423直线与圆的方程的应用1

1、直线与圆的方程的应用直线与圆的方程的应用例例1 1、如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱、如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度跨度AB=20AB=20米，拱高米，拱高OP=4OP=4米，在建造时每隔米，在建造时每隔4 4米需要米需要用一个支柱支撑，求支柱用一个支柱支撑，求支柱A A2 2P P2 2的长度的长度由方程组由方程组答：支柱答：支柱A2P2的长度约为的长度约为3.86米米把点把点P2的横坐标的横坐标x=-2代入代入这个圆的方程，得这个圆的方程，得y=3.86(y0)22222201040rbrb）（）（下面用待定系数法来确定下面用待定系数法来确定b和和r的值的值。x2+（

2、y - b）2=r2因为因为P、B都在圆都在圆上，所以它们的上，所以它们的坐标（坐标（0，4）、）、（10，0）满足方）满足方程程解得：解得：b=-10.5 r2=14.52所以圆的方程为所以圆的方程为x2+（y+10.5）2=14.52P2PBAOA1A3A4A2xy解：如图建立平面直角坐标系，圆心解：如图建立平面直角坐标系，圆心在在y y轴上。设圆心的坐标是（轴上。设圆心的坐标是（0 0，b b）, ,圆的半径是圆的半径是r r，那么圆的方程是，那么圆的方程是例例2 2、已知内接于圆的四边形的对角线互相、已知内接于圆的四边形的对角线互相垂垂直直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对，求证圆心

3、到一边的距离等于这条边所对边长的一半边长的一半分析分析：将自然语言转化为图形语言，建立适将自然语言转化为图形语言，建立适当的直角坐标系证明问题。由已知，可选择当的直角坐标系证明问题。由已知，可选择互相垂直的两条对角线所在的直线为坐标轴，互相垂直的两条对角线所在的直线为坐标轴，关键在求圆心坐标关键在求圆心坐标yOEMNxQABCD), 0(b)0 ,(c), 0(d)0 ,(a解：解：如图如图，以四边形，以四边形ABCD互相垂直的对角线互相垂直的对角线CA，DB所在直线分别为所在直线分别为x轴和轴和y轴，建立平面直角坐标系。设轴，建立平面直角坐标系。设)0 ,(aA), 0(bB)0 ,(cC)

4、, 0(dD过四边形过四边形ABCD外接圆圆心外接圆圆心Q分别作分别作AC，BD，AD的垂的垂线，垂足分别为线，垂足分别为M，N，E，则，则M，N，E分别是线段分别是线段AC，BD，AD的中点，由线段的中点坐标公式得：的中点，由线段的中点坐标公式得：2caxxMQ2dbyyNQ2axE2dyE所以，所以，222221)22()22(cbddbacaQEOEMNxQABCD), 0(b)0 ,(c), 0(d)0 ,(aBCQE21又22cbBC 同理，可证其它同理，可证其它所以即：圆心到一边的即：圆心到一边的距离等于这条边所距离等于这条边所对边长的一半对边长的一半点评：点评： 用坐标法解决问题

5、的步骤用坐标法解决问题的步骤“三步曲三步曲”1、建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程、建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题代数问题2、通过代数运算，解决代数问题（有目的地）、通过代数运算，解决代数问题（有目的地）3、把代数运算结果、把代数运算结果“翻译翻译”成几何结论成几何结论几何几何 代数代数几何几何例例3 3、在气象台、在气象台A A正西方向正西方向300300千米处有一千米处有一台风中心，它以每小时台风中心，它以每小时4040千米的速度向千米的速度向东北方向移动，距台风中心东北方向移动，距台风

6、中心250250千米以内千米以内的地方都要受其影响。问：从现在起，的地方都要受其影响。问：从现在起，大约多长时间后，气象台大约多长时间后，气象台A A所在地将遭受所在地将遭受台风影响？持续多长时间？台风影响？持续多长时间？ )41. 12,65. 27(取补充练习补充练习练习练习1 1、已知圆、已知圆x x2 2+y+y2 2+x 6y +m=0+x 6y +m=0和直线和直线 x+2y-3=0 x+2y-3=0交于交于P P、Q Q两点，若两点，若OPOQOPOQ（O O是原是原点），求点），求m m的值的值注：直线与圆相交，要求注：直线与圆相交，要求x x1 1 +x +x2 2 , x

7、, x1 1 x x2 2 , |x , |x1 1 x x2 2|, |, y y1 1 +y +y2 2 , y , y1 1 y y2 2 , |y , |y1 1 y y2 2| |等，应用韦达定理等，应用韦达定理补充练习补充练习练习练习2 2、自点、自点A(-3A(-3，3)3)发射的光线发射的光线l l 射到射到x x轴上，被轴上，被x x轴反射，其反射光线所在的直线与圆轴反射，其反射光线所在的直线与圆 x x2 2+y+y2 2-4x-4y+7=0-4x-4y+7=0相切，求反射光线所在直线的方程相切，求反射光线所在直线的方程B(-3，-3)A(-3，3) C(2, 2) l : 4x+3y+25=0或或3x+4y+21=0小结：小结： 用坐标法解决问题的步骤用坐标法解决问题的步骤“三步曲三步曲”1、建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题、建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题2、通过代数运算，解决代