三角变形中角的转换

1、五大思路实现三角变形中角的转换作者：常州市第四中学王宏荣在三角式的变形中，常常需要从多角度来综合考虑，其中一个重要的方法就是从角的角度来进行转换，即以角之间的相互关联来实现化繁为简，化异为同。进一步利用其它方法或工具解决问题。下面举例说明如何从角的角度来建立联系，实现转化。1 利用诱导公式转化例1 已知cos（75°+）= ，是第三象限角,则cos（15°-）+sin（-15°）= .解析：本题中涉及三个角，其中15°-与-15°是互为相反数，容易转化；观察-15°与75°+，两角和为90°，可以借助诱导公式进行转

2、化。详解：cos（75°+）= cos90°-（15°-）sin（15°-）= ,又是第三象限角，15°-是第二象限角或第三象限角，由sin（15°-）= 0, 15°-是第二象限角cos（15°-）=- , sin（-15°）= - sin（15°-）= ，cos（15°-）+sin（-15°）=- 。2 利用和差公式转化例2 在ABC中cos（ +A）=；求cos2A.解析：在解决本题时，常有同学把cos（ +A）用两角和差的余弦公式展开，再结合平方和关系进行求解，这种方

3、法也能解决，决但计算相对烦琐。而常常是利用（ +A），求出（ +A）的正弦与余弦，然后利用和角公式进行求解。详解：cos（ +A）=， +A为第一象限角，sin（ +A）=，sinsin（ +A）= sin（ +A）coscos（ +A）sin =,cos2A=2sin2A=.例3 (2006江苏)cot20°cos10°+ sin10°tan70°-2cos40°= .解析：本题中有个不同的角，其中20°和70°互余，能够转化，转化后能够发现有因式cos10°+ sin10°，该式提取然后利用和差公式可

4、以转化为sin40°，40°是20°的倍角，所以可以进一步根据倍角公式进行转化。详解：cot20°cos10°+ sin10°tan70°-2cos40°cot20°（cos10°+ sin10°）-2cos40°cot20°（ cos10°+ sin10°）-2cos40°cot20°sin40°-2cos40°·2sin20°cos20°·-2(2cos220&#

5、176;-1)例4 已知sincos,求cossin的取值范围.解析：本题常有同学想用两角和差公式来解，但往往得有到正确的范围，该解法如下：sincos+cossin=sin(+), 1sin(+) 1，cossin，又cos，sin，cossin，由得cossin。当然用这种方法也能解出正确答案，只要再用sincoscossin=sin()，可得出cossin，由得cossin。解咯。3 利用倍角公式转化例中（ +A）的两倍是（ +A），要求cos2A，只要先求sin（ +A）.详解：cos（ +A）=， +A为第一象限角，sin（ +A）=，cos2Asin（ +A）sin（ +A）cos

6、（ +A）··。又例中对于sincos与cossin除了可以相加减外，还能相乘，而两者相乘能够较快的得到答案。详解：sincoscossinsin2,由sin2，sincoscossin，即cossin，cossin。例5 求值：cos20°cos40°cos80°.解析：观察三个角之间存在倍角关系，且都是余弦，只要添上一个sin20°,就可以连续运用倍角公式。详解：cos20°cos40°cos80°.4 利用特殊角转化例6 求的值.解析：本题在两角是倍半角关系，但用倍角公式却不能解决。另一方面20&#

7、176;与10°的和是特殊角30°，所以我们可以利用30°来进行三角变形。详解：5 利用换元思想实现转化利用换元法来转化有时是把三角式进行换元，转化为其它非三角问题来解；有时是把其它表面上与三角无关的问题换成三角问题，进而利用三角工具来解决问题。有时也称“三角代换”。换元过程中要注意角的范围。例7 (2006年全国卷)的三个内角为A、B、C，求当A为何值时， cosA2cos取得最大值，并求出这个最大值。 详解：cosA2coscosA2cos()cosA2sin12sin22sin记t= sin（）则原问题等价于求f(t)t2t在（0，1上的最大值当t时，即时，f(t)取得最大值.例8 已知f(x).求证：f(x)；确定f(x)的单调区间。解析：本题是无理根式的形式，但由于x，且x(1x)，故可将x、1x与sin2、cos2联系，化无理式为三角函数式。详解：令x=sin2, 0, ,则f(x)sincossin() 由0, 知，,得sin(),1,故值域为，. 由正弦函数的单