分析力学的形成及其两种表示

1、 物理学史分析力学的形成及其两种表示王长荣(204摘要, 讨论了分析力学的微分和积分.关键词; ; 1科学渊源与历史背景分析力学是18世纪后叶随着工业革命的迅速发展而建立起来的.自从牛顿总结了运动三定律, 发现了万有引力之后, 力学的发展出现了一个新的局面. 其最大的特点是很多数学家, 特别是分析数学家对力学研究表现出了惊人的热情. 微积分成为一种强有力的分析工具. 以D. 伯努利(D. Bernoulli 17001782 为代表, 将分析的方法用于力学解决了当时许多没有解决的问题. 力学理论显著的数学特征对于具有数学才能的科学家们有一种强大的吸引力. 所以, 这一时期许多著名的科学家大都既

2、是力学家又是数学家. 这又反过来加强了力学的数学特征, 进一步促进了力学逐渐形成一套更加严密的数学演绎体系.1718世纪, 由于“力”的概念不是完全确定的, 对于力的各种效应以及与之相应的各个物理量的意义和使用范围也是不清楚的, 以质点力学为标志的牛顿力学原理, 虽然原则上可以解决全部力学问题, 但对多质点系和约束较多的情况, 直接应用牛顿三定律就十分繁难, 常常需要求解大量矢量微分方程式, 如果质点组受到约束, 则因约束反力也是未知的, 所以约束并不能减少甚至增加了问题的复杂性. 18、19世纪, 随着工业革命的迅速发展, 在工程技术上急需要解决的又正是这一类问题. 因此, 迫切需要寻求另外

3、的方法来处理这一类问题. 分析力学正是在这种历史的大背景下产生的.2分析力学的形成18世纪上半叶是一个实验活动蓬勃开展的时期, 其结果产生了许多新的力学问题, 特别是动力学方面的问题, 给数学提出了更高的要求. 1736年, 欧拉(L. Euler ,17031783 的不朽著作力学或运动学分析一书问世, 在本书中, 他没有用传统的几何方法, 而是采取了更有力的分析方法, 通过分析和论证, 一步一步地推演出各种命题, 使物理学体系化. 有人评价欧拉, 认为他对力学理论的贡献相当于笛卡儿对几何的贡献. 1743年, 达朗贝尔(J. L. R d Alembert ,17171783 提出了化动为

4、静的达朗贝尔原理, 将由牛顿第二定律表示的动力学方程, 看成在每一瞬间处于平衡状态的力系. 与此同时, 莫泊丢、赫曼等人也在力学理论的发展中做出了重要的贡献. 但是分析力学的真正创始人还应算是当时法国第一流的数学力学家拉格朗日(J. L. Lagrange 17361813 . 拉格朗日19岁就开始关心变分法问题, 并于1760年开始发表这方面的研究论文. 1788年出版了大型著作分析力学. 在这本著作中, 他把“作用”定义为运动量的空间积分或动能对时间积分的两倍, 质点运动所取的实际路径必是它的质量、速度和所经路程乘积的积分取极值的情况. 用s 个独立变量来描写力学体系的运动, 构建成二阶常

5、微分方程组, 无须籍助以往常用的几何方法, 而完全用数学分析的方法来解决所有的力学问题. 到了1834年, 哈密顿(W. R. Hamilton ,18051865 又提出, 如果用坐标和动量作为独立变量则虽方程式的数目增加了一倍, 即由s 个变为2s 个, 但微分方程式却从二阶降为46物理与工程V ol. 14N o. 32004 一阶, 在很多情况下, 用它来写出力学体系的运动方程并求解, 比拉格朗日方程更方便. 1843年, 他又用变分法原理提出了另一个和牛顿定律及上述诸方程组等价的哈密顿原理, 用来描述力学体系的运动, 这样分析力学就变得更加完整了. 3分析力学的两种表达形式, 价形式

6、.3. 1微分形式与莫泊丢和欧拉的观点不同, 在分析力学中, 拉格朗日把虚位移原理看成是物理学中的普遍原理, 认为它是具有理想约束质点平衡系的最普遍形式, 并将其表示为Pp +Q q +R r +=0(1 (1 式把静力学问题的解归结成为纯数学运算, 是分析力学微分形式的理论基础.1743年, 法国数学力学家达朗贝尔引进了“惯性力”这一概念, 提出了以他的名字命名的达朗贝尔原理, 将牛顿第二定律表示的动力学方程, 看成在每一瞬间处于平衡状态的力学, 即F +(-m ¨r =0(2 将动力学问题化为静力学问题, 于是力学的一切规律归结为惯性定律、运动合成定律和平衡定律. 将虚位移原理和

7、达朗贝尔原理结合起来, 就得到理想约束情况下分析力学的达朗贝尔2拉格朗日方程n i =1(F -m ¨r i r i =0(3它是解决质点动力学问题的普遍方程.在此一般方程的基础上, 拉格朗日进一步指出:可以引入数目恰等于系统自由度数的另一组参数来代替原来的坐标, 这样的广义坐标是相互独立的, 然后将普遍方程变换成包含这些新变量的方程, 再引入广义力, 就可以建立起一套全新的运动方程组, 即关于自由参数的一般动力学方程d t 9q i -9q i=Q i , i =1, 2, , s(4式中q i , q i , Q i 分别表示广义坐标、广义速度和广义力; T 为系统的动能, 如果

8、体系是保守力系, 则上式还可以进一步简化为d t 9q i -9q i=0, i =1, 2, , s(5式中拉氏函数L =T -V , 表示体系的动能与势能之差, , 表征着约束、. (3 式和(4 式(亦或(式 .( P. S. M de Laplace , , V 总是满足微分方程这个关系式出现于数学物理的各个部门中. 3. 2积分形式分析力学的积分形式是从最小作用原理发展起来的变分原理, 是一种通过变分法求泛函极值的方法.1657年, 费马从反射光线沿需时最少的路径行走的现象得到启示, 相信自然是“简单而又经济地行动的”, 确言了最小时间原理, 并将这一原理用变分的形式表示为BAv=0

9、在这一理论的基础上,1744年, 法国物理学家莫泊丢(P. L. M de Maupertuis ,16981759 提出了适用于各种物理现象的“最小作用量原理”, 他指出:体系实际发生的真正运动是使某一个作用量取最小值的运动, 并表示为mvs =min. 1755年, 拉格朗日把这种方法称为变分方法, 并把作用量定义为运动量的空间积分, 对于单个质点, 这个作用就等于pp 0mv d r 也可表示为tt 0mv 2d t =tt 02T d t并断言, 这个表示对质点组亦是成立的.哈密顿在仔细研究、分析了拉格朗日分析力学微分形式和关于最小作用量的定义之后, 利用拉氏函数L =T -V , 把

10、作用量写为物理与工程V ol. 14N o. 3200447 t 1t 0L (q 1, q 2, , q s , q 1, q 2, , q s , t d t称为哈密顿作用量, 哈密顿断言:在确定的初态和终态之间的所有可能的运动中, 真实运动的作用函数(哈密顿量 具有极值(通常是极小值 , 即tt 0L d t =0这就是哈密顿原理的数学表达式, 积分形式的基础表示. 由于L =T V t 1t 0L t t t 0t t 1t 0V d 时间平均值之差有一驻定值, 对于真实的运动, 它的平均动能尽可能地接近或等于平均势能. 此外, 利用广义坐标q i 及其与它相共轭的广义动量p =9q

11、i 定义哈密顿函数H (p , q , t =-L +si =1p i qi则d H =-d L +si =1(p id qi+q i d p i 而d L =si =19q i d q i +9q i d q i +9t d t =s i =1(p id q i+p i d q i +9t d t 代入上式即得d H =si =1(-p i d q i +q i d p i -9td t 而d H =si =19q i d q i +9 p i d p i +9td t 所以有q i=9p ip i =-9q i(i =1, 2, , s (6(6 式称为哈密顿正则方程, 它是以(p i ,

12、 q i 为参量, 包含有2s 个一阶常微分方程的方程组, 形式简单而对称, 是分析力学积分表示的又一种形式. 从经典物理学过渡到近代物理学, 正则方程也常被认为是最方便的形式. 4, 是经典力学发展史上的一, 通过虚位移原理、拉格朗日方程、最小作用原理, 把全部力学建立在能量不灭原理基础之上, 充分显示了变分法的力量, 从而使动力学达到了前所未有的高峰, 为现代力学奠定了基础. 哈密顿原理更是深刻揭示了客观事物之间的紧密联系, 把力学原理归结成了一般的形式, 不仅给出了解决力学问题的统一的观点和方法, 而且成为新的科学研究的起点, 为自然科学的发展提供了新的思路, 架起了通往近代物理的桥梁,

13、 成为处理整个物理学领域的方法. 最后, 我们借用拉格朗日在分析力学的序言中, 在回答分析力学的作用时的一句话作为本文的结尾:“喜欢分析的人将高兴地看到力学变成它的一个新分枝, 并将感激我扩大了它的领域”.参考文献1申先甲, 张锡鑫, 祁有龙. 物理学史简编M.济南:山东教育出版社,19852A. W olf. A History of Science , T echnology ,and phibos ophy in the18th Century. 2nd ed New Y ork. M ac M illan ,19523E. M ach. The Science of M echanics , A Critical and HistoricalAccount of Its Development. The Open C ourt Publishing C om pany , 6th