三点共线向量表示及其性质应用

1、平面内三点共线的向量表示及其性质应用本文给出了三点共线向量表示的证法探究，以启迪思维和拓展思路之目的，另外又给出了三点共线向量表示在解题中的应用。例题：如图，是平面内三个点，是平面内任意一点，若点在直线上，则存在实数，使得=+（1-）证法探究：分析： 初看欲证目标，始感实难下手。我们不妨从结论出发探寻线路，欲证=+（1-），只需证=+-=（-）=这样证明思路有了。证法：向量与向量共线，=，即-=（-），=+-，=+（1-）证毕，再思考一下实数的几何意义究竟如何。考察向量等式=，结合图形，易知，当点在线段上时，则与同向，有01；当点在线段延长线上时，则与反向，有<0；当点在线段延长线上时，

2、则与同向，有1此例题逆命题亦成立，即已知，是平面内三个点，是平面内任意一点，若存在实数，有=+，且+=1，则，三点共线故此逆命题可作三点共线判定方法。为方便起见，我们将两命题作为性质叙述如下：性质1：已知，是平面内三个点， 是平面内任意一点，若，三点共线，则存在实数，使得=+（1-）或叙述为：已知，是平面内三个点， 是平面内任意一点，若，三点共线，则存在实数，使得=+，则有+=1性质2：已知，是平面内三个点，是平面内任意一点，若存在实数，有=+，且+=1，则，三点共线三点共线性质在解题中的应用：例1如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线、于不同的两点、，若=，=，则的值为 解析：连结，因

3、为点是的中点，所以有=，又因为、三点共线，所以，故点评：因为点是的中点，所以=，由性质1，=1-=，简便求出的值例2（湖北省2011届高三八校第一次联考）如图2，在ABC中，点P是BC上的一点，若，则实数m的值为（ ）AB. C. D. 解：三点共线，又 ，故选C例3（广东省2015届高三六校联考）所示：点是的重心，、分别是边、上的动点，且、三点共线设，证明：是定值；证明：因为G是的重心， 又三点共线， 为定值3例4如图，在中，与交于点，设（）用，表示；（）在已知线段上取一点，在线段上取一点，使过点设，求证：解析：()因为、三点共线，所以存在实数使得=；又因为、三点共线，所以存在实数使得=由于

4、，不共线，所以有解得，故=（）因为、三点共线，所以存在实数使得=结合（），易得出消去得，点评：本题是以，作为一组基底，其他向量都由它们线性表示解（）中的实数，的几何意义为：=，=， ，（0，1）；解（）中的实数=例5如图，平行四边形中，点在线段上，且，在线段上，且，与相交于点，求的值解析：设=，则=，=+（1-）因为，所以，且=+·又，=，即又与共线，-=0，解得=点评：我们先要确定好一组基底，看准,如何由它们线性表示；而欲求目标数值，因三点共线，中途要以作基底，由它们线性表出时，分析清楚该两基底系数所表示的几何意义，由性质1，得=+（1-）；最终与都得转化到由两基底线性表示，此时容

5、易由共线向量性质列出等式，从而求出结果例6（汕头市东山中学2014届高三第二次模拟考试）所示,在平行四边形ABCD中，,CE与BF相交于G点，记，则_AB. C. D. 分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F、G、B以及E,G,C三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。解：三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x使得 , ,又三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数使得， 由两式可得： 点评：本题的解法中由两组三点共线（F、G、B以及E,G,C三点在一条直线上），利用平面内三点共线定理构造方程组求解，避免了用的向量的加法和平面向理基本定理解答本题的运算复杂，达到了简化解题过程的效果。PABCMN例6的变式一：在三角形ABC中,AMAB=13,ANAC=14,BN与CM相交于点P，且，试用、表示解：三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x,y使得 ,ANAC=14, 又三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数,使得 AMAB=13 ， 由两式可得： 例6的变式二：直线l过ABCD的两条对角线AC与BD的交点O，与AD边交于点N,与AB的延长线交于点M。又知 m，n，则mn= 解：因为点O两条对角线AC与BD的交点，所以点O为AC的中点 m，n 又三点