平面向量第一讲

1、汪博教育5398006平面向量第一讲向量的加减法、实数与向量的积、平面向量的坐标运算主讲：龚荣峰要点扫描1向量是既有又有的量，向量常用线段来表示，向量AB的长度记作;长度为零的向量叫做,记作,长度为1的向量叫做;方向相反或相同的向量叫做，也叫做,长度相等且方向相同的向量叫做2实数k与向量a的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：(1)|ka|=(2)当k>0时，ka与a的方向;当k<0时，ka与a的方向;当k=0时，ka=3向量b与向量a共线的的充要条件是其中a不为零向量4向量加法的运算律：(1)(2);实数与向量的积的运算律-5在平面直角坐标系中，设i,j分别是方向与x轴、

2、y轴正向相同的单位向量，a是平面内任一向量，且a=xi+yj,则称为a的坐标，记作a=(,)6设a=(c,d),b=(e,f)则a+b=(,),a-b=(,)ka=(,)7设A=(c,d),B=(e,f),则AB=,|AB|=8a=(c,d),b=(e,f)则a/b等价于考题热身1在ABC中，AB=c,AC=b,若点D满足BD=2DC,求AD2已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a/b,求2a+3b考点解读考点1向量的概念(1)向量的表示方法向量的起点为a,终点为b,则记为Ab,若只研究向量的大小和方向，不关心起点时，可用a、b来表示(2)向量的模如果AB=a,那么AB的长度表示向

3、量a的大小，也叫做向量a的模，记作|aB|=|a|(3)对零向量、相等向量、共线向量的说明零向量的方向不确定，任意，两个零向量相等，模为零的向量一定是零向量；任意两个相等的非零向量，都可以用一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关；共线向量也叫平行向量，任一向量都与自身是平行向量，并且规定零向量与任一向量都是平行向量考点2向量的加减法(1) 向量的加法可以按照平行四边形法则、三角形法则(2) 向量的减法实质是向量加法的逆运算考点3实数与向量的乘积实数k与向量a的积是一个向量，记作ka考点4实数与向量的积满足的运算律设入理实数，则有乂止=(入凶(入+p)a=入a+paXa+b)=入a+Xb考点

4、5向量共线的条件平行向量基本定理：若a=kb,则ab,若a/b(b不为零向量)则一定存在一个实数卜使2=世考点6平面向量的坐标表示已知a=xi+yj，则a=(,)考点7两向量平行的条件的坐标表示(1) 设2=(e,f),b=(g,h)则a/b等价于(2) 设a=(e,f),b=(g,h),b不平行于标轴，则ab等价于典例精析题型一考查基本概念例1.如图51,在平行六面体ABCDAiBiCiDi中，M为AC与BD的交点，若A1B=a,AD1=b,A1A=c.则下列向量中与B1M相等的向量是()11A. a+ b+c2211B. a+ b+c22C. 1a 1b+c22题型二向量加法、减法及数乘的

5、应用例2若a、b、c为任意向量,mCR,则下列等式不一定 成立的是 D. 1 a一 一 b+ c22( )A. (a+b) +c=a+ (b+c)C. m (a+b) =ma+mbB. (a+b) - c=a - c+b cD. (a b) c=a (b c)DC 2BD ,题型三共线向量与三点共线问题例3设D、E、F分别是三角形ABC的三边BC,CA,AB的点，且CE2EA,AF2FBWJADBEBC与BC的关系题型四平面向量的基本定理及运用例4在三角形ABC中点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC,AM与BN相交于点P求AP:PM的值题型五坐标值的运算例5若向量a=(3,2),b

6、=(0,1),则向量2ba的坐标是()A. (3, 4)C. (3, 4)B.(3,4)D.(3,4)例6已知A(1,2),B=(2,1),C=(3,2)和D(2,3)以AB,AC为一组基底来表示ADBDCD题型六向量平行的充要条件的运用例7已知A(4,0)B(4,4)C(2,6)求AC和OB的交点P的坐标题型七数学思想法例8在三角形ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，G是它的重心，已知D(1,2),E(3,5),F(2,7)求A、B、C、G的坐标反馈训练1设a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则(ab)c(ca)b=0|a|b|<|ab|(bc)a(ca)b不与

7、c垂直(3a+2b)(3a2b)=9|a|24|b|2中，是真命题的有()A.B.C.D.2如果直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率为()A.-1B.-3C.1D.3333已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,那么a-b=.4 已知 a=(2, 1), b=(-3 , 4),求 a+b, a-b, 3a+4b 的坐标5已知平行四边形ABCD的三个顶点顶点D的坐标.A、B、C的坐标分别为（-2,1）、（-1,3）、（3,4）,求6已知点A(0,1),B(1,0),C(1,2),D(2,1),求证:AB/CD.7已知A(-1,-

8、1),B(1,3),C(2,5),求证A、B、C三点共线8已知两点M（1,0）,N（1,0）,且点P使MPMN,PMPN,NM-NP成公差小于零的等差数列.求点P的轨迹是什么曲线？9四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形，AB=2,1,4,AD=4,2,0,AP=-1,2,1.对于向量a=x1,y1，zi,b=x2,y2,Z2,c=x3,y3,z3,定义一种运算：(aXb)-C=Xiy2Z3+X2y3Zl+X3yiZ2Xiy3Z2X2yiZ3X3y2Z1,试计算(ABXAD)AP的绝对值的值10已知向量a, b的坐标，求a+b,a-b的坐标.a=(-2 , 4), b=(5, 2);(2)a=(4, 3) , b=(-3 , 8);(3)a=(2 , 3), b=(-2 , 3);a=(3, 0), b=(0 , 4);11已知a=(3,2