基本函数思想(涵盖了很多精巧的函数基本技巧)

1、（1） 抽象函数单调性（2） 函数与点关于直线对称（3） 二次函数定义域值域相等（4） 下翻上图象问题。（5）抽象函数不等式问题：定义在0，正无穷）上的函数f(x)满足 （1） f(xy)=f(x)+f(y)（2） f(2)=1 （3）当x>y时，f(x)>f(y)求1. f(1):f(4)2. f(x)+f(x-3)<2时，求X的取值一类典型问题。1，f(21)=f(2)+f(1)f(1)=0令x=y=2f(4)=2f(2)=22，这种抽象函数不等式，一般都是利用函数单调性来解，就是将两边都弄成只有一个f，然后去掉就只剩下括号内的大小关系了。目标明确，开始做，f(x)+f(

2、x-3)=fx(x-3)合成一个f，右边是个数，呵呵，前面已经知道f(4)=2所以原不等式就是fx(x-3)<f(4)，又因为条件3告诉我们函数是定义x(x-3)<43x<4 在0,+)的增函数，所以fx(x-3)<f(4)既等价于x0x-30（高度注意大括号下面两个大于0，是因为函数定义于要求。很容易掉）（6）设定义域为R的函数 lgx-, x1x=1 ,则关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是 答( )(A)b<0且c>0 (B) b>0且c<0 (C)b<0且c=0 (D)b0且c=0难得写过程呀，首先

3、第一你要知道最后一个方程的根是怎么来的，是先有二次方程 t2+bt+c=0解出了t1,t2再令f(x)=t1,f(x)=t2解出来的x才是根，那么几个根我们先来看看f（x）图象，自己画了哈。先将对数函数图象舍左保右（既，舍弃左边的保留右边的就变成了lgx，再向右移动一单位得lgx-的图象。，在最后下翻上得到lgx-1的图象，注意哪个A点，是函数x=1时的点，所以图象上看，要交出七个点的话，那两根粗线也就是y=t1,y=t2一定要一个等于0，一个是正数，所以t+bt+c=0一0一正根，所以b<0,c=02（7）数型结合解决一个看似实根分布的问题。f(x)=x2+ax+a+1=0 在0，2上

4、有唯一解，此问题等同于说x2+1=-a(x+1)在0,2只有一个解，就是说抛物线和直线在0,2部分的图象只有一个公共点。看图说话，那几个极限位置的斜率两个是由直线过的点（0，1）一个为1，（2，5）一个为5，还有一个就是相3切，自己联立判别市为0得2。所以很容易知道-a=2a=2- 或1<-a55-a<-1 33我想说这感觉才最淋漓（8）图象法解决方程根的个数（9）函数周期性和奇偶性结合。f (x)是定义在R上的偶函数,g (x)是定义在R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),若f(2)=2,则f(2006)的值为（10）图象看根个数，4次方程（11）函数不等式结合。（12）一函数

5、最值，利用奇偶性。（13）图象解决根的个数（14）求证2次方程根的分布（15）定义法证明函数单调性及超越方程无根的说明一题。 教我做下这题，谢谢啊已知函数fx=（ax）+（x-2）/(x+1)（a>1）（1） 证明：函数f(x)在（-1，+）上为增函数（2） 用反证法证明方程f(x)=0没有负数根（16）一类常见的抽象函数不等式求解（17）数型结合解一不等式知解求参数问题。（18）分段函数讨论求最值设a为实数,函数f(x)=x²+x-a+1,xR,求f(x)的最小值.（19）数型结合解决一图像交点个数问题（数型互换）已知函数f(x)=x的绝对值/（x+2）与f(x)=kx2有四

6、个交点,求k的取值范围 |x|=kx2有四个解，因为x=0一定是一个解。 x+2|x|当x0时，原方程既为2=k(x+2)要有三个解。 x|x|既图像y=2与图像y=k(x+2)要有3个交点。 x|x|下面画图了，注意y=2的图像是个分段函数。要x与y=k(x+2)有3交点，则如图的极限位置是直线与y=-1要相切，得到此时的k=1，故k>1 x（20）二次函数两次跌带不动点问题已知f(x)=ax2+bx+c(a0)且方程f(x)=x无实根，下列命题中方程ff(x)=x也一定没有实数根；若a>0，则不等式ff(x)>x对一切实数x都成立。若a<0,则必存在实数x0,使ff

7、(x0)>x0。若a+b+c=0，则不等式ff(x)<x对一切实数x都成立。正确命题的序号是：由题知，f(x)要么恒大于x，要么恒小于x。当a>0时，f(x)>x就要恒成立，所以令x=f(x)也要成立，所以有f(f(x)>f(x)>x 同理可判断a<0时，则f(x)<x要恒成立，所以f(f(x)<f(x)<x恒成立， 当a+b+c=0即f(1)=0<1，则可判断必须是f(x)<x，则f(f(x)<f(x)以4也对。综上，1，2，4对。（21）08江西卷二次函数最小值讨论已知函数f(x)=2mx2-2(4-m)x+1，

8、g(x)=mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)至少有一个为正数，则实数m的取值范围是A (0,2) B(0,8) C(2,8) D (-,0)题意弄清楚，表示的是二次函数和一次函数至少有一个为正。突破口是那个直线，因为一定是一半正，一半负。考虑若m<0，则二次函数开口向下，且直线当x<0时为正，x>0时为负，所以在x>0时二次函数就必须为正，但是一个开口向下的二次函数不可能在(0,+)恒正，所以要不得， 同理m=0时也不行。则m>0。对于直线，在(0,+)时已经为正，故只需要二次函数在(-,0必须为正， 则要求f(x)=2mx-2(4-m)x+1在(-,0的

9、最小值为正。含参二次函数求最值的问题来了。对称轴为x=当2<x恒成立，所4-m 2m4-m0时，即m4时，f(x)=2m2x-2(4-m)x+的1最小值在顶点取为2m8m-4(4-m2)>02<m<8，所以4m<8 8m4-m>0时，即0<m<4时，f(x)=2mx2-2(4-m)x+1的最小值为f(0)=1为正 2m综上，0<m<8 当（22）抽象函数，求和。这种求和无外乎就是倒序加或者两两组合分组求和法，找出相加的规律就行。注意到最后凑的那个题目多给的f(因为 1)实际上就是拿来起个头的。 n+211+211(n+1)(n+3)=f(f(2)+f()=f()= 2n+3n+1n+2(n+3n+1)(n+2)+11+2n+3n+1n+2f(n+1)(n+3)1)=f() (n2+3n)(n+2)+n+3n+111)再和倒数第三个数f()一和又会出来2n+1(n-1)+3(n-1)+1这个头一开，那么这个f(个f()，依次下去。倒起加完最后到f()