《行列式的展开定理》ppt课件

1、引例引例,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa 2223113233aaaaa 可见，三阶行列式可经过二阶行列式来表示可见，三阶行列式可经过二阶行列式来表示2123123133aaaaa 2122133132aaaaa 定义定义在在 n n 阶行列式阶行列式 中将元素中将元素 所在的所在的ijadet()ija第第 i 行与第行与第 j 列划去，剩下列划去，剩下 个元素按原

2、位置个元素按原位置2(1)n 次序构成一个次序构成一个 阶的行列式，阶的行列式，1n 111,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1jjniijijiniijijinnn jn jnnaaaaaaaaaaaaaaaa 称之为元素称之为元素 的余子式的余子式, ,记作记作 ijMija( 1)ijijijAM 令令称称 之为元素之为元素 的代数余子式的代数余子式ijaijA注：注： 行列式中每一个元素分别对应着一个余子式行列式中每一个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式和一个代数余子式无关，只与该元素所在行列式中的位置有关无关，只与该元素所在行列式中的位置有关 元素

3、元素 的余子式和代数余子式与的余子式和代数余子式与 的大小的大小ijaija511 111 3351111 1155 0M 例如例如3 333511( 1)11 1155 0A 元素除元素除 外都为外都为 0 0，那么，那么ija.ijijDa A 1.1.引理引理假设假设n 阶行列式阶行列式 D = 中的第中的第 i 行一切行一切det()ija511 111 3351111 1155 0M 例如例如3 333511( 1)11 1155 0A 3 33333331 ( 1).Da AM 证：证： 先证的情形，即先证的情形，即11ijaa

4、11212221200nnnnnaaaaDaaa 由行列式的定义，有由行列式的定义，有1 2121 2()12( 1)nnnj jjjjnjj jjDaaa 222()112( 1)nnnjjjnjjjaaa 222112nnnnaaaaa 1111.a A 1111a M 结论成立结论成立. .普通情形：普通情形：111,111,111,11,11,1,11,1,11,11,1,11,1,1,10000jjjniijijijinijiijijijinnn jnjn jnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa111,111,1111,11,11,1,11,1,11,11,1,11,1,1

5、,10000( 1)ijjjjniiijijijiniijijijinnn jnjn jnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 1111,11,11111,1,11,11,11,1,1,11,11,11,1,1,10000( 1)( 1)ijjjjnijijiijijinijiijijinnjnn jn jnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 2( 1)ijijija M ( 1)ijijija M ( 1).ijijijijijaMa A 结论成立结论成立. .111,11,1121,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1( 1)jjnijiijijinijii

6、jijinnn jn jnnaaaaaaaaaaaaaaaaa 例例1.1.计算行列式计算行列式 311 2513420111533D 解：解： 11130153D 511 0005 11 51111 1155 0 51162055 0 1 36 2( 1)55 40 2.定理定理行列式行列式 D D 等于它的任一行列的各元素与其等于它的任一行列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即对应的代数余子式乘积之和，即1122jjjjnjnjDa Aa Aa A1122iiiiininDa Aa Aa A 1nikikka A 1,2,in 1nkjkjka A 1,2,jn 或或行列式按行列展开法

7、那么行列式按行列展开法那么1111121211nnDa Aa Aa A证：证： 11121121200 0000niiinnnnnaaaaaaDaaa 1122iiiiinina Aa Aa A 11121111211112112121212000000nnniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa ni, 2 , 1 例例2.2.计算计算n n阶行列式阶行列式 00 000 0.0 0 00 00na ba bDa bba 解：解： (1)0 000 00 00 00nna baDaa ba 111( 1)nnna ab b 1( 1).nnnab 1(1)

8、00 00 0( 1)0 000 0nnba bbba b 思索按照第一行或思索按照第一行或是最后一行或是最是最后一行或是最后一列展开后一列展开例例3.3.证明范德蒙行列式证明范德蒙行列式 1232222123111111231111()nnnijj i nnnnnnxxxxxxxxDxxxxxx 特点：特点：1.第一行都是第一行都是1。2.第二行是根本元素行。第二行是根本元素行。3.从第一行开场每一行是第二行的幂方式。从第一行开场每一行是第二行的幂方式。213113221()()()()()()nnnnxxxxxxxxxxxx 1()ijj i nxx 213132121()()()()()

9、()nnnnxxxxxxxxxxxx 先证明先证明3 3阶范德蒙行列式阶范德蒙行列式 312322213123213132111()()()().ijj iDxxxxxxxxxxxxxx 证明证明32112322212313111()0rrxxxxxx xxx x 211213122212313111() 00rrxxxxxxx xxx x 3D213132()()().xxxxxx 213122212313xxxxxx xxx x 21312311()()xxxxxx 证：用数学归纳法证：用数学归纳法. . 时，时， 211211.xxxx 2n 01 假设对于假设对于 阶范德蒙行列式结论成

10、立即阶范德蒙行列式结论成立即1n 02结论成立结论成立23222231222223111()nnnijj i nnnnnxxxxxxDxxxxx 把把 从第从第 n n 行开场，后面一行减去前面一行的行开场，后面一行减去前面一行的nD倍，得倍，得1x21311222212313112121221231311111000nnnnnnnnnnnnxxxxxxxx xxx xxx xDxx xxx xxx x 下证对于下证对于 n n 阶范德蒙行列式阶范德蒙行列式 结论也成立结论也成立. .nD2131122133112222213311()()()()()()nnnnnnnnxxxxxxxxxxx

11、xxxxxxxxxxxxx 23222232131122223111()()()nnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxx 1()ijj i nxx 范德蒙行列式范德蒙行列式 中至少两个相等中至少两个相等120,nnDx xx 注：注：213111()()()nnxxxxxx D 213112()()()()nijj i nxxxxxxxx 范德蒙行列式另一方式：范德蒙行列式另一方式：211112121221333211111nnnnnnnxxxxxxxxxxxx 第一节的例第一节的例2：解方程：解方程21 112 30.4 9xx 例例4.4.计算计算2n2n阶行列式阶行列式 22nnab

12、abDbaba 其中未标明的元素都是其中未标明的元素都是0.解：解： 2(21)00000 0000000 00 0nnababDaba bbaa 2(22)0000000nabababa bba 21 12(22)0000( 1)000nnababbba bba 222(1)()nab D 22 22(2)()nabD 2212()nabD 221()na babb a 22()nab 21(21)0000 00( 1)0 000000 00 0nnababbbabab 3.推论推论行列式任一行列的元素与另一行列的行列式任一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即对应元素

13、的代数余子式乘积之和等于零，即11220,ijijninja Aa Aa Aij 11220,ijijinjna Aa Aa Aij 11211222120nna Aa Aa A 证证行行展展开开，有有按按第第把把行行列列式式jaDij)det( 11111111,niinjjjnjnjjnnnnaaaaa Aa Aaaaa可得可得换成换成把把), 1(nkaaikjk 11111111,niinijinjniinnnnaaaaa Aa Aaaaa行行第第 j行行第第 i一样一样11220,ijijninja Aa Aa Aij 11220.ijijinjna Aa Aa A 当当 时时, ,

14、ij 同理可证同理可证, , 10nikjkkDija Aij 10nkikjkDija Aij 综合定理及推论，有关于代数余子式的重要性质：综合定理及推论，有关于代数余子式的重要性质：代数余子式三种和方式比较代数余子式三种和方式比较11222.0,ijijinjna Aa Aa Aij 11221.iiiiininijna Aa Aa ADa定理定理推论推论1121314111213141MMMMAAAA 11112411113.,niiijjnnnnaaAAAaaaa 2和和3的解题的解题思绪：根据行思绪：根据行列式列式D构造新构造新的行列式。的行列式。例例5.5.设设 求求 35 211

15、105,1 3132413D 解：解：11121314AAAA 111111051 3132413 4. 和和11213141.MMMM 11121314AAAA 11213141MMMM11213141AAAA 15211 10513131413 0. 自然科学与工程技术中，我们会碰到未知数的自然科学与工程技术中，我们会碰到未知数的个数很多的线性方程组个数很多的线性方程组如如n元一次线性方程组元一次线性方程组11112211211222221122,(1).nnnnnnnnnna xa xa xba xa xaxba xaxaxb 它的解也有类似二元、三元一次线性方程组的结论它的解也有类似二

16、元、三元一次线性方程组的结论.三、克拉默法那么三、克拉默法那么Cramer,瑞士，瑞士，17041752定理定理 假设线性方程组假设线性方程组1的系数行列式的系数行列式 1112121222120,nnnnnnaaaaaaDaaa 那么方程组那么方程组()有独一解有独一解1212,nnDDDxxxDDD 2Cramer法那么法那么其中其中是把行列式是把行列式中第中第 列列(1,2, )jDjn Dj所得的一个所得的一个 n 级行列式，即级行列式，即的元素用方程组的元素用方程组1的常数项代换的常数项代换 12,nb bb111,111,11212,122,121,1,1jjnjjnjnn jnn

17、 jnnaabaaaabaaDaabaa 1122jjnnjb Ab Ab A 1.nssjsb A 注解注解1 1：克拉默克拉默(Cramer)(Cramer)法那么中包含着两个前提和三个结论：法那么中包含着两个前提和三个结论：前提：前提：1 1线性方程组线性方程组1 1中方程的个数等于未知量的个数；中方程的个数等于未知量的个数；2 2线性方程组线性方程组1 1的系数矩阵的行列式不等于零的系数矩阵的行列式不等于零. .结论：结论：1线性方程组线性方程组1有解；有解；2线性方程组线性方程组1的解是独一的；的解是独一的；3线性方程组线性方程组1的解由公式的解由公式2给出给出.例例 5 用克拉默法

18、那么解方程组用克拉默法那么解方程组 . 0674, 522, 963, 85243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解：解：6741212060311512 D212rr 24rr 127702120603113570 方程组的系数行列式方程组的系数行列式12772121357 212cc 232cc 277010353 2733 ,27 67402125603915181 D,81 67012150609115822 D,108 60412520693118123 D,27 07415120903185124 D,27 , 3278111 DDx, 42710822 DDx, 1272733 DDx. 1272744 DDx程的个数与未知量的个数不等时程的个数与未知量的个数不等时, , 就不能用克拉就不能用克拉经过上述例子经过上述例子, , 我们看到用克拉默法那么求我们看到用克拉默法那么求解解线性方程组时线性方程组时, ,要计算要计算 n+1 n+1 个个 n n 阶行列式阶行列式, ,这个这个计算量是相当大的计算量是相当大的, , 所以所以, , 在详细求解线性方程在详细求解线性方程组时组时, , 很少用克拉默法那么