偏导数和全微分

1、偏导数和全微分 偏导数 1.偏增量与全增量同理,可定义关于自变量 的偏增量 如果当自变量 和自变量 在点 都有改变量时,则函数相应的改变量 称为函数的全增量.y),(),(0000yxfyyxfzyxy),(00yx),(),(0000yxfyyxxfz 设函数 在点 的某一邻域内有定义,让 保持不变,那么 就是一元函数,当自变量 在 点取改变量 时,则相应的就有函数的改变量 ,称其为二元函数 在 点关于自变量 的偏增量,记作 即:),( yxfz0yy),(00yx),(00yx),(00yx),(0yxfz),(),(0000yxfyxxfxxxzx),(),(0000yxfyxxfzx)

2、,( yxfz 偏导数 2.偏导数的定义 定义6.5 设二元函数 在点 的某一邻域内有定义,如果极限),(yxfz ),(00yxxyxfyxxfxzxxx),(),(limlim000000存在,则称该极限值为函数 在点 关于自变量 的偏导数,记作),(yxfz ),(00yxx),(00yxfxxyxf),(00或 或 或 00yyxxzx00yyxxxz同理,如果极限 存在，则称该极限值为函数 在点 关于自变量 的偏导数,记作 yyxfyyxfyzyyy),(),(limlim000000),( yxfz),(00yxy00yyxxzy 00yyxxyzyyxf),(00),(00yxf

3、y或 或 或 偏导数 2.偏导数的定义xyxfxzzyxfxx),(,),(yyxfyzzyxfyy),(,),(和 如果函数 在平面区域 内的每一个点 处对 (或对 )的偏导数都存在,称函数 在 内任意一点 处对 (或对 )的偏导函数,简称函数 在D内有偏导数,记作 ),(yxfz ),(yxfz DD),(yx),(yxxxyy),(yxfz 偏导数 3.偏导数的求法 由偏导数的定义易见，函数z =f (x, y)在点(x0, y0)处的偏导数就是函数f (x, y)在点(x0,y0)处沿x轴或y轴方向的变化率。 要求二元函数对某个变量的偏导数,只需将其余变量看作常量，按一元函数的求导法则

4、，求出其一元函数的导数即为其偏导数. 偏导数 例1 设32223),(yxyxyxf求) 1, 0(),2, 1 (),(),(yxyxffyxfyxf10)2, 1 (xf266),(yxyyxfy232),(yxyxfx解：6) 1, 0(yf 偏导数 例2 设 求yxz yxzz ,1yxyxzxxzyyln复习两个求导公式：1)(uuuxxaaaxxln)(解： 偏导数 例3 设)ln()(2222yxyxz求yzxz,复习导数四则法则：)0()(2vvvuvuvukukkuvuvuuvvuvu为常数解：)ln(1 22)(1)()ln(2 )ln()ln()(222222222222

5、2222yxxxyxyxyxxyxyxyxyxxzxx)ln(1 22)(1)()ln(2 )ln()ln()(2222222222222222yxyyyxyxyxyyxyxyxyxyzyy 偏导数 例4 设求xyzarctanyzxz,22222)(11).(11yxyxyxyxyxyxzx2222)1(11)(11yxxxxyxyxyyzy解： 偏导数 4.高阶偏导数 一般,二元函数的偏导数 还都是二元函数,如果它们对 的偏导数都还存在,则称其为原来二元函数的二阶偏导数,分别记作),(),(yxfyxfyxyx,),(),(),(),(yxfyxfyxfyxfyyyxxyxx .,yyyx

6、xyxxzzzz 或或yzyyzyzxxyzxzyyxzxzxxz222222, 类似地,还可以定义三阶、四阶以及更高阶的偏导数.二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.说明:在上述记号中 表示两次均是对 求导数,而记号 表示先对 求偏导,然后再对 求偏导.其它记号意思同理.22),(xzzyxfxxxx xyxzzyxfxyxy 2),(xy 偏导数 4.高阶偏导数 对于二元函数 来说,如果二阶混合偏导数 ,在点 均连续,则必有 习惯上称 为二阶混合偏导数.),(),(yxfyxfyxxy 和),(yxfxy ),(yxfxy ),(yxfz ),(yx),(),(yxfyxfyxxy 例5 设

7、求222222,yzxyzyxzxzyexz2解： 因为 , xzyxe2yexyz2所以yexz222yexyz222yxeyxz22yxexyz226.2.2 全微分 1.全微分的概念定义6.6 对于二元函数 来说,如果其在点 的全增量 可以表示为: 的形式。其中 是x, y的函数，与 和 无关， ),( yxfz),(),(yxfyyxxfz)(oyBxAz022yxBA,xy 是比 较高阶的无穷小量。则称二元函数 在 处可微,此时称 为函数 在点 处的全微分,记作 , 即),(yx).0,0(时当yx)(o),( yxfz),(yx),(yxyBxA),( yxfz),(yxdfdz或

8、yBxAdz6.2.2 全微分1.全微分的概念注1: 该定义很容易即可推广到n元函数上去.注2: 在一元函数中,大家知道可微必可导,可导也可微。但在二元函数中就不同了.即使二元函数 在点 的两个偏导数 都存在,也不能保证二元函数 在点 处就一定可微.然而反之,若二元函数 在点 处可微,则该函数在点处必存在两个偏导数 ),(yxfz ),(yx),(),(yxfyxfyx),(yxfz ),(yx),(yx),(yxfz ),(),(yxfyxfyx注3:若二元函数 在点 处存在两个连续的偏导数 则该函数在 点处就一定可微,且此时有 即),( yxfz),(yx),(),(yxfyxfyx),(

9、yx),(yxfAx),(yxfByyyxfxyxfdzyx),(),(注4:类似于一元函数,规定 ,于是有ydyxdx,dyyxfdxyxfdzyx),(),(6.2.2 全微分1.全微分的概念注5: 上式给出了求全微分的公式.当然该式成立的条件是两个偏导数存在且连续.而一般二元函数(除分段函数外)如果偏导数存在的话则均是连续的。所以,求全微分时只需求出偏导数后,将其代入上述公式即可.注6: 在一元函数中,可导必连续,连续未必可导.而在二元函数中即便两个偏导数都存在二元函数也未必连续.但当二元函数 在点 处可微时,则 在 点处就必连续.),( yxfz),(yx),(yx),( yxfz6.

10、2.2 全微分1.全微分的概念演示说明演示说明:上述杯子中饮料的多少代表了该数学概念的强上述杯子中饮料的多少代表了该数学概念的强弱弱,条件越强则杯子越大饮料越多条件越强则杯子越大饮料越多,否则条件越弱则杯子越否则条件越弱则杯子越小饮料越少小饮料越少.条件强的可以推出弱的条件强的可以推出弱的,反之不成立反之不成立.在在且且连连续续偏偏导导数数存存存在存在全微分全微分连连续续函函数数存在存在全微分全微分连连续续函函数数存在存在全微分全微分说明说明:全微分存在时原来函数一全微分存在时原来函数一定是连续的定是连续的.存在存在全微分全微分在在且且连连续续偏偏导导数数存存还须注意还须注意:即使二元函数的偏

11、导数都存在即使二元函数的偏导数都存在,该函数也未必连续该函数也未必连续.在在存存导导偏偏连连续续函函数数显然可见显然可见:全微分存在时其偏导全微分存在时其偏导数一定也存在数一定也存在.连连续续函函数数说明说明:二元函数的偏导数存在且二元函数的偏导数存在且连续时连续时,则其全微分也必存在则其全微分也必存在.6.2.2 全微分1.全微分的概念例6 设dzxyz求,arctan解： 因为222211yxyxyxyxz222111yxxxxyyz所以222222yxxdyydxdyyxxdxyxydz6.2.2 全微分2.全微分的应用dzz 因为dyyxfdxyxfyxfyyxxfyx),(),(),

12、(),(所以有dyyxfdxyxfyxfyyxxfyx),(),(),(),(移项,得令 有 00,yyxxdyyxfdxyxfyxfyyxxfyx),(),(),(),(00000000上式给出了利用全微分进行近似计算的公式.6.2.2 全微分2.全微分的应用例7 现有一块长方形的钢板,其长为2m,宽为1.5m,今对其进行加工,使其长度增加了8cm,而其寬度减少了10cm.试问其面积近似变化了多少?是增加啦还是减少啦?解 长方形面积 xyS 可看作是长x 和宽y 的二元函数,其全微分为xdyydxdS取 代入上式,得1 . 0,08. 0, 5 . 1, 200dydxyx08.0)1 .0(208.05 .11 .0,08.05 .1,2dydxyxdS08.0dzz可见故该钢材的面积缩小了近0.082m6.2.2 全微分2.全微分的应用 例8 求 的近似值.