一个平面去截正方体，截面的形状不可能是（ ）A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形8.设等差数列的前项和为，且，则（ ）A.30B.60C.90D.1209.已知直线是函数图象的一条对称轴，则的最小值是（ ）A.B.C.D.10.已知函数是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，当时，则（ ）A.3B.C.7D.11.在四面体中，分别为，的中点，则异面直线与所成的角为（ ）A.B.C.D.12.设函数是定义在上的单调函数，且，.若函数有两个零点，则的取值范

4、围是（ ）A.B.C.D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知函数，若，则_.14已知实数，满足不等式组，则的最小值为_.15.辊子是客家传统农具，南方农民犁开田地后，仍有大的土块.农人便用六片叶齿组成辊轴，两侧装上木板，人跨开两脚站立，既能掌握平衡，又能增加重量，让牛拉动辊轴前进，压碎土块，以利于耕种这六片叶齿又对应着菩萨六度，即布施、持戒、忍辱、精进、禅定与般若.若甲、乙每人依次有放回地从这六片叶齿中随机取一片，则这两人选的叶齿对应的“度”相同的概率为_.16.设双曲线：的右焦点为，点，已知点在双曲线的左支上，若的周长的最小值是8，则双曲

5、线的离心率是_，此时，点的坐标为_.（本题第一空2分，第二空3分）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17 21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）针对某新型病毒，某科研机构已研发出甲、乙两种疫苗，为比较两种疫苗的效果，选取100名志愿者，将他们随机分成两组，每组50人.第一组志愿者注射甲种疫苗，第二组志愿者注射乙种疫苗，经过一段时间后，对这100志愿者进行该新型病毒抗体检测，发现有的志愿者未产生该新型病毒抗体，在未产生该新型病毒抗体的志愿者中，注射甲种疫苗的志愿者占.（1）根据题中数

6、据，完成答题卡上的列联表；（2）根据（1）中的列联表，判断能否有95%的把握认为甲、乙两种疫苗的效果有差异.参考公式：，其中.参考数据：0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.82818.（12分）在中，角，所对的边分别为，已知.（1）求；（2）若，且，求的面积.19.（12分）在三棱锥中，平面，为的中点，且.（1）证明：平面.（2）若，求点到平面的距离.20.（12分）已知椭圆：的离心率为，且椭圆的右顶点到直线的距离为3.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值（为坐标原点）.21.（12分）（1）试比较与的大小.（2）若函数的两个

7、零点分别为，求的取值范围；证明：.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22.选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线，的普通方程；（2）已知点，若曲线，交于，两点，求的值.23.选修4-5：不等式选讲（10分）已知函数.（1）求不等式的解集（2）若函数的最小值为，且实数，满足，求的最大值.高三数学试卷参考答案1.A【解析】本题考查集合的交集，考查运算求解能力.因为，所以.2.D【解析】本题考查复数的运算，考查运算

8、求解能力.3.B【解析】本题考查抛物线，考查运算求解能力.由题意可得，解得，则抛物线的方程是.4.B【解析】本题考查统计图的实际应用，考查数据处理能力.对于A，2013年我国音乐产业投融资事件数为10，比2012年我国音乐产业投融资事件数11少，故A错误；对于B，由图可知20132018年我国录制音乐营收随音乐产业投融资事件数量的增加而增加，故呈正相关关系，故B正确；对于C，2016年我国音乐产业投融资事件的平均营收为亿美元，故C错误；对于D，20132019年我国录制音乐营收年增长率最大的是2015年，年增长率为，故D错误.5.D【解析】本题考查等比数列，考查运算求解能力.由题意可得，则，解

9、得.6.A【解析】本题考查平面向量，考查运算求解能力.由题意可得，因为为的中点，所以，故.7.C【解析】本题考查立体几何，考查空间想象能力与推理论证能力.由面面平行的性质定理可知选C.8.B【解析】本题考查等差数列，考查运算求解能力.因为，所以，则.9.D【解析】本题考查三角函数图象的性质，考查运算求解能力与推理论证能力.由题意可得，则，即，因为，所以.l0.D【解析】本题考查函数的性质，考查运算求解能力与推理论证能力.由题意可得，所以.11.B【解析】本题考查异面直线所成的角，考查空间想象能力与运算求解能力.如图，把四面体补成一个长、宽、高分别为，1的长方体，取的中点，连接，.因为，分别是，

10、的中点，所以，同理，.因为，所以，所以是等腰直角三角形，则，即异面直线与所成的角为.12.C【解析】本题考查导数与函数零点问题，考查化归与转化能力与运算求解能力.由题意可得为常数，设，所以，则，解得，故，有两个零点等价于函数与的图象有两个不同的交点，当直线与曲线相切时，设切点，则，解得，此时，.故要使得函数与的图象有两个不同的交点，则.13.1【解析】本题考查函数，考查运算求解能力.由题意可得，解得.14.2【解析】本题考查线性规划，考查数形结合的数学思想.画出可行域（图略），当直线经过点时，取得最小值2.15.【解析】本题考查数学文化与古典概型，考查运算求解能力.记布施、持戒、忍辱、精进、禅

11、定，般若分别为，则基本事件有，共36个，其中符合条件的有6个，故所求概率.16.；【解析】本题考查双曲线，考查运算求解能力与推理论证能力.如图，设为的左焦点，连接，则，所以的周长.因为，所以的周长.因为的周长的最小值是8，所以，所以，所以双曲线的离心率是.当的周长取最小值点，点在直线上，联立解得，故的坐标为.17.解：（1）由题意可得未产生该新型病毒抗体的志愿者的人数为，1分则注射甲种疫苗的志愿者中未产生抗体的人数为，产生抗体的人数为；3分注射乙种疫苗的志愿者中未产生抗体的人数为，产生抗体的人数为.5分产生抗体未产生抗体合计甲48250乙42850合计90101006分（2），9分因为，所以有

12、95%的把握认为甲、乙两种疫苗的效果有差异. 12分评分细则：（1）在第一问中，没有计算过程，直接完成列联表的，只要结果正确，不予扣分，结果不正确的每空扣1分，最多扣6分；（2）在第二问中，若的值计算正确，但没有写出，直接得到结论，可以不扣分，若的值计算不正确，则不给分；（3）若用其他解法，参照评分标准按步给分.18.解：（1）因为，所以，2分所以，所以，4分因为，所以，所以.6分（2）由余弦定理可得，8分因为，所以，所以.10分故的面积为.12分评分细则：（1）在第一间中也可以用角转化成边得到，从而求出，不予扣分；（2）在第二问中，先由正弦定理求出外接圆的半径，再由余弦定理求出的值，最后通过

13、三角形的面积公式，求出的面积，只要计算正确，不予扣分；（3）若用其他解法，参照评分标准按步给分.19.（1）（1）证明：因为为的中点，且，所以，1分所以，所以.2分因为，所以，即.3分因为平面，且二平面，所以.4分因为平面，平面，且，所以平面.5分（2）解：由（1）可知.因为，所以，所以，6分则的面积为.7分因为为的中点，所以的面积为.8分因为平面，所以，所以，则的面积为.10分设点到平面的距离为，因为，所以，解得.12分平分细则：（1）在第一问中，直接由，得到，没有中间过程，扣2分；（2）第二问中，也可以先求出的面积，再得到的面积，从而求出点到平面的距离要计算正确，不予扣分；（3）若用其他解

14、法，参照评分标准按步给分.20解：（1）因为椭圆的右顶点到直线的距离为，所以，解得.2分因为椭圆的离心率为，所以，所以，所以.4分 故椭圆的方程为.5分（2）由题意可知直线的斜率不为0，则可设直线的方程为，3，联立，整理得，6分则，7分从而.8分故的面积.9分设，则，故.11分当且仅当，即时，的面积取得最大值2. 12分评分细则：（1）在第一问中，先根据离心率求出，从而得到，再由点到直线的距离公式求出的值，从而求出椭圆的方程，只要计算正确，不予扣分；（2）在第二问中，没有给出当的面积取最大值时的值，扣1分；（3）在第二问中，直线的方程也可设为（斜率在时），从而将的面积用含直线的斜率的式子表示，

15、从而求出的面积的取值范围，再求出当直线的斜率不存在时的面积，从而得出的面积的最大值，只要计算正确，不予扣分；（4）若用其他解法，参照评分标准按步给分.21.解（1）设，则，故在上单调递减.1分因为，所以当时，；当时，；当时，.2分即当时，；当时；当时，.3分（2）因为，所以，令，得；令，得，则在上单调递减，在上单调递增，故.4分因为有两个零点，所以，即.5分因为，所以当有两个零点时，的取值范围为.6分证明：因为，是的两个零点，不妨设，则.因为，7分所以，即，9分则，即，即.11分因为，所以，则，即.12分评分细则：（1）在第一问中，漏掉一种情况扣1分，至多扣2分；（2）在第二问中，只根据，得到，没有考虑存在和，扣1分；（3）若用其他解法，参照评分标准按步给分.22.解：（1）由曲线的参数方程为（为参数），消去得.2分由曲线的参数方程为（为参数），消去得.4分（2）曲线的标准参数方程为（为参数）.5分代入，整理得，7分所以，8分因为，所以.10分评分细则：（1）在第一问中，先求的方程，再求的方程，不予扣分；（2）在第二问中，没有说明，直接得到，不予扣分；（3）若用其他解法，参照评分标准按步给分.评分细则：（1）在第一问